En este trabajo proporcionamos doce formas normales para todos los campos vectoriales polinomiales Hamiltonianos en el plano que tienen términos lineales más cúbicos homogéneos y que poseen en el origen un centro de tipo lineal o un centro nilpotente. Para estos sistemas caracterizamos sus retratos de fase globales en el disco de Poincaré y describimos sus diagramas de bifurcación. Las formas normales de estos sistemas las obtenemos utilizando las formas normales de los sistemas cúbicos homogéneos dados en [1], y añadiendo a estos los términos lineales de manera que el origen sea un centro de tipo lineal o un centro nilpotente. Luego describimos los retratos de fase globales en el disco de Poincaré de estas doce familias de sistemas. Para ello en primer lugar encontramos los retratos de fase en el infinito de esos sistemas, y luego encontramos los retratos de fase locales en los puntos singulares finitos. Usando estos dos resultados determinamos los posibles retratos de fase globales de cada familia. Para algunas familias los puntos singulares finitos son demasiado complicados para estudiar sus retratos de fase local, y en algunos otros casos ni siquiera podemos calcular los puntos singulares finitos. En estas situaciones primero determinamos el número máximo de puntos singulares finitos que los sistemas pueden tener, a continuación utilizando el hecho de que el índice total de todos los puntos singulares de un campo vectorial en la esfera de Poincaré con un número finito de puntos singulares es 2 (este resultado se conoce como el teorema de Poincaré–Hopf) determinamos el número posible de puntos singulares finitos y sus posibles retratos fase locales posibles. Para determinar los posibles retratos de fase globales posibles miramos el número de puntos de una recta que pasa por el origen que se encuentran en el mismo nivel de energía. Puesto que los polinomios Hamiltonianos de las doce familias de sistemas son de cuarto grado, no puede haber más que cuatro de tales puntos. Si encontramos que sólo un retrato de fase global es posible para una familia, entonces este es el retrato de fase de la familia. Si hay más de un retrato de fase global posible, entonces mostramos que podemos elegir los parámetros de forma que los retratos de fase se realicen. Por último, después de haber determinado los retratos de fase global para cada familia, describimos sus diagramas de bifurcación utilizando las dos diferencias principales entre estos retratos de fase: el número de puntos singulares finitos y el número de sillas en el mismo nivel de energía. [1] A. Cima and J. Llibre, “Algebraic and topological classification of the homogeneous cubic vector fields in the plane”, J. Math. Anal. and Appl. 147 (1990), 420–448. / In this work we provide twelve normal forms for all the Hamiltonian planar polynomial vector fields having linear plus cubic homogeneous terms which possess a linear type center or a nilpotent center at the origin, and find their global phase portraits on the Poincaré disk. Moreover we provide the bifurcation diagrams of these differential systems. We obtain the normal forms of these systems using the normal forms of cubic homogeneous systems given in [1], and by adding to them the linear terms such that the origin is a linear type center or a nilpotent center. Then we describe the global phase portraits on the Poincaré disk of these twelve families of systems. To do this we first find the phase portraits at infinity of those systems, and then we find the local phase portraits at the finite singular points. Using these two results we determine the possible global phase portraits of each family. For some families the finite singular points are too complicated to study their local phase portraits, in some other cases we even cannot calculate the finite singular points. In these situations we first determine the maximum number of finite singular points that the systems can have, then using the fact that the total index of all the singular points of a vector field on the Poincaré sphere with a finite number of singular points is 2 (this result is known as the Poincaré–Hopf theorem) we determine the possible number of finite singular points and their possible local phase portraits. To determine the possible global phase portraits we look at the number of points of a straight line passing through the origin that are at the same energy level. Since the Hamiltonian polynomials of the twelve families of systems are quartic, there can be at most four such points. If we find only one possible global phase portrait for a family then we are done. If there are more than one possible global phase portrait then we show that for some specific choice of parameters those phase portraits are indeed realizable. Finally, after having determined the global phase portraits for each fam- ily, we describe their bifurcation diagrams using the two main differences between these phase portraits: the number of finite singular points and the number of saddles at the same energy level. [1] A. Cima and J. Llibre, “Algebraic and topological classification of the homogeneous cubic vector fields in the plane”, J. Math. Anal. and Appl. 147 (1990), 420–448.

