L'implicitisation d'une surface algébrique rationnelle, c'est-à-dire le passage de la paramétrisation à une représentation implicite, est un<br />problème géométrique classique. Dans ce travail de thèse, nous utilisons la théorie des syzygies pour représenter implicitement une surface par une matrice dont les mineurs de taille maximale ont l'équation implicite comme plus grand diviseur commun. Dans les deux premiers chapitres, nous traitons deux classes de surfaces spéciales pour lesquelles il est toujours possible de construire une matrice carrée qui correspond au résultant d'une μ-base : les surfaces réglées et les surfaces canales. Dans les chapitres suivants, le cas général de surfaces rationnelles paramétrées sur une variété torique de dimension 2 est étudié. Nous montrons qu'une telle matrice peut être construite en n'utilisant que des syzygies linéaires et nous décrivons un algorithme simple et efficace pour son calcul.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'ensemble $Int\left(\mathcal O _K \right)$ des polynômes à valeurs entières sur l'anneau $\mathcal{O}_K$ des entiers d'un corps de nombres $K$. Selon Pólya, une base $\left(f_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ du $\mathcal O _K$-module $Int\left(\mathcal O _K \right)$ est dite régulière si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\deg(f_{n})=n$. Un corps $K$ tel que $ Int \left(\mathcal{O}_K \right)$ possède une base régulière est dit de Pólya et le groupe de Pólya d'un corps de nombres $K$ est un sous-groupe du groupe de classes de $K$ qui peut être considéré comme une mesure de l'écart pour un corps au fait d'être de Pólya. Nous étudions le groupe de Pólya d'un compositum $L= K_1 K_2$ de corps de nombres galoisiens et établissons des liens avec la ramification des nombres premiers dans chacune des extensions $K_1 /\mathbb{Q}$ et $K_2 /\mathbb{Q}$. Nous appliquons ces résultats aux corps de nombres de petit degré afin d'élargir la famille des corps de Pólya quadratiques déjà caractérisés. Par ailleurs, une condition pour qu'un corps de nombres $K$ soit de Pólya est que tous les produits d'idéaux de $K$ de même norme soient principaux. Par analogie avec le problème classique du plongement, on peut se poser la question suivante : tout corps de nombres $K$ peut-il être plongé dans un corps de Pólya? Nous donnons une réponse positive à cette question : pour tout corps $K$, le corps de classes de Hilbert $H_K$ de $K$ est un corps de Pólya . Toujours par analogie avec le problème de plongement où l'on sait que les idéaux de $\mathcal{O}_K$ deviennent principaux dans $\mathcal{O}_{H_K}$, on peut définir la notion d'extension de Pólya d'un corps $K$ : il s'agit de corps $L$ contenant $K$ dans lesquels le groupe de Pólya de $K$ devient trivial par extensions des idéaux, ce sont aussi des corps $L$ tels que le $\mathcal O _L$-module engendré par $Int\left(\mathcal O _K \right)$ possède une base régulière. Outre $H_K$ dans le cas général, dans le cas où $K$ est une extension abélienne, la capitulation des idéaux ambiges de $K$ montre que le corps de genre de $K$ en est une extension de Pólya. Ceci nous amène à des questions de minimalité et d'unicité concernant les corps et extensions de Pólya.

