Este trabalho trata do tipo de dado intervalar e da importância da especificação de uma semântica para garantir a correção e a interpretação coerente de resultados gerados, tais como de soluções de equações envolvendo este tipo de dado. Para tanto, realiza um estudo comparativo das semânticas de envoltória intervalar de reais e de número-intervalo, procurando identificar a influência de cada uma sobre definições fundamentais, tais como as das operações aritméticas e a do tipo de solução encontrado. Uma vez caracterizadas as semânticas associadas ao tipo de dado intervalar, o trabalho apresenta resultados que permitem mapear algebricamente a operação de multiplicação de números-intervalo tanto na representação de extremo inferior e extremo superior como na representação por ponto médio e diâmetro. Com base nesses resultados apresenta os mapeamentos das expressões algébricas que definem as potências positivas inteiras tanto para a semântica de número-intervalo como para a de envoltória de reais. Conjugando os resultados obtidos com a semântica de número-intervalo, o trabalho apresenta procedimentos algorítmicos para a determinação de dois tipos de soluções de equações intervalares: solução própria, a obtida diretamente a partir da relação de igualdade estrutural algébrica entre intervalos, e envoltória intervalar de soluções reais, normalmente referenciada como a solução intervalar usual. Exemplos são apresentados para a validação dos procedimentos, bem como para a discussão do significado de cada tipo de solução sob o enfoque semântico.

Este trabalho contém um estudo para isolar os zeros reais de polinômios cujos coeficientes podem ser perturbados, isto é, os coeficientes possuem variações que constituem intervalos. Assim chamamos a tais polinômios de Polinômios Intervalares do mesmo modo que chamamos de polinômios complexos àqueles que possuem coeficientes complexos. Isolar os zeros, delimitar regiões que os contenham, dizer se um polinômio estável ou determinar qual a perturbação aceitável nos seus coeficientes, de modo a preservar certas características são problemas que aparecem em diversos setores da Computação Científica e em especial, na Teoria de Controle. Neste trabalho, a família dos polinômios intervalares é inicialmente analisada dentro das possibilidades algébricas que as operações intervalares, conforme definidas por Moore, permitem. Dentro deste contexto, são definidas as operações elementares entre polinômios intervalares assim como são estudadas as suas novas propriedades. Em função das limitações inerentes à abordagem anterior, a família [p] dos polinômios intervalares, é também, caracterizada por um novo enfoque, através de 4 polinômios reais específicos da família, - os polinômios limítrofes - a partir dos quais podemos obter informações relevantes a respeito da enumeração e localização dos seus zeros reais ou eventualmente sobre os zeros complexos. Obtivemos, com o uso dos polinômios limítrofes, um resultado mais eficiente para determinar se um polinômio intervalar possui apenas zeros reais, de modo que, neste caso, eles possam ser isolados num algoritmo algébrico de complexidade menor, do que uma outra alternativa baseada no cálculo de autovalores. Além disso. localizar os zeros de polinômios intervalares é uma fase importante para o cálculo aproximado ou mesmo exato da região que contém efetivamente os zeros do polinômio intervalar. Em geral, os métodos de cálculo aproximado dos zeros precisam de uma região inicial que contenha apenas um zero a ser pesquisado. Esta é uma fase crítica de todo o processo, feito pela abordagem algébrica ou pela abordagem de aproximações numéricas. / The aim of this work is to isolate through algebraic process the real polynomial roots that have coefficients which can be perturbed. These perturbations (variations) on the coefficients can be enclosed in intervals. Then we call these polynomials. interval polynomials, in the same way that we call complex polynomial those ones formed with coefficients that are complex numbers. One of the main points in the solution of polynomial problems is to limit the regions that have all roots, all the negative ones, the stability, and so on. These questions present good solutions when the polynomials are real or complex, on the other hand, when the coefficients are perturbed or we need to decide what kind of variation can be done, in order to preserve the main features of the polynomial, then we are workin g with problems that appear in Scientific Computation and, specially, in Control Theory. Besides this, we need to isolate the roots of interval polynomial before calculating them. In general, the methods for approximating zeros need an initial region that has just one root. In the case where the accuracy is necessary or if we already know of the result instability, the algebraic processes are recommended.

