Missing page 91 / <p> This report presents a numerical method which can be used to solve the advection equation </p> <p> (∂ɸ/∂t) + (∂[u(x,t)ɸ]/∂x) = S(x,t) </p> where: </p> <p> ɸ ≣ concentration field </p> <p> u(x,t) ≣ velocity field </p> <p> S(x,t) ≣ source term </p> <p> Central to this method are the concept of particle path and the Eulerian interpretation of the time rate of change of the concentration field ɸ. </p> In actual comparison tests for particular cases with known solutions this method proved to be at least two orders of magnitude more accurate than the usual one sided upwind finite difference method. </p> / Thesis / Master of Engineering (ME)

Finite difference approximations are methods for solving differential equations by approximating derivatives. This work will begin with how to solve a partial differential equation (PDE) called the advection equation, ut + cux = 0. Both analytically, and approximately with three different finite difference methods for the spatial part of the equation: • Central in space, • First order upwind in space, • Beam-Warming in space, and forward Euler for the temporal part. We then use the theoretical approximations considered for the advection equation and apply it on Maxwell’s equations for electromagnetism in 1D. This is a system of advection equations that describes how electromagnetic waves propagate through a dielectric material. In the end of this work we will model this electromagnetic wave, or wave of light moving through materials with different refraction indexes.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Uma análise utilizando a série de Taylor é apresentada para se estimar a priori os erros envolvidos na solução numérica da equação de advecção unidimensional com termo fonte, através do Método dos Volumes Finitos em uma malha do tipo uniforme e uma malha não uniforme. Também faz-se um estudo a posteriori para verificar a magnitude do erro de discretização e corroborar os resultados obtidos através da análise a priori. Por meio da técnica de solução manufaturada tem-se uma solução analítica para o problema, a qual facilita a análise dos resultados numéricos encontrados, e estuda-se ainda a influência das funções de interpolação UDS e CDS e do parâmetro u na solução numérica. / An analysis based on Taylor series is presented for estimating a priori the errors involved in the numerical solution of advection equation one-dimensional with source term, using the Finite Volume Method in a mesh uniform and a nonuniform mesh. Also is accomplished a study to determine the magnitude of discretization error and corroborate the results obtained on analyzing a priori. By using the technique of solution manufactured is produced an analytical solution for the problem, which facilitates analysis of the numeric results, and was also studied the influence functions of interpolation UDS and CDS and of parameter u in the numerical solution.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Uma análise utilizando a série de Taylor é apresentada para se estimar a priori os erros envolvidos na solução numérica da equação de advecção unidimensional com termo fonte, através do Método dos Volumes Finitos em uma malha do tipo uniforme e uma malha não uniforme. Também faz-se um estudo a posteriori para verificar a magnitude do erro de discretização e corroborar os resultados obtidos através da análise a priori. Por meio da técnica de solução manufaturada tem-se uma solução analítica para o problema, a qual facilita a análise dos resultados numéricos encontrados, e estuda-se ainda a influência das funções de interpolação UDS e CDS e do parâmetro u na solução numérica. / An analysis based on Taylor series is presented for estimating a priori the errors involved in the numerical solution of advection equation one-dimensional with source term, using the Finite Volume Method in a mesh uniform and a nonuniform mesh. Also is accomplished a study to determine the magnitude of discretization error and corroborate the results obtained on analyzing a priori. By using the technique of solution manufactured is produced an analytical solution for the problem, which facilitates analysis of the numeric results, and was also studied the influence functions of interpolation UDS and CDS and of parameter u in the numerical solution.