L'objet de cette thèse est une description effective des espaces de modules des courbes hyper- elliptiques de genre 3 en caractéristiques positives. En caractéristique nulle ou impaire, on obtient une paramétrisation de ces espaces de modules par l'intermédiaire des algèbres d'invariants pour l'action du groupe spécial linéaire sur les espaces de formes binaires de degré 8, qui sont de type fini. Suite aux travaux de Lercier et Ritzenthaler, les cas des corps de caractéristiques 3, 5 et 7 restaient ouverts. Pour ces derniers, les méthodes classiques de la caractéristique nulle sont inno- pérantes pour l'obtention de générateurs pour les algèbres d'invariants en jeu. Nous nous sommes donc contenté d'exhiber des invariants séparants en caractéristiques 3 et 7. En outre, nos résultats concernant la caractéristique 5 suggèrent l'inadéquation de cette approche pour ce cas. À partir de ces résultats, nous avons pu expliciter la stratification des espaces de modules des courbes hyperelliptiques de genre 3 en caractéristiques 3 et 7 selon les groupes d'automorphismes et implémenté divers algorithmes, dont celui de Mestre, pour la reconstruction d'une courbe à partir de son module, ie la valeur de ses invariants. Pour cette phase de reconstruction, nous nous sommes notamment attaché aux questions arithmétiques, comme l'existence d'une obstruction à être un corps de définition pour le corps de module et, dans le cas contraire, à l'obtention d'un modèle de la courbe sur ce corps minimal. Enfin pour la caractéristique 2, notre approche est différente, dans la mesure où les courbes sont étudiées via leur modèle d'Artin-Schreier. Nous exhibons pour celles-ci des invariants bigradués qui dépendent de la structure arithmétique des points de ramifications des courbes. / The aim of this thesis is to provide an explicite description of the moduli spaces of genus 3 hyperelliptic curves in positive characteristic. Over a field of characteristic zero or odd, a parame- terization of these moduli spaces is given via the algebra of invariants of binary forms of degree 8 under the action of the special linear group. After the work of Lercier and Ritzenthaler, the case of fields of characteristic 3, 5 and 7 are still open. However, in these remaining case, the classical methods in characteristic zero do not work in order to provide generators for these algebra of invariants. Hence we provide only separating invariants in characteristic 3 and 7. Furthermore our results in characteristic 5 show this approach is not suitable. From these results, we describe the stratification of the moduli spaces of genus 3 hyperelliptic curves in characteristic 3 and 7 according to the automorphism groups of the curves and imple- ment algorithms to reconstruct a curve from its invariants. For this reconstruction stage, we paid attention to arithmetic issues, like the obstruction to be a field of definition for the field of moduli. Finally, in the characteristic 2 case, we use a different approach, given that the curves are defined by their Artin-Schreier models. The arithmetic structure of the ramification points of these curves stratify the moduli space in 5 cases and we define in each case invariants that characterize the isomorphism class of hyperelliptic curves.

Dans cette thèse, nous interprétons géométriquement la torsion de l'algèbre symétrique d'un faisceau d'idéaux I_Z d'un schéma Z défini par n+1 équations dans une variété n-dimensionnelle. Ceci revient à étudier la géométrie de la projectivisation de I_Z. Les applications de ce point de vue concernent en particulier le domaine des transformations birationnelles de l'espace projectif de dimension 3 au sujet duquel nous construisons des transformations birationnelles explicites qui ont le même degré algébrique que leur inverse, le domaine des courbes libres et presque-libres au sujet duquel nous généralisons une caractérisation des courbes libres en étendant les notions de nombre de Milnor et de nombre de Tjurina. Nous abordons aussi le sujet des hypersurfaces homaloides, notre motivation initiale, au sujet duquel nous exhibons en particulier une courbe homaloide de degré 5 en caractéristique 3. La dernière application concerne le calcul de l'inverse d'une transformation birationnelle. / In this thesis, we interpret geometrically the torsion of the symmetric algebra of the ideal sheaf I_Z of a scheme Z defined by n+1 equations in an n-dimensional variety. This is equivalent to study the geometry of the projectivization of I_Z. The applications of this point of view concern, in particular, the topic of birational maps of the projective space of dimension 3 for which we construct explicit birational maps that have the same algebraic degree as their inverse, free and nearly-free curves for which we generalise a characterization of free curves by extending the notion of Milnor and Tjurina numbers. We tackle also the topic of homaloidal hypersurfaces, our original motivation, for which we produce in particular a homaloidal curve of degree 5 in characteristic 3. The last application concerns the computation of the inverse of a birational map.