O objetivo deste trabalho e determinar a solução de algumas equações de coeficientes intervalares. Este estudo utiliza uma Teoria das Aproximações Intervalares, a qual foi descrita por [ACI91]. Nesta teoria a igualdade para intervalos e substituída pela relação de aproximação . Esta substituição deve-se ao fato da igualdade utilizada na Teoria Clássica dos Intervalos para resolução de equações de coeficientes intervalares não apresentar uma solução satisfatória, visto que a solução encontrada não contem todas as soluções das equações reais que compõe a equação intervalar. Pela substituição da igualdade intervalar por uma relação de aproximação é possível determinar a solução de equações de coeficientes intervalares, de maneira que esta solução contenha todas as possíveis soluções das equações reais pertencentes a equação intervalar. Apresenta-se alguns conceitos básicos, bem como analisa-se algumas propriedades no espaço solução ( /(R), +, •, C, 1). São representadas graficamente diferentes tipos de funções neste espaço intervalar, com os objetivos de obtenção da imagem, caracterização da solução e identificação gráfica da região de solução (ótima e externa), para cada tipo de função. Como a representação de intervalos de /(R) esta determinada num semiplano de eixos X - X+, onde X - representa o extremo inferior de cada intervalo e X+ representa o extremo superior dos intervalos, apresenta-se o espaço intervalar estendido /(R). Neste espaço intervalar estão definidos os intervalos não-regulares, representados no outro semi-piano de eixos X - X+ Em /(R) serão apresentados alguns conceitos fundamentais, assim como operações aritméticas e algumas considerações referentes aos intervalos não-regulares. No espaço intervalar /(R) e possível resolver equações de coeficientes intervalares de maneira análoga a resolução de equações reais no espaço real, pois este espaço intervalar possui a estrutura semelhante a de um corpo. Com isto apresenta-se a solução de equações de coeficientes intervalares lineares, obtida diretamente, assim como determina-se a Formula de Bascara Intervalar para resolução da Equação Quadrática Intervalar. Para funções que possuem grau maior que 2 apresenta-se alguns métodos iterativos intervalares, tais como o Método de Newton Intervalar, o Método da Secante Intervalar e o Método híbrido Intervalar, que permitem a obtenção do intervalo solução para funções intervalares. Por fim apresenta-se alguns conceitos básicos no espaço intervalar matricial M„,„(/(R)), bem como apresenta-se alguns métodos diretos para resolução de sistemas de equações lineares intervalares. / The aim of this work is to determine the solution set of some Equations of Interval Coefficients. The study use a Theory of Interval Approximation. The begining of this theory was described by [ACI91]. In this theory the equality for intervals is replaced by an approximation relation. When we make use of that relation to solve interval equations, it's possible to obtain an optimal solution, i.e., to get an interval solution that contain all of real solutions of the real equations envolved in the interval equation. By using the equality of Classical Interval Theory for solving interval equations we can not get an optimal solution, that is, the interval solution in the most of equations not consider some real solutions of real equations that belong to the interval equation. We present some basic concepts and analyse some properties at the interval space (1(R), E, -a x , 1). Different kind of functions are showed in this space in order to obtain the range, the solution caracterization and the graphic identification of the optimal and external solution region, for each kind of function. The representation of intervals in /(R) is determined in a half plane of axes X - , X+, where X - represent the lower endpoint and X+ represent the upper endpoint of the intervals. The nonregular intervals are defined in /(R), which are determined in an other half plane. In this interval space are presenting some specific concepts, as well as arithmetical operations and some remarks about nonregular intervals. The interval space (1(R), +, •, C, Ex , 1) have a similar structure to a field, so it's possible to solve interval coefficients equations analogously as to solve real equations in the real space. We present the solution of linear interval equations and we determine an interval formula to solve square interval equation. We present some intervals iterated methods for functions that have degree greater than 2 that allow to get an interval solution of interval functions. Finally we show some basic concepts about the interval matrix space Af,„„(IR)) and present direct methods for the resolution of linear interval sistems.