Els principals objectes d'estudi d'aquesta memòria són les integrals singulars. Per l'elaboració d'aquesta memòria, trobem una especial motivació en tres articles originats a partir de la idea d'acotar la norma de l'operador maximal d'una integral singular per la norma de la integral singular. En el primer article, de J. Mateu i J. Verdera del 2006, [MV], s'hi proven desigualtats puntuals pels casos particulars de la j-èssima transformada de Riesz i de la transformada de Beurling. Es fa notar per primer cop que les acotacions són diferents degut a la paritat del nucli de les respectives transformades. A posteriori, en els articles de J. Mateu, J. Orobitg i J. Verdera de 2011, [MOV], i en [MOPV] de 2010 dels mateixos autors més C. Pérez, s'han provat acotacions puntuals com les esmentades per transformades de Riesz d'ordre superior. En el primer treball es tracta el cas d'operadors amb el nucli parell i en el segon es fa el mateix pels de nucli senar. Aquí, la desigualtat de Cotlar pren protagonisme, ja que es fa notar que la desigualtat puntual pel cas parell és una millora d'aquesta. En [MOV] es demostra que, per les integrals singulars de Calderón-Zygmund de grau parell i amb nucli prou regular, l'acotació puntual de l'operador maximal pel mateix operador és equivalent a l'acotació en L^2 i al mateix temps a una condició algebraica sobre el nucli de la integral singular. En el cas de les integrals de grau senar, en [MOPV], es veu que succeeix el mateix però en la desigualtat puntual necessitem la segona iterada de l'operador maximal de Hardy-Littlewood. Ja s'havia vist en [MV] que l'acotació sense iteració no funcionava en el cas de la transformada de Riesz. A partir d'aquí, en el treball que ens ocupa, ens hem dedicat a estendre aquestes acotacions. En el primer capítol es resol una pregunta oberta que es planteja a [MOV]. Es demostra que l'acotació en L^p (i en L^p amb pesos) és també equivalent a la desigualtat puntual, no només amb p=2. Aquests resultats estan reflectits en [BMO1]. En el segon capítol es treballa una altra pregunta plantejada al mateix article. Es tracta de veure si es pot relaxar la regularitat del nucli i que segueixi passant el mateix. Quan ens trobem al pla, donem una bona resposta fixant una diferenciabilitat inicial que ha de tenir el nucli. En el cas de que la dimensió és més gran que 2, tenim una resposta parcial, en el sentit de que aquesta regularitat inicial depèn del grau d'un cert polinomi que depèn del nucli. Això podria fer que s'hagués de demanar una diferenciabilitat molt gran. Però, això sí, finita. En el tercer capítol donem un exemple pel qual no tenim acotació de la norma L^1 feble de la funció maximal en termes de la norma L^1 de l'operador. Presentem el cas d'un polinomi harmònic de grau 3 en el pla i expliquem com es pot generalitzar al cas d'operadors de qualsevol grau senar en el pla. Tot i això, degut a la difícil caracterització dels polinomis harmònics en dimensions superiors, ens ha quedat obert el problema a R^n, per n>2. En l'últim capítol considerem el mateix problema d'acotar puntualment l'operador maximal d'una integral singular pel mateix operador, però en aquest cas definim una nova maximal on trunquem amb cubs en lloc de boles. Treballem el cas de la transformada de Beurling i veiem que per poder acotar ho hem de fer utilitzant la segona iterada del maximal de Hardy-Littlewood, i que no ho podem reemplaçar per la primera iteració. Aquests resultats estan reflectits en [BMO2]. Bibliografia [BMO1] A. Bosch-Camós, J. Mateu, J. Orobitg, «L^p estimates for the maximal singular integral in terms of the singular integral», J. Analyse Math. 126 (2015), 287-306. [BMO2] A. Bosch-Camós, J. Mateu, J. Orobitg, «The maximal Beurling transform associated with squares», Ann. Acad. Sci. Fenn. 40 (2015), 215-226. [MOPV] J. Mateu, J. Orobitg, C. Perez, J. Verdera, «New estimates for the maximal singular integral», Int. Math. Res. Not. 19 (2010), 3658-3722. [MOV] J. Mateu, J. Orobitg, J. Verdera, «Estimates for the maximal singular integral in terms of the singular integral: the case of even kernels», Ann. of Math. 174 (2011), 1429-1483. [MV] J. Mateu, J. Verdera, «L^p and weak L^1 estimates for the maximal