Orientador: João Frederico da Costa Azevedo Meyer / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-26T22:20:05Z (GMT). No. of bitstreams: 1 CajasGuaca_Denis_M.pdf: 6132685 bytes, checksum: 5e3780d261cb1b925daf089e42c326af (MD5) Previous issue date: 2015 / Resumo: Esta pesquisa visa descrever e ilustrar mediante a modelagem matemática e simulação computacional a poluição por esgoto que ocorre na Baía de Buenaventura no sudoeste do Pacífico Colombiano, e a influência do poluente no convívio de duas espécies de peixes. Para a dispersão de poluente usaremos o modelo que envolve a equação de Difusão-Advecção, a qual descreve as principais caraterísticas a considerar para o estudo do nosso problema, com suas respectivas condições de fronteira do entorno natural, considerando absorção de poluente nas margens da baía. Para a dinâmica populacional entre as espécies de peixes será usado um sistema não linear clássico do tipo Lotka-Volterra para modelar este problema, com condições de contorno de Neumann. A solução aproximada do modelo é obtida numericamente usando um método de segunda ordem no espaço e no tempo. Para a discretização da variável espacial usamos um método de diferenças finitas de segunda ordem e o método de Crank Nicolson para a discretização da variável temporal. Os resultados mostrados nas simulações computacionais para a concentração de poluente, e para a dinâmica populacional nos permitem julgar melhor o que está acontecendo ou o que pode acontecer, refletindo a necessidade de que os orgãos governamentais implementem mecanismos de mitigação ao problema ambiental para tentar diminuir os efeitos adversos do despejo direto no mar de águas residuais sem tratamento / Abstract: The propose of this research is to describe and illustrate the water pollution by sewage which occurs in Buenaventura Bay, in the southwest of the Colombian Pacific, and the influence of the pollutant in the interaction of two fish species, using mathematical modeling and computer simulation. Pollutant dispersion will be obtain using the model that involves the Diffusion - Advection equation, which describes the main features to be considered for the study of our problem with its respective boundary conditions of the natural environment, considering pollutant absorption in bayside. In order to describe the population dynamics between the fish species the classic Lotka -Volterra nonlinear system with Neumann boundary conditions will be used. The approximate solution of the model is obtained numerically using a second order method on the space and time. In order to discretize the spatial variable we use a second order finite difference method and the Crank Nicolson method for the time discretization. The results obtained in the computer simulations for the pollutant concentration, and the population dynamics allow us to judge what happening or what might happen. Reflecting in this way the necessity for the government agencies to implement mitigation mechanisms of the environmental problem in order to try reduce the adverse effects of dumping untreated sewage water directly into the sea / Mestrado / Matematica Aplicada / Mestra em Matemática Aplicada

On considère le problème d’advection-diffusion stationnaire v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (f, v) et non stationnaire d/dt (u(t), v) + v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (g(t), v), ainsi que le problème d’advection (β•∇u, v) = (f, v) sur un domaine polygonal borné du plan. Le terme de diffusion est approché par des éléments de Crouzeix Raviart et le terme de convection par une méthode upwind sur des volumes barycentriques finis avec un maillage triangulaire. Pour le problème stationnaire d’advection-diffusion, la L²-stabilité (c’est-à-dire indépendante du coefficient de diffusion v) est démontrée pour la solution du problème approché obtenue par cette méthode d’éléments finis et de volumes finis. Pour cela une condition sur la géométrie doit être satisfaite. Des exemples de maillages sont donnés. Toujours avec cette condition géométrique sur le maillage, une inégalité de stabilité (où la discrétisation en temps n’est pas couplée à une condition sur la finesse du maillage) est obtenue pour le cas non-stationnaire. La discrétisation en temps y est faite par un schéma d’Euler implicite. Une majoration de l’erreur, proportionnelle au pas en temps et à la finesse du maillage, est ensuite proposée et exprimée explicitement en fonction des données du problème. Pour le problème d’advection, une approche utilisant la théorie des graphes est utilisée pour obtenir l’existence et l’unicité de la solution, ainsi que le résultat de stabilité. Comme pour la stabilité du problème d’advection-diffusion, une condition géométrique - qui est équivalente pour les points intérieurs du maillage à celle du problème d’advection-diffusion - est nécessaire. / We consider the stationary linear convection-diffusion equation v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (f, v), the time dependent d/dt (u(t), v) + v(∇u,∇v)+( β•∇u, v)= (g(t), v) equation and the linear advection equation (β•∇u, v) = (f, v) on a two dimensional bounded polygonal domain. The diffusion term is discretized by Crouzeix-Raviart piecewise linear finite