Neste trabalho desenvolve-se um estudo sobre os Espaços Coerentes Gerados por Conjuntos Básicos, dotados de uma estrutura adicional. Por estrutura adicional entende-se uma estrutura algébrica, de ordem pontual, de medidas, topológica e lógica. Estes espaços, denotados por , constituem uma subcategoria dos Espaços Coerentes, cujos objetos, ordenados pela inclusão, são conjuntos coerentes constituídos por subconjuntos do conjunto básico, os quais estão relacionados pela relação de coerência induzida, que estrutura a teia deste espaço. Os morfismos desta categoria são as funções de objetos geradas por funções básicas. As propriedades algébricas e relacionais destas funções básicas, externas ao processo de construção, ao se propagarem, passam a influenciar na verificação das propriedades internas das funções de objetos. Contudo, este trabalho não é um estudo categórico. A metodologia adotada utiliza a linguagem simples e intuitiva da Teoria dos Conjuntos, que possibilita a visualização e a análise dos relacionamentos existentes, não apenas entre os morfismos que envolvem os objetos totais ou parciais desta categoria, mas também das estruturas ou pré-estruturas externas que os formam, representados pelas funções de tokens e funções básicas. Mostra-se que as funções de objetos são totais e bem definidas, alem de serem monótonas e continuas neste espaço. Entretanto a análise da estabilidade, e consequentemente da linearidade esta associada a injetividade das funções básicas. Uma das características mais importantes da construção proposta e o desenvolvimento de um sistema de representação linear para funções localmente lineares, com a definição do espaço coerente A* gerado pelo produto de subteias. Neste espaço, as funções de objetos são lineares e coincidem com os morfismo da categoria dos espaços coerentes. Além disso, mostra-se que A* e isomorfo ao espaço coerente gerado pelo produto direto dos sub-espaços, ПĄ. Desta forma, toda transformação definida para um tipo de dado estruturado a partir de um conjunto básico enumerável tem uma representação linear, constituída pelos morfismos da categoria dos espaços coerentes. A existência da representação linear para as funções elementares garante a existência da representação linear para outras funções derivadas destas. Apresenta-se ainda uma especificação desta construção, introduzindo-se o Espaço Coerente de Intervalos Racionais, IIQ. Na busca de uma aplicação compatível com uma abordagem computacional, em especial para Análise Real, mostra-se que, em IIQ, cada função real elementar esta identificada com uma função de objetos linear, definida a partir da correspondente função elementar racional. Dentre as funções que foram analisadas destacam-se: a exponencial, a logarítmica, a potência, a potência estendida, a raiz n-ésima, as funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente e suas correspondentes funções inversas, como também a função polinomial. Verificou-se que todas estas funções de objetos são totais, bem definidas, ou pertencem ou possuem uma representação linear na categoria COSP-LIN dos espaços coerentes, alem de serem fechadas para os objetos totais e quasi-totais deste espaço, sendo possível estabelecer o correspondente par-projeção para cada uma delas. / In this work the Coherence Spaces Generated by Basic Sets with additional structure are studied. By additional structure one means an algebraic, topological and logical structure with a punctual order and a measure system. These spaces, indicated by A, are a subcategory of the category of Coherence Spaces, whose objects, ordered by inclusion, are coherent sets formed by the induced web coherence relation. The morphisms of this category are the functions of objects generated by basic functions. The algebraic and relational properties of these basic functions - external to the construction process - are propagated and cause important influences in the verification of the internal properties of the functions of objects However, this research is not a categorical study. The methodology uses the simple and intuitive language of the Set Theory, which allows the visualization and the analysis of the existing relationships, not only among, the morphisms of the total and partial objects of this category, but also among their structures or pre-structures, represented by the functions of tokens and basic functions. It is shown that the functions of objects are total and well defined. They are also monotone and continuous. However the stability and the linearity of the functions of objects depend on the fact if the basic functions are injective or not. One of the most important features of this construction is the development of a linear representation system for the local linear functions, by the definition of a coherence space A*, which is generated by the subweb product. In this space the functions of objects are linear and therefore they are the morphisms of the category of Coherence Spaces. Moreover, it is proved that A* is isomorphic to the coherence space generated by the directed product of the subspaces, denoted by ПĄ . Then, for each transformation defined for a structured data type considering a denumerable basic set there exists its related linear representation. The existence of a linear representation for elementary functions guarantees the existence of a linear representation for others derived functions. As an application of this construction, the Coherence Space of Rational Intervals, denoted by IIQ, is introduced. In order to show an application which is compatible to a computational approach, specially for the real analysis, each elementary real function is identified with a linear function of objects, defined considering the related elementary rational function. Some of the analyzed functions are the exponential, the logarithmic, the power , the extended power, the root, the trigonometric (sine, cosine and tangent and their relates inverses), and the polynomial functions. It is proved that all of these functions of objects are total and well defined. Moreover, either they belong to the category COPS-LIN of the coherence spaces or they have a linear representation in the same category. It is also possible to define a related projection pair for each one of them.

