Inom den moderna matematiken har delområdet topologi fått ett allt större intresse och ett ökat användningsområde. Den här uppsatsen, som har karaktär av litteraturstudie, behandlar dels översiktligt grundläggande punktmängdstopologi (allmän topologi), men arbetets centrala del är dock inriktad på algebraisk topologi. Det har visat sig att när de grundläggande, traditionella, verktygen inom topologin inte räckt till så har det varit fruktbart att omformulera problemen och det man vill undersöka så att algebra har kunnat tillämpas. Här redovisas några av den algebraiska topologins mer centrala satser och samband, bland annat: Jordans kurvsats, Cauchys integralformel, Brouwers fixpunktssats, Lefschetz fixpunktssats och satsens relation till Eulerkaraktäristik samt helt översiktligt, differentialtopologi, där ”the hairy ball theorem” behandlas. Uppsatsens målgrupp är personer med grundläggande kunskaper i matematik på högskolenivå och som vill få en grundläggande orientering eller ökad insikt i ämnet.

This thesis is about how to interpret metric data with topological tools, such as homology. We show how to go from a metric space to a topological space via Vietoris-Rips complexes. We use the usual approach to Topological Data Analysis (TDA), and transform our metric space into tame parametrised vector spaces. It is then shown how to simplify tame parametrised vector spaces. We also present another approach to TDA, where we transform our metric space into a filtrated tame parametrised chain complex. We then show how to simplify chain complexes over fields in order to simplify tame parametrised filtrated chain complexes. / Denna uppsats handlar om att tolka metrisk data med hjälp utav topologiska verktyg, som exempelvis homologi. Vi visar hur man går från ett metriskt rum till ett topologiskt rum via Vieteris-Rips komplex. Vi använder den vanliga metoden till Topologisk Data Analys (TDA), och transformerar vårat metriska rum till tama parametriserade vektorrum. Det visas sedan hur vi kan förenkla tama parametriserade vektorrum. Vi presenterar även en annan metod för TDA, där vi går från ett metriskt rum till ett filtrerat tamt parametriserat kedjekomplex. Sedan visar vi hur man förenklar kedjekomplex över kroppar för att kunna förenkla filtrerade tama parametriserade kedjekomplex.

Spectral sequences were developed during the mid-twentieth century as a way of computing (co)homology, and have wide uses in both algebraic topology and algebraic geometry.  Grothendieck introduced in his Tôhoku paper the Grothendieck spectral sequence, which given left exact functors $F$ and $G$ between abelian categories, uses the right-derived functors of $F$ and $G$ as initial data and converges to the right-derived functors of the composition $G\circ F.$  This thesis focuses on instead constructing a spectral sequence that uses the derived functors of $G$ and $G\circ F$ as initial data and converges to the derived functors of $F.$ Our approach takes inspiration from the construction of the Eilenberg-Moore spectral sequence, which given a fibration of topological spaces can calculate the singular cohomology of the fiber from the singular cohomology of the base space and total space. The Eilenberg-Moore spectral sequence can be constructed through the use of differential graded algebras and their bar construction, since this defines a double complex for which the column-wise filtration of the corresponding total complex induces the spectral sequence. The correct analogue of this with respect to composite functors is the bar construction for monads. Specifically, we let $G$ have an exact left adjoint $H$, which makes $G\circ H$ into a monad. Then, we extend our adjunction so that the derived functor $RG$ has left adjoint $RH$ in the corresponding derived categories, making $RG\circ RH$ into a monad. This allows us to apply the bar construction in the derived category, but we show that there emerge issues in obtaining a double complex and subsequent total complex from this construction.  Additionally, we present the essential theory of spectral sequences in general, and of the Serre, Eilenberg-Moore and Grothendieck spectral sequences in particular. / Spektralsekvenser utvecklades under mitten av 1900-talet som ett verktyg för att beräkna (ko)homologi, och har många användningsområden inom både algebraisk topologi och algebraisk geometri. Grothendieck introducerade i sin Tôhoku-artikel Grothendieck-spektralsekvensen, som givet vänsterexakta funktorer $F$ och $G$ mellan abelska kategorier använder de högerderiverade funktorerna av $F$ och $G$ som initialdata och som konvergerar till de högerderiverade funktorerna av kompositionen $G\circ F$. Denna masteruppsats fokuserar på att istället konstruera en spektralsekvens som använder de deriverade funktorerna av $G$ och $G\circ F$ som initialdata och konvergerar till de deriverade funktorerna av $F$. Vår metod tar inspiration från konstruktionen av Eilenberg-Moore-spektralsekvensen, som givet en fibrering av topologiska rum kan beräkna den singulära kohomologin av fibern från den singulära kohomologin av basrummet och totalrummet. Eilenberg-Moore spektralsekvensen kan konstrueras genom användningen av graderade differentialalgebror och deras bar-konstruktion, eftersom detta definierar ett dubbelkomplex vars kolumnvisa filtrering av det resulterande totalkomplexet inducerar spektralsekvensen. Vad gäller kompositioner av funktorer så är den korrekta analogin till detta bar-konstruktionen för monader. Specifikt så låter vi $G$ ha en exakt vänsteradjungerad funktor $H$, vilket gör $G\circ H$ till en monad. Sedan utvidgar vi denna adjunktion sådant att den deriverade funktorn $RG$ har vänsteradjunkt $RH$ i den deriverade kategorin, vilket gör $RG\circ RH$ till en monad. Detta ger oss möjligheten att använda bar-konstruktionen i den deriverade kategorin, men vi visar att det uppstår problem när vi ska definiera ett dubbelkomplex och resulterande totalkomplex från denna konstruktion. Utöver detta så innehåller denna uppsats en genomgång av den viktigaste teorin om spektralsekvenser i allmänhet, och om Serre-, Eilenberg-Moore- och Grothendieck-spektralsekvensen i synnerhet.