elements, and the convection term by upwind barycentric finite volumes on a triangular grid. For the stationary convection-diffusion problem, L²-stability (i.e. independent of the diffusion coefficient v) is proven for the approximate solution obtained by this combined finite-element finite-volume method. This result holds if the underlying grid satisfies a condition that is fulfilled, for example, by some structured meshes. Using again this condition on the grid, stability is shown for the time dependent convection-diffusion equation (without any link between mesh size and time step). An implicit Euler approach is used for the time discretization. It is shown that the error associated with this scheme decays linearly with the mesh size and the time step. This result holds without any link between mesh size and time step. The dependence of the corresponding error bound on the diffusion coefficient is completely explicit. For the stationary advection equation, an approach using graph theory is used to obtain existence, uniqueness and stability. As in the stationary linear convection-diffusion equation, the underlying grid must satisfy some geometric condition. / Gegenstand der Arbeit ist die zweidimensionale stationäre Konvektion-Diffusionsgleichung v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (f, v), die zeitabhängige Konvektion-Diffusionsgleichung d/dt (u(t), v) + v(∇u,∇v)+( β•∇u, v)= (g(t), v), sowie die Konvektionsgleichung (β•∇u, v) = (f, v). Der Diffusionsterm ist diskretisiert mittels Crouzeix-Raviart stückweise lineare Finite Elemente. Das Gebiet ist in Dreiecke unterteilt und der Konvektionsterm ist mittels einer upwind Methode auf Baryzentrische Finite Volumenelemente definiert. Für die stationäre Konvektion-Diffusionsgleichung, wird (d.h. von v unabhängige) L²-Stabilität der numerischen Lösung bewiesen. Voraussetzung dafür, ist die Erfüllung gewisser geometrischer Bedingungen an die Unterteilung des Gebiets. Beispiele von Unterteilungen die diese Bedingungen erfüllen, werden gegeben. Wieder an dieser geometrischen Bedingung geknüpft, wird Stabilität (d.h. die Zeitdiskretisierung ist entkoppelt von der Netzweite) für die zeitabhängige Konvektion-Diffusionsgleichung, bewiesen. Für die Zeitableitung wird dabei eine Implizite Euler Diskretisierung verwendet. Eine obere Schranke für den Diskretisierungsfehler, proportional zum Zeitdiskretisierungsparameter und zur Netzfeinheit, ausgedrückt als Funktion der Daten der Differenzialgleichung, wird gezeigt. Für die Konvektionsgleichung wird ein graphentheoretischer Zugang verwendet, der es ermöglicht Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität, zu bekommen. Für die Stabilität, werden ähnliche geometrische Bedingungen an die Unterteilung des Gebiets gestellt, wie beim stationären Konvektion-Diffusionsproblem.

[pt] Nesta tese, a teoria das hastes de Cosserat é revisitada e aplicada à dinâmica de coluna de perfuração. O objetivo é estudar o comportamento dessas estruturas dentro de poços de petróleo curvos. Para atingir este objetivo, um modelo estrutural determinístico é construído onde as tubos de perfuração (drill-pipes) e o conjunto de fundo (bottom hole assembly) são considerados como uma estrutura unidimensional de Cosserat. Em seguida, é desenvolvida uma estratégia para tratar o contato lateral em poços com configuração curvilínea. Depois disso, o problema de contorno livre é tratado mediante uma estratégia que considera como a condição de borda evolui à medida que a estrutura de perfuração avança. Isto é feito mediante uma formulação de interação broca-rocha que deve considerar a dinâmica de corte. Para isso, uma equação extra, de advecção, é resolvida junto com as equações de movimento de Cosserat. Em seguida, alguns casos de aplicação são apresentados. Numa primeira instancia, alguns elementos do problema são avaliados separadamente. Seguidamente, eles são integrados e analisados de forma conjunta. Por exemplo, primeiramente uma coluna de perfuração sem contato de fundo (off-bottom) é simulada, ou seja, sem contato broca-rocha, para estudar o comportamento e a implementação da estratégia para o contato lateral. Aqui também são calibrados alguns dos parâmetros do modelo de atrito. Em seguida, a estratégia para contabilizar o corte na rocha é implementada em um modelo 2-DOF de baixa dimensão e em um semi-discreto onde a dinâmica de torção é modelada como uma equação de onda. Os resultados mostram que o uso de abordagens contínuas resulta mais apropriade que aquelas onde se utilizam modelos de baixa dimensãom, particularmente quando são consideradas colunas longas, e quando há interesse em analisar não apenas o comportamento da broca, mas também o comportamento do sistema mecânico ao longo dos tubos de perfuração. Isso é reforçado por outro exemplo onde a dinâmica de corte é combinada com a formulação de Cosserat. Observações semelhantes do ponto de vista qualitativo são encontradas. Resumindo os resultados obtidos, as diferenças nas previsões dadas pelos modelos de baixa dimensão e o de unidimensional de Cosserat justificam o desenvolvimento e aplicação da abordagem com esta formulação em estruturas de perfuração. Finalmente, a modo de introduzir outro aspecto importante em colunas de perfuração e que pode