O estudo dos métodos intervalares é importante para a resolução de sistemas de equações lineares, pois os métodos intervalares produzem resultados dentro de limites confiáveis (do intervalo solução) e provam a existência ou não existência de soluções, portanto produzem resultados confiáveis, o que os métodos pontuais podem não proporcionar. Outro aspecto a destacar é o campo de utilizando de sistemas de equações lineares em problemas das engenharias e outras ciências, o que mostra a aplicabilidade desses métodos e por conseguinte a necessidade de elaboração de ferramentas que possibilitem a implementação desses métodos intervalares. O objetivo deste trabalho não é a elaboração de novos métodos intervalares, mas sim o de realizar uma descrição e implementação de alguns dos métodos intervalares encontrados na bibliografia pesquisada. A versão intervalar dos métodos pontuais não é simples e o calculo por métodos intervalares pode ser dispendioso, uma vez que se está tratando com vetores e matrizes de intervalos. A implementação dos métodos intervalares são foi possível graças a existência de ferramentas, como o compilador Pascal-XSC, que incorpora as suas características aspectos importantes como a aritmética intervalar, a verificação automática do resultado, o produto escalar Ótimo e a aritmética de alta exatidão. Este trabalho é dividido em duas etapas. A primeira apresenta um estudo dos métodos intervalares para a resolução de sistemas de equações lineares. São caracterizadas as metodologias de desenvolvimento desses métodos. Metodologias estas, que foram divididas em três grupos de métodos: métodos intervalares baseados em operações algébricas intervalares ou métodos diretos, métodos intervalares baseados em refinamento ou métodos híbridos e métodos intervalares baseados em interacões. São definidas as características, os métodos que as compõe e a aplicabilidade desses métodos na resolução de sistemas de equações lineares. A segunda etapa é caracterizada pela elaboração dos algoritmos referentes aos métodos intervalares estudados e sua respectiva implementação, dando origem a uma biblioteca aplicativa intervalar para a resolução de sistemas de equações lineares, implementada no PC-486 e utilizando o compilador Pascal-XSC. Para este desenvolvimento foi realizado, previamente, um estudo sobre este compilador e sobre bibliotecas disponíveis que são utilizadas na implementação da biblioteca aplicativa intervalar. A biblioteca selintp é organizada em quatro módulos: o módulo dirint (referente aos métodos diretos); o modulo refint (referente aos métodos baseados em refinamento); o módulo itrint (referente aos métodos iterativos) e o modulo equalg (para sistemas de equações de ordem 1). Por fim, através daquela biblioteca foram realizadas comparações entre os resultados obtidos (resultados pontuais, intervalares, seqüenciais e vetoriais) a rim de se realizar uma analise de desempenho quantitativa (exatidão) e uma comparação entre os resultados obtidos. Esses resultados sendo comparados com os obtidos com a biblioteca biblioteca esta que esta sendo desenvolvida para o ambiente do supercomputador Cray Y-MP do CESUP/UFRGS, como parte do projeto de Aritmética Vetorial Intervalar do Grupo de Matemática Computacional da UFRGS. / The study of interval methods is important for resolution of linear equation systems, because such methods produce results into reliable bounds and prove the existence or not existence of solutions, therefore they produce reliable results that, the punctual methods can non present,save that there is an exhaustive analysis of errors. Another aspect to emphasize is the field of utilization of linear equation systems in engineering problems and other sciences, in which is showed the applicability of that methods and, consequently, the necessity of tools elaboration that make possible the implementation of that interval methods. The goal of this work is not the elaboration of new interval methods, but to accomplish a description and implementation of some interval methods found in the searched bibliography. The interval version of punctual methods is not simple, and the calculus by interval methods can be expensive, respecting is treats of vectors and matrices of intervals. The implementation of interval methods was only possible due to the existence of tools, as the Pascal-XSC compiler, which incorporates to their features, important aspects such as the interval arithmetic, the automatic verification of the result, the optimal scalar product and arithmetic of high accuracy. This work is divided in two stages. The first presents a study of the interval methods for resolution of linear equation systems, in which are characterized the methodologies of development of that methods. These methodologies were divided in three method groups: interval methods based in interval algebraic operations or direct methods, interval methods based in refinament or hybrid methods, and interval methods based in iterations, in which are determined the features, the methods that compose them, and the applicability of those methods in the resolution of linear equation systems. The second stage is characterized for the elaboration of the algorithms relating to the interval methods studied and their respective implementation, originating a interval applied library for resolution of linear equation systems, selintp, implemented in PC-486 and making use of Pascal-XSC compiler. For this development was previously accomplished a study about compiler and avaiable libraries that are used in the inplementation of the interval applied library. The library selintp is organized in four modules: the dirint module (regarding to the direct methods); the refint module (regarding to the methods based in refinament); the itrint module (regarding to the iterative methods) and equalg module(for equation systems of order 1). At last, throu gh this library, comparisons were developed among the results obtained (punctual, interval, sequential and vectorial results) in order to be accomplished an analysis of quantitative performance (accuracy) and a comparison among the results obtained with libselint a library, that is been developed for the Cray Y-MP supercomputer environment of CESUP/UFRGS, as part of the Interval Vectorial Arithmetic project of Group of Computational Mathematics of UFRGS.