Riesz transform and the maximal Beurling transform, Math. Res. Lett. 13 (2006), 957-966. / The main objects of study of this dissertation are the singular integrals. We find an special motivation in three papers originated from the idea of bounding the norm of maximal operator of a singular integral by the norm of the singular integral itself. In the first one, of J. Mateu and J. Verdera from 2006, [MV], they prove pointwise inequalities for the particular cases of the j-th Riesz transform and the Beurling transform. For the first time, one notice that we obtain different bounds depending on the parity of the kernel of each operator. A posteriori, in the papers of J. Mateu, J. Orobitg and J. Verdera from 2011, [MOV], and in [MOPV] from 2010 from same authors plus C. Pérez, they prove pointwise inequalities as the aforementioned for higher order Riesz transforms. In the first work they treat the case of operators with even kernel, and in the second one, they do the same but for odd kernels. Here is when Cotlar inequality takes shows of, because we can notice that the inequality for the even case is an improvement of this one In [MOV] they prove that, for even Calderón-Zygmund singular integrals with smooth kernel, the pointwise inequality of the maximal operator bounded by the operator itself is equivalent to the L^2 estimate and also to an algebraic condition on the kernel of the singular integral. For the odd operators, in [MOPV], it's proved the same result, but in the pointwise inequality we need the second iteration of the Hardy-Littlewood maximal operator. It was proved before, in [MV], that one cannot bound without this iteration in the case of the Riesz trasnform. From here on, in this dissertation we have been working on this kind of estimates. In the first chapter we give a positive answer to one open question in [MOV]. We prove that the L^p estimate (and the weighted L^p) is also equivalent to the pointwise inequality, not only with p=2. This results are reflected in [BMO1]. In the second chapter we work on another open question from the same paper. We deal with the same estimates but relaxing the regularity of the kernel. When we are in the plane, we give a good answer, setting an initial differenciability for the kernel. For higher dimensions, with n bigger than 2, we have a partial answer, in the sense that the initial regularity depends on the degree of a polynomial depending on the kernel. This means that we may should ask for a very big differentiability, but a finite one. In the third chapter, we give an example for which we can't bound de weak L^1 norm of the maximal function in terms of the L^1 norm of the operator. We give the case of a harmonic polynomial of degree 3 in the plane and we explain how we can generalize to all polynomials with odd degree in the plane. However, because of the difficult caracterization of the harmonic polynomials en higher dimensions, the problem in R^n, for n>2, is open. In the last chapter, we consider the same problem of pointwise estimating the maximal operator of a singular integral by the same operator, but in this case we define a new maximal where we truncate by cubes instead of balls. We work with the Beurling transform and we prove that we need the second iteration of the Hardy-Littlewood maximal operator, and that we can't replace it for the first iteration. This results are reflected in [BMO2]. Bibliography [BMO1] A. Bosch-Camós, J. Mateu, J. Orobitg, «L^p estimates for the maximal singular integral in terms of the singular integral», J. Analyse Math. 126 (2015), 287-306. [BMO2] A. Bosch-Camós, J. Mateu, J. Orobitg, «The maximal Beurling transform associated with squares», Ann. Acad. Sci. Fenn. 40 (2015), 215-226. [MOPV] J. Mateu, J. Orobitg, C. Perez, J. Verdera, «New estimates for the maximal singular integral», Int. Math. Res. Not. 19 (2010), 3658-3722. [MOV] J. Mateu, J. Orobitg, J. Verdera, «Estimates for the maximal singular integral in terms of the singular integral: the case of even kernels», Ann. of Math. 174 (2011), 1429-1483. [MV] J. Mateu, J. Verdera, «L^p and weak L^1 estimates for the maximal Riesz transform and the maximal Beurling transform, Math. Res. Lett. 13 (2006), 957-966.

