Cette thèse a pour but d'étudier quelques applications des fonctions à variation bornée et des ensembles de périmètre fini. Nous nous intéressons en particulier à des applications en traitement d'images et en géométrie de dimension finie et infinie. Nous étudions tout d'abord une méthode dite Primale-Duale proposée par Appleton et Talbot pour la résolution de nombreux problèmes en traitement d'images. Nous réinterprétons cette méthode sous un oeil nouveau, ce qui aide à mieux la comprendre mathématiquement. Ceci permet par exemple de démontrer sa convergence et d'établir de nouvelles estimations a posteriori qui sont d'une grande importance pratique. Nous considérons ensuite le problème de courbure moyenne prescrite en milieu périodique. A l'aide de la théorie des ensembles de périmètre fini, nous démontrons l'existence de solutions approchées compactes de ce problème. Nous étudions également le comportement asymptotique de ces solutions lorsque leur volume tend vers l'infini. Les deux dernières parties de la thèse sont consacrées à l'étude de problèmes géométriques dans les espaces de Wiener. Nous étudions d'une part les liens entre symétrisations, semi-continuité et inégalités isopérimétriques ce qui permet d'obtenir un résultat d'approximation et de relaxation pour le périmètre dans ces espaces de dimension infinie. Nous démontrons d'autre part la convexité des solutions de certains problèmes variationnels dans ces espaces, en développant au passage l'étude de la semi-continuité et de la relaxation dans ce contexte.

Goal of this thesis is to study four problems. In chapters 3-5, we consider scalar conser- vation law in one space dimension with strictly convex flux. First problem is to know the profile of the entropy solution. In spite of the fact that, this was studied extensively in last several decades, the complete profile of the entropy solution is not well understood. Second problem is the exact controllability. This was studied for Burgers equation and some partial results are obtained for large time. It was a challenging problem to know the controllability for all time and also for general convex flux. In a seminal paper [25], Dafermos introduces the characteristic curves and obtain some qualitative properties of a solution of a convex conservation law. In this thesis, we further study the finer properties of these characteristic curves. Here we solve these two problems in complete generality. In view of the explicit formulas of Lax - Oleinik [31], Joseph - Gowda [40], target func- tions must satisfy some necessary conditions. In this thesis we prove that these are also sufficient. Method of the proof depends highly on the characteristic methods and explicit formula given by Lax - Oleinik and the proof is constructive. Third problem is to solve the optimal controllability problem. In chapter 5 we derive a method to obtain a solution of an optimal control problem for the scalar conservation laws with convex flux. By using the method of descent, this type of problem was considered by Castro-Palacios-Zuazua in [23] for the Burgers equation. Our approach is simple and based on the explicit formulas of Hopf and Lax-Olenik. Last but not the least is about the problem of total variation bound for solution of scalar conservation laws with discontinuous flux. For the scalar con- servation laws with discontinuous flux, an infinite family (A, B)-interface entropies are introduced and each one of them has been shown to form an L1 -contraction semigroup (see, [8]). One of the main unsettled questions concerning conservation law with discon- tinuous flux is boundedness of total variation of the solution. Away from the interface, boundedness of total variation of the solution has been proved in a recent paper [16]. In the chapter 6, we discuss this particular issue in detail and produce a counter example to show that the solution, in general, has unbounded total variation near the interface. In fact this example illustrates that smallness of BV norm of the initial data is immaterial. We hereby settled the question of determining for which of the aforementioned (A, B) pairs, the solution will have bounded total variation in case of strictly convex fluxes.

In the setting of Riemannian manifolds with nonnegative Ricci curvature, we provide geometric inequalities as consequences of the Monotonicity Formulas holding along the flow of the level sets of the p-capacitary potential. The work is divided into three parts. (1) In the first part, we describe the asymptotic behaviour of the p-capactitary potential in a natural class of Riemannian manifolds. (2) The second part is devoted to the proof of our Monotonicity-Rigidity Theorems. (3) In the last part, we apply the Monotonicity Theorems to obtain geometric inequalities, focusing on the Extended Minkowski Inequality.