A Matemática Intervalar se assenta em dois conceitos fundamentais, a propriedade da inclusão-monotonicidade de sua aritmética e uma topologia de Hausdorff definida no conjunto dos intervalos. A propriedade da inclusão-monotonicidade tem se revelado uma ferramenta útil na elaboração de algoritmos intervalares, enquanto a topologia de Hausdorff não consegue refletir as características lógicas daquela propriedade, comprometendo, desse modo, a construção de uma lógica cujo modelo seria a estrutura intervalar munida dessa topologia. Essa lógica seria necessária para fundamentação da matemática intervalar como uma teoria de algorítmos da análise real. Neste trabalho se mostra que o insucesso na construção dessa fundamentação se deve a incompatibilidade entre a propriedade da inclusão-monotonicidade e a topologia de Hausdorff. A partir dessa constatação se descarta essa topologia e define-se uma outra topologia - a topologia de Scott - que é compatível com essa propriedade, no sentido de que todo resultado obtido usando-se a lógica, isto é, a propriedade da inclusão-monotonicidade, obtém-se também usando-se a ferramenta topológica e reciprocamente. A teoria resultante da substituição da topologia de Hausdorff pela topologia de Scott tem duas características fundamentais. A Análise Funcional Intervalar resultante possui a maioria das propriedades interessantes da Análise Real, suprimindo, assim, as deficiências da Análise Intervalar anterior. A elaboração da propriedade da inclusão-monotoniciadade permite construir uma lógica geométrica e uma teoria lambda cujo modelo é essa nova matemática intervalar. Além disso, a partir dessa lógica e da teoria lambda se elabora uma teoria construtiva, como a teoria dos tipos de Martin-Löf, que permite se raciocinar com programas dessa matemática. Isso significa a possibilidade de se fazer correção automática de programas da matemática intervalar. Essa nova abordagem da matemática intervalar é desenvolvida pressupondo, apenas, o conceito de número racional, além, é claro, da linguagem da teoria dos conjuntos. Desse modo é construído o sistema intervalar de um modo análogo ao sistema real. Para isso é generalizado o conceito de corte de Dedekind, resultando dessa construção um sistema ordenado denominado de quasi-corpo, em contraste com o números reais cujo sistema é algébrico, o corpo dos números reais. Assim, no sistema intervalar a ordem é um conceito intrínseco ao sistema, diferentemente do sistema de números reais cuja a ordem não faz parte da álgebra do sistema. A lógica dessa nova matemática intervalar é uma lógica categórica. Isto significa que todo resultado obtido para domínios básicos se aplica para o produto cartesiano, união disjunta, o espaço de funções, etc., desses domínios. Isto simplifica consideravelmente a teoria. Um exemplo dessa simplificação é a definição de derivada nessa nova matemática intervalar, conceito ainda não bem definido na teoria intervalar clássica. / The Interval Mathematics is based on two fundamental concepts, the inclusion-monotonicity of its arithmetics and a Hausdorff topology defined on the interval set. The property of inclusion-monotonicity has risen as an useful tool for elaboration of interval algorithms. In contrast, because the Hausdorff topology does not reflect the logical features of that property, the interval mathematics did not, permit the elaboration of a logic whose model is this interval mathematics with that topology. This logic should be necessary to the foundation of the interval mathematics as a Real Analysis Theory of Algorithms. This thesis shows that the theory of algorithms refered above was not possible because of the incompatibility between the property of inclusion-monotonicity and the Hausdorff topology. By knowing the shortcoming of this topology, the next step is to set it aside and to define a new topology - the Scott topology - compatible with the refered property in the sense that every result, obtained via the logic is also obtainable via the topology and vice-versa. After changing the topology the resulting theory has two basic features. The Interval Functional Analysis has got the most, interesting properties belonging to Real Analysis, supressing the shortcomings of previous interval analysis. The elaboration of the inclusion-monotonicity property allows one to construct a geometric logic and a lambda theory whose model is this new interval mathematics. From this logic and from the lambda theory a constructive theory is then elaborated, similar to Martin-Löf type theory, being possible then to reason about programs of this new interval mathematics. This means the possibility of automatically checking the correctness of programs of interval mathematics. This new approach assumes only the concept, of rational numbers beyond, of course, the set theory language. It is constructed an interval system similar to the real system. A general notion of the concept of Dedekind cut was necessary to reach that. The resulting construction is an ordered system which will be called quasi-field, in opposition to the real numbers system which is algebraic. Thus, in the interval system the order is an intrinsic concept, unlike the real numbers sistems whose order does not belong to the algebraic system. The logic of this new interval mathematics is a categorical logic. This means that, every result got for basic domains applies also to cartesian product, disjoint union, function spaces, etc., of these domains. This simplifies considerably the new theory. An example of this simplication is given by the definition of derivative, a concept not, derived by the classical interval theory.