Este trabalho contém um estudo para isolar os zeros reais de polinômios cujos coeficientes podem ser perturbados, isto é, os coeficientes possuem variações que constituem intervalos. Assim chamamos a tais polinômios de Polinômios Intervalares do mesmo modo que chamamos de polinômios complexos àqueles que possuem coeficientes complexos. Isolar os zeros, delimitar regiões que os contenham, dizer se um polinômio estável ou determinar qual a perturbação aceitável nos seus coeficientes, de modo a preservar certas características são problemas que aparecem em diversos setores da Computação Científica e em especial, na Teoria de Controle. Neste trabalho, a família dos polinômios intervalares é inicialmente analisada dentro das possibilidades algébricas que as operações intervalares, conforme definidas por Moore, permitem. Dentro deste contexto, são definidas as operações elementares entre polinômios intervalares assim como são estudadas as suas novas propriedades. Em função das limitações inerentes à abordagem anterior, a família [p] dos polinômios intervalares, é também, caracterizada por um novo enfoque, através de 4 polinômios reais específicos da família, - os polinômios limítrofes - a partir dos quais podemos obter informações relevantes a respeito da enumeração e localização dos seus zeros reais ou eventualmente sobre os zeros complexos. Obtivemos, com o uso dos polinômios limítrofes, um resultado mais eficiente para determinar se um polinômio intervalar possui apenas zeros reais, de modo que, neste caso, eles possam ser isolados num algoritmo algébrico de complexidade menor, do que uma outra alternativa baseada no cálculo de autovalores. Além disso. localizar os zeros de polinômios intervalares é uma fase importante para o cálculo aproximado ou mesmo exato da região que contém efetivamente os zeros do polinômio intervalar. Em geral, os métodos de cálculo aproximado dos zeros precisam de uma região inicial que contenha apenas um zero a ser pesquisado. Esta é uma fase crítica de todo o processo, feito pela abordagem algébrica ou pela abordagem de aproximações numéricas. / The aim of this work is to isolate through algebraic process the real polynomial roots that have coefficients which can be perturbed. These perturbations (variations) on the coefficients can be enclosed in intervals. Then we call these polynomials. interval polynomials, in the same way that we call complex polynomial those ones formed with coefficients that are complex numbers. One of the main points in the solution of polynomial problems is to limit the regions that have all roots, all the negative ones, the stability, and so on. These questions present good solutions when the polynomials are real or complex, on the other hand, when the coefficients are perturbed or we need to decide what kind of variation can be done, in order to preserve the main features of the polynomial, then we are workin g with problems that appear in Scientific Computation and, specially, in Control Theory. Besides this, we need to isolate the roots of interval polynomial before calculating them. In general, the methods for approximating zeros need an initial region that has just one root. In the case where the accuracy is necessary or if we already know of the result instability, the algebraic processes are recommended.

Este trabalho trata do tipo de dado intervalar e da importância da especificação de uma semântica para garantir a correção e a interpretação coerente de resultados gerados, tais como de soluções de equações envolvendo este tipo de dado. Para tanto, realiza um estudo comparativo das semânticas de envoltória intervalar de reais e de número-intervalo, procurando identificar a influência de cada uma sobre definições fundamentais, tais como as das operações aritméticas e a do tipo de solução encontrado. Uma vez caracterizadas as semânticas associadas ao tipo de dado intervalar, o trabalho apresenta resultados que permitem mapear algebricamente a operação de multiplicação de números-intervalo tanto na representação de extremo inferior e extremo superior como na representação por ponto médio e diâmetro. Com base nesses resultados apresenta os mapeamentos das expressões algébricas que definem as potências positivas inteiras tanto para a semântica de número-intervalo como para a de envoltória de reais. Conjugando os resultados obtidos com a semântica de número-intervalo, o trabalho apresenta procedimentos algorítmicos para a determinação de dois tipos de soluções de equações intervalares: solução própria, a obtida diretamente a partir da relação de igualdade estrutural algébrica entre intervalos, e envoltória intervalar de soluções reais, normalmente referenciada como a solução intervalar usual. Exemplos são apresentados para a validação dos procedimentos, bem como para a discussão do significado de cada tipo de solução sob o enfoque semântico.