En aquesta tesi s’obtenen nous resultats sobre l’acotació d’operadors de Calderón-Zygmund en espais de Sobolev en dominis de Rd. En primer lloc es demostra un teorema de tipus T(P) vàlid per a Wn,p(U), a on U és un domini uniforme acotat de Rd, n és un nombre natural arbitrari, i p>d. Essencialment, el resultat obtingut afirma que un operador de Calderón-Zygmund de convolució és acotat en aquest espai si i solament si per a tot polinomi P de grau menor que n restringit al domini, T(P) pertany a Wn,p(U). Per a índexs p menors o iguals que d, es demostra una condició suficient per a l'acotació en termes de mesures de Carleson. En el cas n=1 i p<=d, es comprova que aquesta caracterització en termes de mesures de Carleson és també una condició necessària. El cas en què n és no enter i 0<n<1 també s'estudia, obtenint-se resultats anàlegs als anteriors per una família d'espais més àmplia que Sobolev, els anomenats espais de Triebel-Lizorkin. Una altra de les aportacions de la tesi consisteix en l'obtenció de condicions òptimes per a caracteritzar quan la transformada de Beurling de polinomis restringits a dominis B(P) pertany a l'espai de Sobolev Wn,p(U), essent U un domini Lipschitz del pla, en termes de la regularitat Besov de la frontera de U. Aquest resultat, en combinació amb els descrits en el paràgraf anterior, proporciona una condició òptima per a poder determinar quan la transformada de Beurling és acotada en Wn,p(U) en termes de la regularitat de la frontera de U per a p>2. La darrera aportació de la tesi és l'aplicació dels resultats anteriorment descrits a l'estudi de la regularitat de l'equació de Beltrami que satisfan les aplicacions quasiconformes. Essencialment, es demostra que si el coeficient de Beltrami pertany a l'espai Wn,p(U), essent U un domini Lipschitz del pla complex amb parametritzacions de la frontera en un cert espai de Besov i p>2, llavors l'aplicació quasiconforme associada està en l'espai Wn,p(U). / In this dissertation some new results on the boundedness of Calderón-Zygmund operators on Sobolev spaces on domains in Rd. First a T(P)-theorem is obtained which is valid for Wn,p (U), where U is a bounded uniform domain of Rd, n is a given natural number and p>d. Essentially, the result obtained states that a convolution Calderón-Zygmund operator is bounded on this function space if and only if T(P) belongs to Wn,p (U) for every polynomial P of degree smaller than n restricted to the domain. For indices p less or equal than d, a sufficient condition for the boundedness in terms of Carleson measures is obtained. In the particular case of n=1 and p<=d, this Carleson condition is shown to be necessary in fact. The case where n is not integer and 0<n<1 is also studied, and analogous results to the former are obtained for a larger family of function spaces, the so-called Triebel-Lizorkin spaces. The thesis also contains some optimal conditions to establish when the Beurling transform of a polynomial restricted to a domain is contained in the Sobolev space Wn,p(U), where U is a bounded planar Lipschitz domain, in terms of the Besov regularity of the boundary of U. This result, in combination with the results mentioned above, provides an optimal condition to determine wether the Beurling transform is bounded on Wn,p(U) or not in terms of the regularity of the boundary for p>2. Finally, an application of the aforementioned results is given for quasiconformal mappings in the complex plane. In particular, it is checked that the regularity Wn,p(U) of the Beltrami coefficient of a quasiconformal mapping for a bounded Lipschitz domain U with boundary parameterizations in a certain Besov space and p>2, implies that the mapping itself is in Wn+1,p(U).