Neste trabalho desenvolve-se um estudo sobre os Espaços Coerentes Gerados por Conjuntos Básicos, dotados de uma estrutura adicional. Por estrutura adicional entende-se uma estrutura algébrica, de ordem pontual, de medidas, topológica e lógica. Estes espaços, denotados por , constituem uma subcategoria dos Espaços Coerentes, cujos objetos, ordenados pela inclusão, são conjuntos coerentes constituídos por subconjuntos do conjunto básico, os quais estão relacionados pela relação de coerência induzida, que estrutura a teia deste espaço. Os morfismos desta categoria são as funções de objetos geradas por funções básicas. As propriedades algébricas e relacionais destas funções básicas, externas ao processo de construção, ao se propagarem, passam a influenciar na verificação das propriedades internas das funções de objetos. Contudo, este trabalho não é um estudo categórico. A metodologia adotada utiliza a linguagem simples e intuitiva da Teoria dos Conjuntos, que possibilita a visualização e a análise dos relacionamentos existentes, não apenas entre os morfismos que envolvem os objetos totais ou parciais desta categoria, mas também das estruturas ou pré-estruturas externas que os formam, representados pelas funções de tokens e funções básicas. Mostra-se que as funções de objetos são totais e bem definidas, alem de serem monótonas e continuas neste espaço. Entretanto a análise da estabilidade, e consequentemente da linearidade esta associada a injetividade das funções básicas. Uma das características mais importantes da construção proposta e o desenvolvimento de um sistema de representação linear para funções localmente lineares, com a definição do espaço coerente A* gerado pelo produto de subteias. Neste espaço, as funções de objetos são lineares e coincidem com os morfismo da categoria dos espaços coerentes. Além disso, mostra-se que A* e isomorfo ao espaço coerente gerado pelo produto direto dos sub-espaços, ПĄ. Desta forma, toda transformação definida para um tipo de dado estruturado a partir de um conjunto básico enumerável tem uma representação linear, constituída pelos morfismos da categoria dos espaços coerentes. A existência da representação linear para as funções elementares garante a existência da representação linear para outras funções derivadas destas. Apresenta-se ainda uma especificação desta construção, introduzindo-se o Espaço Coerente de Intervalos Racionais, IIQ. Na busca de uma aplicação compatível com uma abordagem computacional, em especial para Análise Real, mostra-se que, em IIQ, cada função real elementar esta identificada com uma função de objetos linear, definida a partir da correspondente função elementar racional. Dentre as funções que foram analisadas destacam-se: a exponencial, a logarítmica, a potência, a potência estendida, a raiz n-ésima, as funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente e suas correspondentes funções inversas, como também a função polinomial. Verificou-se que todas estas funções de objetos são totais, bem definidas, ou pertencem ou possuem uma representação linear na categoria COSP-LIN dos espaços coerentes, alem de serem fechadas para os objetos totais e quasi-totais deste espaço, sendo possível estabelecer o correspondente par-projeção para cada uma delas. / In this work the Coherence Spaces Generated by Basic Sets with additional structure are studied. By additional structure one means an algebraic, topological and logical structure with a punctual order and a measure system. These spaces, indicated by A, are a subcategory of the category of Coherence Spaces, whose objects, ordered by inclusion, are coherent sets formed by the induced web coherence relation. The morphisms of this category are the functions of objects generated by basic functions. The algebraic and relational properties of these basic functions - external to the construction process - are propagated and cause important influences in the verification of the internal properties of the functions of objects However, this research is not a categorical study. The methodology uses the simple and intuitive language of the Set Theory, which allows the visualization and the analysis of the existing relationships, not only among, the morphisms of the total and partial objects of this category, but also among their structures or pre-structures, represented by the functions of tokens and basic functions. It is shown that the functions of objects are total and well defined. They are also monotone and continuous. However the stability and the linearity of the functions of objects depend on the fact if the basic functions are injective or not. One of the most important features of this construction is the development of a linear representation system for the local linear functions, by the definition of a coherence space A*, which is generated by the subweb product. In this space the functions of objects are linear and therefore they are the morphisms of the category of Coherence Spaces. Moreover, it is proved that A* is isomorphic to the coherence space generated by the directed product of the subspaces, denoted by ПĄ . Then, for each transformation defined for a structured data type considering a denumerable basic set there exists its related linear representation. The existence of a linear representation for elementary functions guarantees the existence of a linear representation for others derived functions. As an application of this construction, the Coherence Space of Rational Intervals, denoted by IIQ, is introduced. In order to show an application which is compatible to a computational approach, specially for the real analysis, each elementary real function is identified with a linear function of objects, defined considering the related elementary rational function. Some of the analyzed functions are the exponential, the logarithmic, the power , the extended power, the root, the trigonometric (sine, cosine and tangent and their relates inverses), and the polynomial functions. It is proved that all of these functions of objects are total and well defined. Moreover, either they belong to the category COPS-LIN of the coherence spaces or they have a linear representation in the same category. It is also possible to define a related projection pair for each one of them.