Este trabalho visa a disponibilização de um ambiente de alto desempenho, do tipo cluster de computadores, com alta exatidão, obtida através da utilização da biblioteca C–XSC. A alta exatidão na solução de um problema é obtida através da realização de cálculos intermediários sem arredondamentos como se fossem em precisão infinita. Ao final do cálculo, o resultado deve ser representado na máquina. O resultado exato real e o resultado representado diferem apenas por um único arredondamento. Esses cálculos em alta exatidão devem estar disponíveis para algumas operações aritméticas básicas, em especial as que possibilitam a realização de somatório e de produto escalar. Com isso, deseja-se utilizar o alto desempenho através de um ambiente de cluster onde se tem vários nodos executando tarefas ou cálculos. A comunicação será realizada por troca de mensagens usando a biblioteca de comunicação MPI. Para se obter a alta exatidão neste tipo de ambiente, extensões ou adaptações nos programas paralelos tiveram que ser disponibilizadas para garantir que a qualidade do resultado final realizado em um cluster, onde vários nodos colaboram para o resultado final do cálculo, mantivesse a mesma qualidade do resultado que é obtido em uma única máquina (ou nodo) de um ambiente de alta exatidão. Para validar o ambiente proposto foram realizados testes básicos abordando o cálculo do produto escalar, a multiplicação entre matrizes, a implementação de solvers intervalares para matrizes densas e bandas e a implementação de alguns métodos numéricos para a resolução de sistemas de equações lineares com a característica da alta exatidão. Destes testes foram realizadas análises e comparações a respeito do desempenho e da exatidão obtidos com e sem o uso da biblioteca C–XSC, tanto em programas seqüenciais como em programas paralelos. Com a conseqüente implementação dessas rotinas e métodos será aberto um vasto campo de pesquisa no que se refere ao estudo de aplicações reais de grande porte que necessitem durante a sua resolução (ou em parte dela) da realização de operações aritméticas com uma exatidão melhor do que a obtida usualmente pelas ferramentas computacionais tradicionais.

Neste trabalho e apresentada uma nova abordagem para a representação gráfica de intervalos. Segundo esta abordagem é possível realizar a análise visual de intervalos a partir da associação entre propriedades geométricas do piano cartesiano e de conjuntos de intervalos representados como pontos desse piano. Esta nova abordagem possibilita a representação da interpretação dual de intervalos, assim como a analise visual de relacionamentos em (IR, <=) e (IR, C). Neste contexto, a representação gráfica do conjunto de intervalos degenerados, representado pela reta y = x, constitui um caso especial desta representação,"o. Por sua vez, a relação (IR, representada pelo semiplano superior a reta y = x, denotado piano IR. A interpretação visual de operações intervalares é obtida diretamente através da aplicação da representação gráfica proposta. Além disto, operandos e operadores podem ser estudados diretamente a partir desta representação. Foram desenvolvidos experimentos de analise visual de intervalos utilizando a abordagem proposta e resultados bastante promissores foram obtidos. Estes experimentos possibilitaram a identificação de novas propriedades de intervalos assim como interpretações não usuais para operações intervalares. Esta representação pode ser utilizada também para observar o comportamento de seqüências de intervalos gerados a partir de programas baseado na aplicação da aritmética intervalar. Nesta caso, pode ser observado como os intervalos desta seqüência variam com relação ao seu ponto médio e o raio, assim como a relação entre eles. Esta representação foi utilizada com sucesso para obter a solução geométrica da equação intervalar afim e efetuando sua validação. Finalmente, analisamos a contribuição efetiva deste trabalho no contexto da aritmética intervalar. / This thesis presents a framework enabling the visual analysis of intervals, obtained by mapping geometric properties of the cartesian plane into interval sets to obtain a graphical representation. This new approach makes possible a dual interval representation and the immediate visual analysis of several relationships in (IR, <=) and (IR, C). In this sense, the set of degenerated intervals is a special case of this