Numerosas álgebras de funciones, importantes en Análisis, se obtienen al imponer condiciones de crecimiento a funciones de un determinado espacio y dotarlas de una topología adecuada a dichas condiciones. Algunas veces se obtienen álgebras de Banach a las que es aplicable la teoría del Gelfand; otras veces son álgebras localmente multiplicativamente convexas, es decir espacios localmente convexos dotados de un producto continuo y que poseen una base de entornos m-convexos (convexos e ídem potentes para el producto), las cuales son límites proyectivos de álgebras normadas y a las que, en consecuencia, es aplicable la teoría citada, debidamente generalizada. Nosotros estudiaremos, aquí, un álgebra topológica de funciones analíticas que, por la naturaleza de las condiciones de crecimiento, no es límite de álgebras normadas, procurando poner de manifiesto las propiedades más generales que se manejan, para que el estudio sea utilizable para otras álgebras análogas. En el Capítulo I se introduce el álgebra E(alfa) de las funciones enteras de orden menor o igual que alfa, dotada de una topología natural, y se establecen las propiedades de esta tipología que se necesitarán más adelante; topologías localmente convexas de este tipo y otras análogas habían sido ya consideradas por la literatura especializada, donde se establece el hecho que sean nucleares. El Capítulo II trata a E(alfa) desde el punto de vista del álgebra, estableciendo en especial la continuidad de la derivación y del paso al inverso.En el Capítulo III se considera el espacio de sucesiones asociado a E(alfa) probando que su topología normal coincide con la original y deduciendo de ello la densidad de los polinomios en E(alfa), lo que dice que el espectro de caracteres de esta álgebra es el plano complejo. En el Capítulo IV se estudian las propiedades más ligadas a la naturaleza de las funciones de E(alfa): cuestiones de acotación y convergencia de productos infinitos y de la descomposición de Hadamard de estas funciones. Los resultados obtenidos se aplican a caracterizar los ideales cerrados de E(alfa) a través de sus ceros, obteniéndose en particular que el espectro de ideales maximales cerrados del álgebra coincide con el espectro de caracteres. La determinación de ideales cerrados había sido ya tratada para álgebras de funciones analíticas con condiciones de crecimiento. En el Capítulo V se considera el problema de la interpolación de una sucesión dada por funciones de E(alfa); se introduce un álgebra de sucesiones dotada de una tipología análoga a la de E(alfa), en la que forzosamente han de estar las sucesiones interpolables y se prueba que tales sucesiones son densas en ella, así como en el espacio de todas las sucesión dotado de la tipología producto. Los métodos utilizados se aplican, también, a estudiar los cocientes del álgebra de las funciones enteras por un ideal cerrado.El Capítulo VI empieza con algunas condiciones para que un álgebra topológica sea un álgebra de funciones enteras y pasa después a tratar los problemas de división e inversión de una sucesión convergente en tales álgebras, los cuales están ligados a la descripción de los ideales cerrados en álgebras satisfaciendo hipótesis análogas a las propiedades estudiadas en E(alfa).

En esta memoria se estudian básicamente dos tipos de operadores lineales: las aplicaciones separadoras y las isometrías.En el caso de las aplicaciones separadoras se analiza su continuidad automática en dos contextos: los espacios de funciones continuasy las álgebras de grupos localmante compactos y Abelianos. En ambos casos se representan las aplicaciones separadoras como aplicaciones composición con un peso.Por lo que respecta a las isometrías, su estudio se centra en su posible representación cuando están definidas sobre subespacios de funciones continuas.Se caracterizan los subespacios más pequeños sobre los que dicha representación es posible. Finalmente, se analizan las isometrías cuyo rango tiene codimensión finita.