This Master's Thesis delves into the application of topological regularization techniques and relative latent representations within the realm of zero-shot model stitching. Building upon the prior work of Moschella et al. (2022) that introduces relative latent representations to enhance the similarities between latent spaces of different models, we incorporate the approach of Hofer et al. (2021), which combines Topological Data Analysis (TDA) and Machine Learning techniques for topological densification of class distributions in the latent space. The main research objective is to investigate the impact of topological regularization on zero-shot stitching performance when employing relative latent representations. Theoretical foundations for the relative transformation are established based on the intertwiner groups of activation functions. Empirical analyses are conducted to validate the assumptions underlying the construction of the relative transformation in the latent space. Moreover, experiments are performed on a Large Language Model trained on multilingual Amazon Reviews datasets to evaluate the effectiveness of zero-shot stitching while using the topological densification technique and the relative transformation. The findings indicate that the proposed methodologies can enhance the performance of multilingual model stitching. Specifically, enforcing the relative transformation to preserve the H0 homology death times distributions proves beneficial. Additionally, the presence of similar topological features plays a crucial role in achieving higher model compatibility. However, a more in-depth exploration of the geometric properties of the post-relative transformation latent space is necessary to further improve the topological densification technique. Overall, this work contributes to the emerging field of Topological Machine Learning and provides valuable insights for researchers in transfer learning and representation learning domains. / Denna masteruppsats undersöker tillämpningen av topologiska regleringstekniker och relativa latenta representationer inom området för zero-shot model stitching. Genom att bygga vidare på tidigare arbete av Moschella et al. (2022), som introducerade relativa latenta representationer för att förbättra likheterna mellan latenta rummet hos olika modeller, inkorporerar vi tillvägagångssättet av Hofer et al. (2021), som kombinerar topologisk dataanalys (TDA) och maskininlärningstekniker för topologisk ``förtätning'' av klassfördelningar i det latenta utrymmet. Den huvudsakliga forskningsuppgiften är att undersöka effekten av topologisk reglering på zero-shot model stitching-prestanda när man använder relativa latenta representationer. Teoretiska grunder för den relativa transformationen etableras baserat på intertwinergrupperna för aktiveringsfunktioner. Empiriska analyser genomförs för att validera antagandena som ligger till grund för konstruktionen av den relativa transformationen i det latenta rummen. Dessutom utförs experiment på en stor språkmodell tränad på multilinguella Amazon Reviews-dataset för att utvärdera effektiviteten hos zero-shot model stitching med Hofer's topologiska reglering och relativa transformation. Resultaten visar att de föreslagna metoderna kan förbättra prestationen hos zero-shot model stitching för flerspråkiga modeller. Specifikt är det fördelaktigt att tvinga den relativa transformationen att bevara H0 homologins dödstidsfördelningar. Dessutom spelar närvaron av liknande topologiska egenskaper en avgörande roll för att uppnå högre modellkompatibilitet. Dock krävs en mer ingående utforskning av de geometriska egenskaperna hos det latenta utrymmet efter den relativa transformationen för att ytterligare förbättra Hofer's topologiska reglering. Sammanfattningsvis bidrar detta arbete till det framväxande området Topologisk Maskininlärning och ger värdefulla insikter för forskare inom ``transfer-inlärning'' och representationsinlärningsdomäner.