approach as they are represented by the straight line y=x. In turn, the order relation in (IR, C) is represented through the half-plane above the straight line y = x, denoted IR plane. Applying this framework, the visual interpretation of most interval operations is obtained directly from the graphical representation of the operands and the operations being studied. On the other hand, some experiments on interval visual analysis were developed with good final results. Thus, new properties and unusual interpretations for known operations can be developed with rather small effort. Moreover, this representation can be easily embedded into a running algorithm, to observe convergence and behavior of interval iterations, as one can easily see how intervals change with respect to midpoint and radius, as well as with respect to each other. The validation of this new approach was carried through the geometric solution of linear interval equations. This result was analyzed in order to verify the effective contribution of this geometrical representation in the context of interval arithmetic.

Neste trabalho e apresentada uma nova abordagem para a representação gráfica de intervalos. Segundo esta abordagem é possível realizar a análise visual de intervalos a partir da associação entre propriedades geométricas do piano cartesiano e de conjuntos de intervalos representados como pontos desse piano. Esta nova abordagem possibilita a representação da interpretação dual de intervalos, assim como a analise visual de relacionamentos em (IR, <=) e (IR, C). Neste contexto, a representação gráfica do conjunto de intervalos degenerados, representado pela reta y = x, constitui um caso especial desta representação,"o. Por sua vez, a relação (IR, representada pelo semiplano superior a reta y = x, denotado piano IR. A interpretação visual de operações intervalares é obtida diretamente através da aplicação da representação gráfica proposta. Além disto, operandos e operadores podem ser estudados diretamente a partir desta representação. Foram desenvolvidos experimentos de analise visual de intervalos utilizando a abordagem proposta e resultados bastante promissores foram obtidos. Estes experimentos possibilitaram a identificação de novas propriedades de intervalos assim como interpretações não usuais para operações intervalares. Esta representação pode ser utilizada também para observar o comportamento de seqüências de intervalos gerados a partir de programas baseado na aplicação da aritmética intervalar. Nesta caso, pode ser observado como os intervalos desta seqüência variam com relação ao seu ponto médio e o raio, assim como a relação entre eles. Esta representação foi utilizada com sucesso para obter a solução geométrica da equação intervalar afim e efetuando sua validação. Finalmente, analisamos a contribuição efetiva deste trabalho no contexto da aritmética intervalar. / This thesis presents a framework enabling the visual analysis of intervals, obtained by mapping geometric properties of the cartesian plane into interval sets to obtain a graphical representation. This new approach makes possible a dual interval representation and the immediate visual analysis of several relationships in (IR, <=) and (IR, C). In this sense, the set of degenerated intervals is a special case of this approach as they are represented by the straight line y=x. In turn, the order relation in (IR, C) is represented through the half-plane above the straight line y = x, denoted IR plane. Applying this framework, the visual interpretation of most interval operations is obtained directly from the graphical representation of the operands and the operations being studied. On the other hand, some experiments on interval visual analysis were developed with good final results. Thus, new properties and unusual interpretations for known operations can be developed with rather small effort. Moreover, this representation can be easily embedded into a running algorithm, to observe convergence and behavior of interval iterations, as one can easily see how intervals change with respect to midpoint and radius, as well as with respect to each other. The validation of this new approach was carried through the geometric solution of linear interval equations. This result was analyzed in order to verify the effective contribution of this geometrical representation in the context of interval arithmetic.