Ce mémoire est une présentation des travaux que l'auteur a réalisé en théorie des aneaux et des modules. Plus précisément l'auteur s'est consacré à l'étude des anneaux commutatifs arithmétiques et plus particulièrement aux anneaux de valuation (non nécessairement intègres). Le résultat le plus remaquable est la démonstration du théorème qui dit que tout annean local à type de module borné est un anneau de valuation presque maximal. Sont aussi présentés des résultats sur la localisation des modules injectifs et sur les enveloppes pure-injectives de certains modules.

Dans cette thèse, nous définissons algébriquement le résultant déterminantiel d'un morphisme f de modules libres de type dont la matrice a en entrée des polynômes homogènes f_i,j. A l'aide des complexes d'Eagon-Northcott et de Buchsbaum-Rim associés au morphisme P nous proposons des méthodes effectives pour calculer ce résultant déterminantiel ainsi que son degré. Dans le cas où les polynômes f_i,j sont à deux variables, nous montrons que ce résultant déterminantiel est donné par le déterminant d'une matrice en les coefficients des f_i,j , qui est une généralisation de la matrice de Sylvester de deux polynômes. Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudions des problèmes d'intersection de courbes et surfaces de Bézier en évitant la fameuse conversion instable entre la base de Bernstein et la base monomiale. Ces problèmes jouissent d'une structure particulière qui est dégénérée pour le résultant de Macaulay. Nous prouvons l'existence d'un résultant anisotrope adapté à ces systèmes dégénérés et proposons un algorithme pour le calculer.

Cette thèse d'algèbre commutative porte principalement sur la théorie de la profondeur. Nous nous efforçons d'en fournir une approche épurée d'hypothèse noethérienne dans l'espoir d'échapper aux idéaux premiers et ceci afin de manier des objets élémentaires et explicites. Parmi ces objets, figurent les complexes algébriques de Koszul et de Cech dont nous étudions les propriétés cohomologiques grâce à des résultats simples portant sur la cohomologie du totalisé d'un bicomplexe. Dans le cadre de la cohomologie de Cech, nous avons établi la longue suite exacte de Mayer-Vietoris avec un traitement reposant uniquement sur le maniement des éléments. Une autre notion importante est celle de dimension de Krull. Sa caractérisation en termes de monoïdes bords permet de montrer de manière expéditive le théorème d'annulation de Grothendieck en cohomologie de Cech. Nous fournissons également un algorithme permettant de compléter un polynôme homogène en un h.s.o.p.. La profondeur est intimement liée à la théorie des résolutions libres/projectives finies, en témoigne le théorème de Ferrand-Vasconcelos dont nous rapportons une généralisation due à Jouanolou. Par ailleurs, nous revenons sur des résultats faisant intervenir la profondeur des idéaux caractéristiques d'une résolution libre finie. Nous revisitons, dans un cas particulier, une construction due à Tate permettant d'expliciter une résolution projective totalement effective de l'idéal d'un point lisse d'une hypersurface. Enfin, nous abordons la théorie de la régularité en dimension 1 via l'étude des idéaux inversibles et fournissons un algorithme implémenté en Magma calculant l'anneau des entiers d'un corps de nombres. / This Commutative Algebra thesis focuses mainly on the depth theory. We try to provide an approach without noetherian hypothesis in order to escape prime ideals and to handle only basic and explicit concepts. We study the algebraic complexes of Koszul and Cech and their cohomological properties by using simple results on the cohomology of the totalization of a bicomplex. In the Cech cohomology context we established the long exact sequence of Mayer-Vietoris only with a treatment based on the elements. Another important concept is that of Krull dimension. Its characterization in terms of monoids allows us to show expeditiously the vanishing Grothendieck theorem in Cech cohomology.We also provide an algorithm to complete a omogeneous polynomial in a h.s.o.p.. The depth is closely related to the theory of finite free/projective resolutions. We report a generalization of the Ferrand-Vasconcelos theorem due to Jouanolou. In addition, we review some results involving the depth of the ideals of expected ranks in a finite free resolution.We revisit, in a particular case, a construction due to Tate. This allows us to give an effective projective resolution of the ideal of a point of a smooth hypersurface. Finally, we discuss the regularity theory in dimension 1 by studying invertible ideals and provide an algorithm implemented in Magma computing the ring of integers of a number field.