Les restriccions reals quantificades (QRC) formen un formalisme matemàtic utilitzat per modelar un gran nombre de problemes físics dins els quals intervenen sistemes d'equacions no-lineals sobre variables reals, algunes de les quals podent ésser quantificades. Els QRCs apareixen en nombrosos contextos, com l'Enginyeria de Control o la Biologia.La resolució de QRCs és un domini de recerca molt actiu dins el qual es proposen dos enfocaments diferents: l'eliminació simbòlica de quantificadors i els mètodes aproximatius. Tot i això, la resolució de problemes de grans dimensions i del cas general, resten encara problemes oberts.Aquesta tesi proposa una nova metodologia aproximativa basada en l'Anàlisi Intervalar Modal, una teoria matemàtica que permet resoldre problemes en els quals intervenen quantificadors lògics sobre variables reals.Finalment, dues aplicacions a l'Enginyeria de Control són presentades. La primera fa referència al problema de detecció de fallades i la segona consisteix en un controlador per a un vaixell a vela. / A Quantified Real Constraint (QRC) is a mathematical formalism that is used to model many physical problems involving systems of nonlinear equations linking real variables, some of them affected by logical quantifiers. QRCs appear in numerous contexts, such as Control Engineering or Biology. QRC solving is an active research domain for which two radically different approaches are proposed: the symbolic quantifier elimination and the approximate methods. However, solving large problems within a reasonable computational time and solving the general case, still remain open problems. This thesis proposes a new approximate methodology based on Modal Interval Analysis (MIA), a mathematical theory that allows solving in an elegant way, problems involving logical quantifiers over real variables.Finally, two control engineering applications are presented. The first refers to the problem of fault detection and the second consists of the realization of a controller for a sailboat.

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La tesis consta de cinco capítulos y está dividida en dos partes muy diferenciadas. La primera dedicada tanto al uso del llamado Método del Balance Armónico (MBA) como a su fundamentación teórica. La segunda se ocupa del estudio cuantitativo y cualitativo de dos familias de ecuaciones diferenciales polinomiales en el plano. El MBA proporciona una manera de obtener aproximaciones de las soluciones periódicas de ecuaciones diferenciales, así como su periodo. En los Capítulos 1 y 2 utilizamos el MBA para encontrar aproximaciones de la función de periodo de ciertas familias de ecuaciones diferenciales en el plano. La principal contribución de la tesis en este tema ha sido el estudio analítico paralelo de la función de periodo y la constatación de que las aproximaciones obtenidas vía el MBH recogen varias de las propiedades, tanto locales como globales, de esta función. En el Capítulo 3 se demuestra que cerca de ciertas aproximaciones obtenidas usando el MBH hay soluciones periódicas reales de la ecuación diferencial estudiada. Para obtener nuestros resultados nos basamos en resultados clásicos de Urabe (1965) y Stokes (1972). En la segunda parte del trabajo se abordan problemas cuantitativos, dentro de la llamada Teoría Cualitativa de las Ecuaciones Diferenciales. Más concretamente, en ambos capítulos se determinan analíticamente cotas inferiores y superiores de los valores de bifurcación de dos familias 1-paramétricas de ecuaciones diferenciales polinomiales. La diferencia principal entre las familias estudiadas en el Capítulo 4 y en el Capítulo 5 es que la primera es lo que se denomina una familia rotatoria, lo que implica que las bifurcaciones estén más controladas, mientras que la segunda no lo es, y entonces el problema se torna más complicado. Para encontrar las cotas comentadas en el párrafo anterior se introduce un método para la construcción efectiva de curvas algebraicas sin contacto por el flujo de la ecuación diferencial. Estas curvas son buenas aproximaciones de las separatrices, tanto de los puntos críticos al infinito cómo de los finitos. La comprobación de que estas curvas son sin contacto pasa por el control del signo de familias 1-paramétricas de polinomios. Para resolver esta cuestión se introduce en la tesis el concepto de doble discriminante. Además, el control del número de ciclos límite de las ecuaciones diferenciales se realiza utilizando el criterio generalizado de Bendixson-Dulac. El paso final para ver que este criterio se puede aplicar pasa también por el control del signo de un determinado polinomio y de nuevo el doble discriminante tiene un papel relevante. Los métodos desarrollados en estos dos capítulos permiten calcular aproximaciones algebraicas de las separatrices de los puntos críticos de ecuaciones diferenciales en el plano, así como determinar cotas de los valores de los parámetros que hay en las familias de ecuaciones diferenciales para que estas tengan conexiones homoclínicas o heteroclínicas. / The thesis consists of five chapters and is divided into two parts. The first one is devoted to the use of the so-called Harmonic Balance Method (HBM) as well as its theoretical basis. The second one deals with the quantitative and qualitative study of two families of polynomial differential equations in the plane. The HBM provides a method to obtain