Esta memoria recoge algunos de los puntos fundamentales e inéditos que han aparecido al iniciar un estudio sobre los métodos espectrales en Análisis y, en particular, sobre los anillos y estructuras diferenciables. Dicho estudio se ha realizado bajo la dirección del profesor Dr. J. Sancho Guimerà y en colaboración con J. Muñoz. El camino recorrido puede seguirse a través del articulo "Sobre las álgebras localmente convexas" de J. Muñoz y J. Ortega (Coll. Math 1969), la memoria "Caracterización de las álgebras diferenciables y síntesis espectral para módulos sobre tales álgebras", tesis doctoral de J. Muñoz y la presente memoria.El capitulo I y la primera parte del capítulo III son, básicamente, de preparación para los teoremas de caracterización anteriormente citados. En la segunda parte del capítulo III se vuelve al problema de la localización para productos tensoriales de A-álgebras y módulos sobre las mismas. En el primer apartado del capitulo III se estudian las derivaciones y diferenciales para A-álgebras de Fréchet y se dar para ellas propiedades análogas a las algebraicas de las diferenciales de Kalher. En el capitulo IV se describen diversos ejemplos de morfismos "t" lisos que tienen interés en Análisis. Se definen los morfismos "t" lisos asociados a un fibrado trivial de base Spec (A) y fibra R(n) ó una variedad, así como el asociado a un módulo proyectivo que son las A-secciones de un fibrado localmente trivial de fibra R(n). De esta forma la estructura diferenciable ce las fibras se transporta a una "estructura A-diferenciable" en las A-secciones de dichos fibrados se demuestra que la A-variedad de las A-secciones del fibrado trivial de fibra una variedad es localmente isomorfa a un módulo proyectivo de los citados anteriormente. Como resultado marginal y como muestra de las posibilidades de estos planteamientos se observa como la demostración del teorema de existencia de soluciones en ecuaciones diferenciales ordinarias da directamente el teorema de dependencia diferenciable de las soluciones respecto a las condiciones iniciales y respecto a una familia de parámetros de las que depende la propia ecuación diferencial.

Para grupos topológicos abelianos maximalmente casi periódicos (en el sentido de von Neumann) es sencillo describir su compactación de Bohr, bG. En este caso puede identificarse bG con el conjunto de homomorfismos del dual de G en el toro de dimensión 1. La topología que G hereda como subgrupo de bG es la topología de Bohr de G. Resulta que la topología de Bohr es una topología totalmente acotada generada por el grupo de caracteres continuos de G. Con ese punto de partida y, utilizando el concepto de grupos en dualidad introducido por Varopoulos, se estudian diversas propiedades topológicas para la topología débil de una dualidad. Se obtiene con ello una caracterización de la débil realcompacidad en términos similares a los obtenidos por otros autores para espacios de Banach, espacios vectoriales topológicos localmente convexos y grupos abelianos localmente compactos. Además se obtienen caracterizaciones para la realcompacidad hereditaria y la pseudocompacidad. Diversos autores han considerado también el problema de la preservación de la compacidad, así como de otras propiedades topológicas, al pasar a la topología de Bohr. En esta tesis se introduce una nueva clase de grupos, los g-grupos, que aglutina a muchas otras clases de grupos topológicos: los grupos abelianos localmente compactos, los grupos aditivos de espacios vectoriales topológicos y los grupos nucleares, entre otros. Para esta nueva clase se obtiene una caracterización de la preservación de la compacidad que engloba y unifica las aproximaciones obtenidas separadamente para cada una de las clases mencionadas anteriormente. El estudio anterior se particulariza para los grupos metrizables, consiguiendo nuevas caracterizaciones estrechamente relacionadas con el trabajo de van Douwen para grupos discretos. En particular, se obtiene una caracterización para los grupos aditivos de espacios de Banach y se muestra, con un ejemplo de Bourgain, que ésta díficilmente puede ser refinada.

La presente memoria se enmarca dentro del estudio de las relaciones topológicas entre dos espacios topológicos Hausdorff que pueden deducirse de las vinculaciones algebraicas, topológicas o de otra clase entre los correspondientes grupos de funciones continuas evaluadas en un grupo topológico, siguiendo la línea del Teorema clásico de Banach-Stone. Ponemos especial atención en la representación de aplicaciones entre grupos de funciones continuas de un espacio topológico en el grupo topológico T, la circunferencia unidad del plano complejo, y también entre grupos de funciones continuas de un grupo topológico en el mismo grupo T, para después enfocar el problema desde el punto de vista de las C*-álgebras de grupo. Con el mismo fin, estudiamos ciertos homomorfismos entre grupos de funciones continuas evaluadas en un grupo topológico G y se dan resultados de continuidad automática. En el trabajo, se utilizan técnicas de la dualidad de Pontryagin, de grupos topológicos y del análisis funcional para llevar a cabo estos objetivos.