ser uma linha de pesquisa para continuar o trabalho, a variabilidades presente em elementos como rocha, inclui-se um caso de aplicação considerando um poço horizontal e um campo estocástico de atrito. / [en] In this thesis, the theory of Cosserat rods is applied to the dynamics of drill-strings. The main objective is to evaluate the behaviour of these strings when they move within curved wells. To achieve this goal, a deterministic structural model is constructed, where the drill-pipes and the bottom hole assembly are taken as a Cosserat rod. Next, a strategy to deal with the lateral contact in curved well configurations is developed. After that, the free boundary problem is assessed: while drilling, the boundary changes due to cutting, modifying the position of the soil and, consequently, changing the bit-rock interaction forces. For this reason, a bit-rock model that can account for the cutting dynamics is adopted, in which an extra advection equation is solved together with the equations of motion of the Cosserat rod. Next, application cases are provided. First, some effects included in the model are tested in isolation, such as the lateral friction, the lateral contact, and the cutting. After that, they are all combined. In the first analysis, an off-bottom string is simulated, i.e. without contact at the bit. This allows testing the formulation associated with the lateral contact. Also, the calibration of the lateral friction parameters is made. Following that, the strategy to account for the cutting at the bit is implemented in a low-dimensional 2-DOF model, and in a semi-discrete model with a continuous wave equation for the torsional dynamics. The results show that the use of continuous approaches is more appropriate than low-dimensional models. Especially when long columns are considered, and when there is interest in understanding not only the behaviour at the bit but also along drill-pipes. This finding is reinforced by another application where the cutting dynamics are combined with the Cosserat rod formulation. Again, similar observations from a qualitative point of view are found. Overall, the differences in the results between the lumped low-dimensional models and the continuous Cosserat rod justify the development and application of the Cosserat approach to drilling structures. Finally, an introductory stochastic analysis concerning the variability of the rock is presented as an introduction to a future line of research, where stochasticity is included. / [es] En esta tesis, la teoria de Cosserat para elementos unidimensionales es revisitada y aplicada a la simulación de columnas de perforación. El objetivo es estudiar el comportamiento de estas estructuras en pozos de geometría curva. Para alcanzar este objetivo se construye un modelo determinístico. En este modelo, los caños de perforación (drill-pipes) y el conjunto de fondo (bottom hole assembly) son modelados como una estructura unidimensional de Cosserat. Seguidamente, una estrategia para tratar con el contacto lateral en pozos curvos es desarrollada. Luego, el problema de frontera libre es estudiado: durante la perforación, la condición de borde cambia debido al cambio del perfil altimétrico del terreno, alterando su posición y consecuentemente las fuerzas asociadas a la interacción broca-roca. Por esta razón, se decide utilizar un modelo de interacción broca-roca que tiene en cuenta la dinámica del corte. En este abordaje una ecuación extra, la ecuación de advección, es resuelta en forma acoplada con las ecuaciones del movimiento de la estructura de Cosserat. Algunos ejemplos de aplicación son presentados. En una primera instancia, algunos de los elementos del problema son estudiados en forma aislada. Luego combinados en un modelo completo. Por ejemplo, el caso de una columna sin contacto de fondo (off-bottom) es tratado para evaluar el comportamiento y la implementación de la estrategia mencionada para detectar el contacto lateral. Además, se efectúa la calibración de alguno de los parámetros relacionados con la fricción lateral. Luego, la estrategia para considerar el corte en la punta es implementada en un modelo de 2-DOF, y en otro semi-discreto donde se considera un modelo de ecuación de onda para la dinámica torsional. Los resultados muestran que el uso de formulaciones continuas es más apropiado que aquellas formulaciones donde se utilizan modelos de dimensiones reducidas, particularmente cuando se estudia columnas largas donde el interés se centra en entender no solo el comportamiento de la broca sino también a lo largo de la tubería. Este resultado es reforzado por otro caso de aplicación en donde se combina la dinámica de corte con un modelo de Cosserat. Observaciones similares son vistas en el comportamiento cualitativo de la solución. En resumen, las diferencias observadas en los diferentes ejemplos de aplicación entre los modelos de dimensiones reducidas y el modelo continuo de Cosserat justifican el desarrollo y la aplicación de la teoría de Cosserat a estructuras de perforación. Finalmente, dado que uno de los objetivos planteados también es considerar la variabilidad en algunos elementos como ser las propiedades de la roca, un caso de aplicación considerando un pozo horizontal es mostrado.