approximations of periodic solutions of differential equations and their period. In Chapters 1 and 2 we use the HBM to find approximations of the period function of certain families of differential equations in the plane. The main contribution of the thesis on this issue is the parallel analytical study of the period function and the verification that the approximations obtained via the HBM capture several local and global properties of this function. In Chapter 3, it is shown that near certain approximations obtained using the HBM are actual periodic solutions of the differential equation studied. For our results we rely on classical results of Urabe (1965) and Stokes (1972). The second part of the thesis addresses some quantitative problems within the Qualitative Theory of Differential Equations. More specifically, in both chapters we analytically determined the lower and upper bounds of the bifurcation values of two one-parameter families of polynomial differential equations. The main difference between the families studied in Chapter 4 and Chapter 5, is that while the first one is a rotated family, which implies that the bifurcations are more controlled, the second one is not, and hence the problem becomes more complicated. To establish the bounds discussed in the previous paragraph we introduce a method for the effective construction of algebraic curves without contact by the flow of the differential equation. These curves are good approximations of the separatrices of critical points, both finite or at the infinity. The verification that these curves are without contact essentially amounts to controlling the sign of one-parameter family of polynomials. To solve this problem, the concept of double discriminant is introduced in the thesis. Furthermore, the control of the number of limit cycles of differential equations is performed using the generalized Bendixson-Dulac Criterion. The last step to apply this approach also involves the control of the sign of a given polynomial, and again the double discriminant plays an important role. The methods developed in these two chapters allow one to calculate algebraic approximations of the separatrices of the critical points of differential equations in the plane, and to determine bounds for the parameter values that exist in the families of differential equations in such a way that they can have homoclinic or heteroclinic connections.

Estudiamos los conjuntos suaves en el sentido de nido por Hungerford en espacios eucl deos. Probamos una versin ms fuerte del Teorema de Hungerford sobre la dimensi on de Haus- dor de la frontera de estos conjuntos y mostramos la invariancia de la de nici on mediante una clase de homeomor smos del espacio ambiente. Despu es consideramos las sucesiones de muestreo del espacio de Dirichlet a cierto espacio de sucesiones. Proporcionamos condiciones su cientes y condiciones necesarias para que una sucesi on sea de muestreo. Tambi en proporcionamos una condici on su ciente distinta, expresada en t erminos de la medida arm onica en determinados dominios de tipo champ an. Finalmente, para funciones f en espacios de tipo Dirichlet D , damos m etodos para determinar constructivamente polinomios optimos pn que minimizan kpf ��1k entre todos los polinomios p de grado n como m aximo. Entonces obtenemos estimaciones nas para la tasa de decaimiento de kpnf �� 1k a medida que n tiende hacia 1, para ciertas clases de funciones f. Por ultimo, inspirados por la conjetura de Brown-Shields, probamos que determinadas condiciones logar tmicas sobre f implican la ciclicidad, y describimos algunos fen omenos computacionales correspondientes a los ceros de polinomios optimos. / We study smooth sets in the sense de ned by Hungerford on Euclidean spaces. We prove a sharp form of Hungerford's Theorem on the Hausdor dimension of the boundary of these sets and show the invariance of the de nition under a class of homeomorphisms of the ambient space. We then consider sampling sequences from the Dirichlet space into a certain space of sequences. We provide some su cient and some necessary conditions for a sequence to be sampling. We also provide a di erent su cient condition, which is expressed in terms of harmonic measure in some champagne-type domains. Finally, for functions f in Dirichlet-type spaces D , we give methods to determine constructively optimal polynomials pn that minimize kpf � 1k among all polynomials p of degree at most n. We then obtain sharp estimates for the rate of decay of kpnf �1k as n approaches 1, for certain classes of functions f. To conclude, inspired by the Brown- Shields conjecture, we prove that certain logarithmic conditions on f imply cyclicity, and we describe some computational phenomena pertaining to the zeros of optimal polynomi- als.

En esta tesis se analiza el problema de la representación asociada a un conjunto sobre el que tenemos definida una distancia verificando el axioma del cuarto punto, realizando un estudio formal de los principales aspectos relacionados con este tipo de representaciones tales como una caracterización de las mismas tratando a través de ella las relaciones entre distancias ultramétricas y aditivas. En concreto, se estudia una estructura de variedad diferenciable sobre el conjunto de las distancias aditivas con configuración inferencia en árboles y confección de algoritmos de construcción de árboles aditivos.