A Matemática Intervalar se assenta em dois conceitos fundamentais, a propriedade da inclusão-monotonicidade de sua aritmética e uma topologia de Hausdorff definida no conjunto dos intervalos. A propriedade da inclusão-monotonicidade tem se revelado uma ferramenta útil na elaboração de algoritmos intervalares, enquanto a topologia de Hausdorff não consegue refletir as características lógicas daquela propriedade, comprometendo, desse modo, a construção de uma lógica cujo modelo seria a estrutura intervalar munida dessa topologia. Essa lógica seria necessária para fundamentação da matemática intervalar como uma teoria de algorítmos da análise real. Neste trabalho se mostra que o insucesso na construção dessa fundamentação se deve a incompatibilidade entre a propriedade da inclusão-monotonicidade e a topologia de Hausdorff. A partir dessa constatação se descarta essa topologia e define-se uma outra topologia - a topologia de Scott - que é compatível com essa propriedade, no sentido de que todo resultado obtido usando-se a lógica, isto é, a propriedade da inclusão-monotonicidade, obtém-se também usando-se a ferramenta topológica e reciprocamente. A teoria resultante da substituição da topologia de Hausdorff pela topologia de Scott tem duas características fundamentais. A Análise Funcional Intervalar resultante possui a maioria das propriedades interessantes da Análise Real, suprimindo, assim, as deficiências da Análise Intervalar anterior. A elaboração da propriedade da inclusão-monotoniciadade permite construir uma lógica geométrica e uma teoria lambda cujo modelo é essa nova matemática intervalar. Além disso, a partir dessa lógica e da teoria lambda se elabora uma teoria construtiva, como a teoria dos tipos de Martin-Löf, que permite se raciocinar com programas dessa matemática. Isso significa a possibilidade de se fazer correção automática de programas da matemática intervalar. Essa nova abordagem da matemática intervalar é desenvolvida pressupondo, apenas, o conceito de número racional, além, é claro, da linguagem da teoria dos conjuntos. Desse modo é construído o sistema intervalar de um modo análogo ao sistema real. Para isso é generalizado o conceito de corte de Dedekind, resultando dessa construção um sistema ordenado denominado de quasi-corpo, em contraste com o números reais cujo sistema é algébrico, o corpo dos números reais. Assim, no sistema intervalar a ordem é um conceito intrínseco ao sistema, diferentemente do sistema de números reais cuja a ordem não faz parte da álgebra do sistema. A lógica dessa nova matemática intervalar é uma lógica categórica. Isto significa que todo resultado obtido para domínios básicos se aplica para o produto cartesiano, união disjunta, o espaço de funções, etc., desses domínios. Isto simplifica consideravelmente a teoria. Um exemplo dessa simplificação é a definição de derivada nessa nova matemática intervalar, conceito ainda não bem definido na teoria intervalar clássica. / The Interval Mathematics is based on two fundamental concepts, the inclusion-monotonicity of its arithmetics and a Hausdorff topology defined on the interval set. The property of inclusion-monotonicity has risen as an useful tool for elaboration of interval algorithms. In contrast, because the Hausdorff topology does not reflect the logical features of that property, the interval mathematics did not, permit the elaboration of a logic whose model is this interval mathematics with that topology. This logic should be necessary to the foundation of the interval mathematics as a Real Analysis Theory of Algorithms. This thesis shows that the theory of algorithms refered above was not possible because of the incompatibility between the property of inclusion-monotonicity and the Hausdorff topology. By knowing the shortcoming of this topology, the next step is to set it aside and to define a new topology - the Scott topology - compatible with the refered property in the sense that every result, obtained via the logic is also obtainable via the topology and vice-versa. After changing the topology the resulting theory has two basic features. The Interval Functional Analysis has got the most, interesting properties belonging to Real Analysis, supressing the shortcomings of previous interval analysis. The elaboration of the inclusion-monotonicity property allows one to construct a geometric logic and a lambda theory whose model is this new interval mathematics. From this logic and from the lambda theory a constructive theory is then elaborated, similar to Martin-Löf type theory, being possible then to reason about programs of this new interval mathematics. This means the possibility of automatically checking the correctness of programs of interval mathematics. This new approach assumes only the concept, of rational numbers beyond, of course, the set theory language. It is constructed an interval system similar to the real system. A general notion of the concept of Dedekind cut was necessary to reach that. The resulting construction is an ordered system which will be called quasi-field, in opposition to the real numbers system which is algebraic. Thus, in the interval system the order is an intrinsic concept, unlike the real numbers sistems whose order does not belong to the algebraic system. The logic of this new interval mathematics is a categorical logic. This means that, every result got for basic domains applies also to cartesian product, disjoint union, function spaces, etc., of these domains. This simplifies considerably the new theory. An example of this simplication is given by the definition of derivative, a concept not, derived by the classical interval theory.