Este trabalho visa a disponibilização de um ambiente de alto desempenho, do tipo cluster de computadores, com alta exatidão, obtida através da utilização da biblioteca C–XSC. A alta exatidão na solução de um problema é obtida através da realização de cálculos intermediários sem arredondamentos como se fossem em precisão infinita. Ao final do cálculo, o resultado deve ser representado na máquina. O resultado exato real e o resultado representado diferem apenas por um único arredondamento. Esses cálculos em alta exatidão devem estar disponíveis para algumas operações aritméticas básicas, em especial as que possibilitam a realização de somatório e de produto escalar. Com isso, deseja-se utilizar o alto desempenho através de um ambiente de cluster onde se tem vários nodos executando tarefas ou cálculos. A comunicação será realizada por troca de mensagens usando a biblioteca de comunicação MPI. Para se obter a alta exatidão neste tipo de ambiente, extensões ou adaptações nos programas paralelos tiveram que ser disponibilizadas para garantir que a qualidade do resultado final realizado em um cluster, onde vários nodos colaboram para o resultado final do cálculo, mantivesse a mesma qualidade do resultado que é obtido em uma única máquina (ou nodo) de um ambiente de alta exatidão. Para validar o ambiente proposto foram realizados testes básicos abordando o cálculo do produto escalar, a multiplicação entre matrizes, a implementação de solvers intervalares para matrizes densas e bandas e a implementação de alguns métodos numéricos para a resolução de sistemas de equações lineares com a característica da alta exatidão. Destes testes foram realizadas análises e comparações a respeito do desempenho e da exatidão obtidos com e sem o uso da biblioteca C–XSC, tanto em programas seqüenciais como em programas paralelos. Com a conseqüente implementação dessas rotinas e métodos será aberto um vasto campo de pesquisa no que se refere ao estudo de aplicações reais de grande porte que necessitem durante a sua resolução (ou em parte dela) da realização de operações aritméticas com uma exatidão melhor do que a obtida usualmente pelas ferramentas computacionais tradicionais.

Este trabalho visa a disponibilização de um ambiente de alto desempenho, do tipo cluster de computadores, com alta exatidão, obtida através da utilização da biblioteca C–XSC. A alta exatidão na solução de um problema é obtida através da realização de cálculos intermediários sem arredondamentos como se fossem em precisão infinita. Ao final do cálculo, o resultado deve ser representado na máquina. O resultado exato real e o resultado representado diferem apenas por um único arredondamento. Esses cálculos em alta exatidão devem estar disponíveis para algumas operações aritméticas básicas, em especial as que possibilitam a realização de somatório e de produto escalar. Com isso, deseja-se utilizar o alto desempenho através de um ambiente de cluster onde se tem vários nodos executando tarefas ou cálculos. A comunicação será realizada por troca de mensagens usando a biblioteca de comunicação MPI. Para se obter a alta exatidão neste tipo de ambiente, extensões ou adaptações nos programas paralelos tiveram que ser disponibilizadas para garantir que a qualidade do resultado final realizado em um cluster, onde vários nodos colaboram para o resultado final do cálculo, mantivesse a mesma qualidade do resultado que é obtido em uma única máquina (ou nodo) de um ambiente de alta exatidão. Para validar o ambiente proposto foram realizados testes básicos abordando o cálculo do produto escalar, a multiplicação entre matrizes, a implementação de solvers intervalares para matrizes densas e bandas e a implementação de alguns métodos numéricos para a resolução de sistemas de equações lineares com a característica da alta exatidão. Destes testes foram realizadas análises e comparações a respeito do desempenho e da exatidão obtidos com e sem o uso da biblioteca C–XSC, tanto em programas seqüenciais como em programas paralelos. Com a conseqüente implementação dessas rotinas e métodos será aberto um vasto campo de pesquisa no que se refere ao estudo de aplicações reais de grande porte que necessitem durante a sua resolução (ou em parte dela) da realização de operações aritméticas com uma exatidão melhor do que a obtida usualmente pelas ferramentas computacionais tradicionais.