En este trabajo se ha desarrollado un cálculo vectorial sobre estructuras discretas, análogo al de los modelos continuos. Para ello se ha considerado como espacio subyacente un multigrafo finito o variedad discreta y se ha definido el concepto de espacio tangente a cada vértice. A partir de esta noción se han definido los distintos tipos de campos sobre la variedad y se ha introducido la estructura de variedad Riemanniana discreta, lo que ha posibilitado construir los operadores gradiente, divergencia y Laplaciano. La consideración de métricas generales sobre los multigrafos tiene consecuencias desde el punto de vista de las aplicaciones. Los esquemas en diferencias finitas para la resolución de problemas de contorno elípticos pueden ser vistos como problemas de contorno discretos relativos a Laplacianos asociados a determinadas métricas. A modo de ejemplo, en este trabajo se obtienen las métricas que corresponden a los esquemas en diferencias consistentes con el operador de Laplace sobre retículas uniformes. Se ha desarrollado un cálculo integral sobre subvariedades discretas que incluye los análogos de las Identidades de Green. La obtención de estos teoremas integrales ha permitido plantear problemas de contorno autoadjuntos, que son la contrapartida discreta de problemas de contorno elípticos de segundo orden con condiciones de contorno mixtas. Se ha realizado un análisis de existencia y de unicidad de soluciones de tales problemas y se ha abordado también el estudio de los operadores integrales y sus correspondientes núcleos, asociados a cada uno de los problemas de contorno semihomogéneos tratados. El hecho de que en un espacio finito todo operador lineal pueda interpretarse como un operador integral, nos ha permitido entender los operadores en diferencias que determinan los problemas de contorno como núcleos sobre el espacio de vértices de la variedad. Hemos demostrado que desde el punto de vista de la Teoría del Potencial estos núcleos satisfacen los principios de energía y del máximo, que son suficientes para que tenga sentido el problema de equilibrio sobre cada subconjunto. Además, las peculiaridades de estos núcleos nos han permitido probar que el soporte de la medida de equilibrio de cada subconjunto coincide con él. Esta propiedad conduce a expresar la función de Green de cada subconjunto en términos de medidas de equilibrio. Finalmente, se ha generalizado el concepto de resistencia efectiva entre vértices de una variedad discreta y se ha demostrado que se satisfacen las mismas propiedades que en el caso clásico. En particular, se ha obtenido una expresión sencilla de la resistencia efectiva en términos de medidas de equilibrio. / In this work we have developed a vector difference calculus on discrete structures, analogous to vector differential calculus on continuous models. To this end, we consider a finite multigraph or discrete manifold as the underlying space and we define the concept of tangent space at a vertex. From this concept we define the different types of fields on a manifold and we introduce the discrete Riemannian structure, which has enable us to construct the gradient, divergence and Laplace operators. The consideration of general metrics on discrete manifolds has some consequences from the application point of view. The finite difference schemes for the resolution of elliptic boundary value problems can be seen as discrete boundary value problems with respect to the Laplace operator associated to specific metrics. As an example, in this work we obtain the metrics that correspond to consistent discrete difference schemes for the Laplace operator on uniform grids.We also have developed an integral calculus on discrete manifolds that includes the analogous of the Green Identities. The obtained integral theorems allow us to raise adjoint boundary value problems, which are the discrete counterpart of second order elliptic boundary value problems with mixed boundary conditions. We have tackled an analysis of existence and uniqueness of solutions of such a problems. In addition, we have studied the integral operators and their corresponding kernels, associated with each one of the considered semihomogeneuos boundary value problems. The fact that in a finite space a linear operator could be considered as an integral operator, has allow us to understand the difference operators determined by the boundary value problems as kernels on the manifold vertex space. We have proved that in the context of Potential Theory the above kernels verify the energy and maximum principles, that are enough to the resolution of the equilibrium problem on every subset. Moreover, the peculiarities of these kernels imply that the support of the equilibrium measure of a set coincides with the own set. This property leads to express the Green function of every subset in terms of equilibrium measures.Finally, we have generalized the concept of effective resistance between vertices of a discrete manifold and we have proved that the properties verified in the standard case are still in force. In particular, we have obtained a simple expression of the effective resistance in terms of equilibrium measures.

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