Neste trabalho desenvolve-se um estudo sobre os Espaços Coerentes Gerados por Conjuntos Básicos, dotados de uma estrutura adicional. Por estrutura adicional entende-se uma estrutura algébrica, de ordem pontual, de medidas, topológica e lógica. Estes espaços, denotados por , constituem uma subcategoria dos Espaços Coerentes, cujos objetos, ordenados pela inclusão, são conjuntos coerentes constituídos por subconjuntos do conjunto básico, os quais estão relacionados pela relação de coerência induzida, que estrutura a teia deste espaço. Os morfismos desta categoria são as funções de objetos geradas por funções básicas. As propriedades algébricas e relacionais destas funções básicas, externas ao processo de construção, ao se propagarem, passam a influenciar na verificação das propriedades internas das funções de objetos. Contudo, este trabalho não é um estudo categórico. A metodologia adotada utiliza a linguagem simples e intuitiva da Teoria dos Conjuntos, que possibilita a visualização e a análise dos relacionamentos existentes, não apenas entre os morfismos que envolvem os objetos totais ou parciais desta categoria, mas também das estruturas ou pré-estruturas externas que os formam, representados pelas funções de tokens e funções básicas. Mostra-se que as funções de objetos são totais e bem definidas, alem de serem monótonas e continuas neste espaço. Entretanto a análise da estabilidade, e consequentemente da linearidade esta associada a injetividade das funções básicas. Uma das características mais importantes da construção proposta e o desenvolvimento de um sistema de representação linear para funções localmente lineares, com a definição do espaço coerente A* gerado pelo produto de subteias. Neste espaço, as funções de objetos são lineares e coincidem com os morfismo da categoria dos espaços coerentes. Além disso, mostra-se que A* e isomorfo ao espaço coerente gerado pelo produto direto dos sub-espaços, ПĄ. Desta forma, toda transformação definida para um tipo de dado estruturado a partir de um conjunto básico enumerável tem uma representação linear, constituída pelos morfismos da categoria dos espaços coerentes. A existência da representação linear para as funções elementares garante a existência da representação linear para outras funções derivadas destas. Apresenta-se ainda uma especificação desta construção, introduzindo-se o Espaço Coerente de Intervalos Racionais, IIQ. Na busca de uma aplicação compatível com uma abordagem computacional, em especial para Análise Real, mostra-se que, em IIQ, cada função real elementar esta identificada com uma função de objetos linear, definida a partir da correspondente função elementar racional. Dentre as funções que foram analisadas destacam-se: a exponencial, a logarítmica, a potência, a potência estendida, a raiz n-ésima, as funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente e suas correspondentes funções inversas, como também a função polinomial. Verificou-se que todas estas funções de objetos são totais, bem definidas, ou pertencem ou possuem uma representação linear na categoria COSP-LIN dos espaços coerentes, alem de serem fechadas para os objetos totais e quasi-totais deste espaço, sendo possível estabelecer o correspondente par-projeção para cada uma delas. / In this work the Coherence Spaces Generated by Basic Sets with additional structure are studied. By additional structure one means an algebraic, topological and logical structure with a punctual order and a measure system. These spaces, indicated by A, are a subcategory of the category of Coherence Spaces, whose objects, ordered by inclusion, are coherent sets formed by the induced web coherence relation. The morphisms of this category are the functions of objects generated by basic functions. The algebraic and relational properties of these basic functions - external to the construction process - are propagated and cause important influences in the verification of the internal properties of the functions of objects However, this research is not a categorical study. The methodology uses the simple and intuitive language of the Set Theory, which allows the visualization and the analysis of the existing relationships, not only among, the morphisms of the total and partial objects of this category, but also among their structures or pre-structures, represented by the functions of tokens and basic functions. It is shown that the functions of objects are total and well defined. They are also monotone and continuous. However the stability and the linearity of the functions of objects depend on the fact if the basic functions are injective or not. One of the most important features of this construction is the development of a linear representation system for the local linear functions, by the definition of a coherence space A*, which is generated by the subweb product. In this space the functions of objects are linear and therefore they are the morphisms of the category of Coherence Spaces. Moreover, it is proved that A* is isomorphic to the coherence space generated by the directed product of the subspaces, denoted by ПĄ . Then, for each transformation defined for a structured data type considering a denumerable basic set there exists its related linear representation. The existence of a linear representation for elementary functions guarantees the existence of a linear representation for others derived functions. As an application of this construction, the Coherence Space of Rational Intervals, denoted by IIQ, is introduced. In order to show an application which is compatible to a computational approach, specially for the real analysis, each elementary real function is identified with a linear function of objects, defined considering the related elementary rational function. Some of the analyzed functions are the exponential, the logarithmic, the power , the extended power, the root, the trigonometric (sine, cosine and tangent and their relates inverses), and the polynomial functions. It is proved that all of these functions of objects are total and well defined. Moreover, either they belong to the category COPS-LIN of the coherence spaces or they have a linear representation in the same category. It is also possible to define a related projection pair for each one of them.

Fundamentada a importância da utilização da Teoria dos Intervalos em computação científica, é realizada uma revisão da Teoria Clássica dos Intervalos, com críticas sobre as incompatibilidades encontradas como motivos de diversas dificuldades para desenvolvimento da própria teoria e, consequentemente, das Técnicas Intervalares. É desenvolvida uma nova abordagem para a Teoria dos Intervalos de acordo com a Teoria dos Domínios e a proposta de [ACI 89], obtendo-se os Domínios Intervalares da Matemática Computacional. Introduz-se uma topologia (Topologia de Scott) compatível com a idéia de aproximação, gerando uma ordem de informação, isto é, para quaisquer intervalos x e y, diz-se que se x -c y , então y fornece mais (no mínimo tanto quanto) informação, sobre um real r, do que x. Prova-se que esta ordem de informação induz uma topologia To (topologia de Scott) , que é mais adequada para uma teoria computacional que a topologia da Hausdorff introduzida por Moore [MOO 66]. Cada número real r é aproximado por intervalos de extremos racionais, os intervalos de informação, que constituem o espaço de informação II(Q), superando assim a regressão infinita da abordagem clássica. Pode-se dizer que todo real r é o supremo de uma cadeia de intervalos com extremos racionais “encaixados”. Assim, os reais são os elementos totais de um domínio contínuo, chamado de Domínio dos Intervalos Reais Parciais, cuja base é o espaço de informação II (Q). Cada função contínua da Análise Real é o limite de sequências de funções contínuas entre elementos da base do domínio. Toda função contínua nestes domínios constitui uma função monotônica na base e é completamente representada em termos finitos. É introduzida uma quasi-métrica que induz uma topologia compatível com esta abordagem e provê as propriedades quantitativas, além de possibilitar a utilização da noção de sequências, limites etc, sem que se precise recorrer a conceitos mais complexos. Desenvolvem-se uma aritmética, critérios de aproximação e os conceito de intervalo ponto médio, intervalo valor absoluto e intervalo diâmetro, conceitos compatíveis com esta abordagem. São acrescentadas as operações de união, interseção e as unárias. Apresenta-se um amplo estudo sobre a função intervalar e a inclusão de imagens de funções, com ênfase na obtenção de uma extensão intervalar natural contínua. Esta é uma abordagem de lógica construtiva e computacional. / The importance of Interval Theory for scientific computation is emphasized. A review of the Classical Theory is macle, including a discussion about some incompatibities that cause problems in developing interval algorithms. A new approach to the Interval Theory is developed in the light of the Theory of Domains and according to the ideas by Acióly [ACI 89], getting the Interval Domains of Computational Mathematics. It is introduced a topology (Scott Topology), which is associated with the idea of approximation, generating an information order, that is, for any intervals x and y one says that if x -c y, then "the information given by y is better or at least equal than the one given by x". One proves that this information order induces a To topology (Scott's topology) which is more suitable for a computation theory than that of Hausdorff introduced by Moore [MOO 66]. This approach has the advantage of being both of constructive logic and computational. Each real number is approximated by intervals with rational bounds, named information intervals of the Information Space II(Q), eliminating the infinite regression found in the classical approach. One can say that every real a is the supreme of a chain of rational intervals. Then, the real numbers are the total elements of a continuous domain, named the Domain of the Partial Real Intervals, whose basis is the information space II (Q). Each continuous function in the Real Analysis is the limit of sequences of continuous functions among any elements which belong to the base of the domain. In these same domains, each continuous function is monotonic on the base and it is completely represented by finite terms. It is introduced a quasi-metric that leads to a compatible topology and supplies the quantitative properties. An arithmetic, some approximation criteria, the concepts of mean point interval, absolute value interval and width interval are developed and set operations are added. The ideas of interval functions and the inclusion of ranges of functions are also presented, and a continuous natural interval extension is obtained.

Fundamentada a importância da utilização da Teoria dos Intervalos em computação científica, é realizada uma revisão da Teoria Clássica dos Intervalos, com críticas sobre as incompatibilidades encontradas como motivos de diversas dificuldades para desenvolvimento da própria teoria e, consequentemente, das Técnicas Intervalares. É desenvolvida uma nova abordagem para a Teoria dos Intervalos de acordo com a Teoria dos Domínios e a proposta de [ACI 89], obtendo-se os Domínios Intervalares da Matemática Computacional. Introduz-se uma topologia (Topologia de Scott) compatível com a idéia de aproximação, gerando uma ordem de informação, isto é, para quaisquer intervalos x e y, diz-se que se x -c y , então y fornece mais (no mínimo tanto quanto) informação, sobre um real r, do que x. Prova-se que esta ordem de informação induz uma topologia To (topologia de Scott) , que é mais adequada para uma teoria computacional que a topologia da Hausdorff introduzida por Moore [MOO 66]. Cada número real r é aproximado por intervalos de extremos racionais, os intervalos de informação, que constituem o espaço de informação II(Q), superando assim a regressão infinita da abordagem clássica. Pode-se dizer que todo real r é o supremo de uma cadeia de intervalos com extremos racionais “encaixados”. Assim, os reais são os elementos totais de um domínio contínuo, chamado de Domínio dos Intervalos Reais Parciais, cuja base é o espaço de informação II (Q). Cada função contínua da Análise Real é o limite de sequências de funções contínuas entre elementos da base do domínio. Toda função contínua nestes domínios constitui uma função monotônica na base e é completamente representada em termos finitos. É introduzida uma quasi-métrica que induz uma topologia compatível com esta abordagem e provê as propriedades quantitativas, além de possibilitar a utilização da noção de sequências, limites etc, sem que se precise recorrer a conceitos mais complexos. Desenvolvem-se uma aritmética, critérios de aproximação e os conceito de intervalo ponto médio, intervalo valor absoluto e intervalo diâmetro, conceitos compatíveis com esta abordagem. São acrescentadas as operações de união, interseção e as unárias. Apresenta-se um amplo estudo sobre a função intervalar e a inclusão de imagens de funções, com ênfase na obtenção de uma extensão intervalar natural contínua. Esta é uma abordagem de lógica construtiva e computacional. / The importance of Interval Theory for scientific computation is emphasized. A review of the Classical Theory is macle, including a discussion about some incompatibities that cause problems in developing interval algorithms. A new approach to the Interval Theory is developed in the light of the Theory of Domains and according to the ideas by Acióly [ACI 89], getting the Interval Domains of Computational Mathematics. It is introduced a topology (Scott Topology), which is associated with the idea of approximation, generating an information order, that is, for any intervals x and y one says that if x -c y, then "the information given by y is better or at least equal than the one given by x". One proves that this information order induces a To topology (Scott's topology) which is more suitable for a computation theory than that of Hausdorff introduced by Moore [MOO 66]. This approach has the advantage of being both of constructive logic and computational. Each real number is approximated by intervals with rational bounds, named information intervals of the Information Space II(Q), eliminating the infinite regression found in the classical approach. One can say that every real a is the supreme of a chain of rational intervals. Then, the real numbers are the total elements of a continuous domain, named the Domain of the Partial Real Intervals, whose basis is the information space II (Q). Each continuous function in the Real Analysis is the limit of sequences of continuous functions among any elements which belong to the base of the domain. In these same domains, each continuous function is monotonic on the base and it is completely represented by finite terms. It is introduced a quasi-metric that leads to a compatible topology and supplies the quantitative properties. An arithmetic, some approximation criteria, the concepts of mean point interval, absolute value interval and width interval are developed and set operations are added. The ideas of interval functions and the inclusion of ranges of functions are also presented, and a continuous natural interval extension is obtained.

Fundamentada a importância da utilização da Teoria dos Intervalos em computação científica, é realizada uma revisão da Teoria Clássica dos Intervalos, com críticas sobre as incompatibilidades encontradas como motivos de diversas dificuldades para desenvolvimento da própria teoria e, consequentemente, das Técnicas Intervalares. É desenvolvida uma nova abordagem para a Teoria dos Intervalos de acordo com a Teoria dos Domínios e a proposta de [ACI 89], obtendo-se os Domínios Intervalares da Matemática Computacional. Introduz-se uma topologia (Topologia de Scott) compatível com a idéia de aproximação, gerando uma ordem de informação, isto é, para quaisquer intervalos x e y, diz-se que se x -c y , então y fornece mais (no mínimo tanto quanto) informação, sobre um real r, do que x. Prova-se que esta ordem de informação induz uma topologia To (topologia de Scott) , que é mais adequada para uma teoria computacional que a topologia da Hausdorff introduzida por Moore [MOO 66]. Cada número real r é aproximado por intervalos de extremos racionais, os intervalos de informação, que constituem o espaço de informação II(Q), superando assim a regressão infinita da abordagem clássica. Pode-se dizer que todo real r é o supremo de uma cadeia de intervalos com extremos racionais “encaixados”. Assim, os reais são os elementos totais de um domínio contínuo, chamado de Domínio dos Intervalos Reais Parciais, cuja base é o espaço de informação II (Q). Cada função contínua da Análise Real é o limite de sequências de funções contínuas entre elementos da base do domínio. Toda função contínua nestes domínios constitui uma função monotônica na base e é completamente representada em termos finitos. É introduzida uma quasi-métrica que induz uma topologia compatível com esta abordagem e provê as propriedades quantitativas, além de possibilitar a utilização da noção de sequências, limites etc, sem que se precise recorrer a conceitos mais complexos. Desenvolvem-se uma aritmética, critérios de aproximação e os conceito de intervalo ponto médio, intervalo valor absoluto e intervalo diâmetro, conceitos compatíveis com esta abordagem. São acrescentadas as operações de união, interseção e as unárias. Apresenta-se um amplo estudo sobre a função intervalar e a inclusão de imagens de funções, com ênfase na obtenção de uma extensão intervalar natural contínua. Esta é uma abordagem de lógica construtiva e computacional. / The importance of Interval Theory for scientific computation is emphasized. A review of the Classical Theory is macle, including a discussion about some incompatibities that cause problems in developing interval algorithms. A new approach to the Interval Theory is developed in the light of the Theory of Domains and according to the ideas by Acióly [ACI 89], getting the Interval Domains of Computational Mathematics. It is introduced a topology (Scott Topology), which is associated with the idea of approximation, generating an information order, that is, for any intervals x and y one says that if x -c y, then "the information given by y is better or at least equal than the one given by x". One proves that this information order induces a To topology (Scott's topology) which is more suitable for a computation theory than that of Hausdorff introduced by Moore [MOO 66]. This approach has the advantage of being both of constructive logic and computational. Each real number is approximated by intervals with rational bounds, named information intervals of the Information Space II(Q), eliminating the infinite regression found in the classical approach. One can say that every real a is the supreme of a chain of rational intervals. Then, the real numbers are the total elements of a continuous domain, named the Domain of the Partial Real Intervals, whose basis is the information space II (Q). Each continuous function in the Real Analysis is the limit of sequences of continuous functions among any elements which belong to the base of the domain. In these same domains, each continuous function is monotonic on the base and it is completely represented by finite terms. It is introduced a quasi-metric that leads to a compatible topology and supplies the quantitative properties. An arithmetic, some approximation criteria, the concepts of mean point interval, absolute value interval and width interval are developed and set operations are added. The ideas of interval functions and the inclusion of ranges of functions are also presented, and a continuous natural interval extension is obtained.