Hamiltonian systems of hydrodynamic type occur in a wide range of applications including fluid dynamics, the Whitham averaging procedure and the theory of Frobenius manifolds. In 1 + 1 dimensions, the requirement of the integrability of such systems by the generalised hodograph transform implies that integrable Hamiltonians depend on a certain number of arbitrary functions of two variables. On the contrary, in 2 + 1 dimensions the requirement of the integrability by the method of hydrodynamic reductions, which is a natural analogue of the generalised hodograph transform in higher dimensions, leads to finite-dimensional moduli spaces of integrable Hamiltonians. We classify integrable two-component Hamiltonian systems of hydrodynamic type for all existing classes of differential-geometric Poisson brackets in 2D, establishing a parametrisation of integrable Hamiltonians via elliptic/hypergeometric functions. Our approach is based on the Godunov-type representation of Hamiltonian systems, and utilises a novel construction of Godunov's systems in terms of generalised hypergeometric functions. Furthermore, we develop a theory of integrable dispersive deformations of these Hamiltonian systems following a scheme similar to that proposed by Dubrovin and his collaborators in 1 + 1 dimensions. Our results show that the multi-dimensional situation is far more rigid, and generic Hamiltonians are not deformable. As an illustration we discuss a particular class of two-component Hamiltonian systems, establishing triviality of first order deformations and classifying Hamiltonians possessing nontrivial deformations of the second order.

L'imagerie d'élasticité, ou élastographie consiste à imager les propriétés visco-élastiques des tissus mous du corps humain en observant la réponse en déformation à une excitation mécanique. Cette problématique a donné lieu dans les dix dernières années à de nombreux travaux, motivés par la corrélation entre présence d'une pathologie et observation d'un contraste d'élasticité. Différentes techniques peuvent être mises en œuvre selon le type d'excitation choisie, et la manière d'estimer les déformations résultantes. Parmi les techniques se trouve une très intéressante qui consiste à induire dans le tissu mou une onde de déplacement et à observer la propagation de l'onde pendant sa traversée du milieu d'intéret. La résolution d'un problème inverse permet de déduire des données de déplacement une estimation de la carte d'élasticité du milieu. L'objectif du travail présenté dans ce document est de donner un cadre mathématique rigoureux à ce technique, en même temps dessiner des méthodes effectives pour la détection des anomalies à l'aide des mesures en régime temporel. On a considère le cadre acoustique et le cadre élastique. On a développé des techniques de reconstruction efficaces pour des mesures complètes sur la frontière mais aussi pour des mesures temporelles incomplètes, on a adapté ces techniques au cadre viscoélastique, ca veut dire que les ondes sont atténué ou dispersé ou le deux. On commence pour considérer une milieu sans dissipation. On a développé des méthodes de reconstruction des anomalies qui sont basé sur des développements asymptotiques de champ proche et de champ lointain, qui sont rigoureusement établis, du perturbation des mesures cause par l'anomalie. Il faut remarquer que pour approximer l'effet de l'anomalie par un dipôle il faut couper les composant de haut fréquence des mesures de champ lointain. Le développement asymptotique de champ lointain nous permet de développer une technique de type régression temporel pour localiser l'anomalie. On propose en utilisant le développement asymptotique de champ proche une problème de optimisation pour récupérer les propriétés géométriques et les paramètres physiques de l'anomalie. On justifie d'une manière théorique et numérique que la séparation des échelles permet de séparer les différentes informations codées aux différentes échelles. On montre les différences entre le cadre acoustique et l'élastique, principalement la tache focal anisotrope et l'effet de champ proche qu'on obtient en faisant le retournement temporal de la perturbation cause par l'anomalie. Ces observations ont été observé expérimentalement. En ce qui concerne le cadre des mesures partiels, on d´eveloppe des algorithmes de type Kirchhoff, back-propagation, MUSIC et arrival-time pour localiser l'anomalie. On utilise le méthode du control géométrique pour aborder la problématique des mesures partiels, comme résultat on obtient une méthode qui est robuste en ce qui concerne aux perturbations dans la partie de la frontière qui n'est pas accessible. Si on construit de manier précise le control géométrique, on obtient la même résolution d'imagerie que dans le cadre des mesures complet. On utilise les développements asymptotiques pour expliquer comment reconstruire une petite anomalie dans un milieu visco-élastique à partir des mesures du champ de déplacement. Dans le milieu visco-élastique la fréquence obéit une loi de puissance, pour simplicité on considère le modèle Voigt qui correspond à une fréquence en puissance deux. On utilise le théorème de la phase stationnaire pour exprimer le champ dans un milieu sans effet de viscosité, que on nommera champ idéal , en termes du champ dans un milieu visco-élastique. Après on généralise les techniques d'imagerie développes pour le modelé purement élastique quasi incompressible pour reconstruire les propriétés visco-élastiques et géométriques d'une anomalie a partir des mesures du champ de déplacement.

Les travaux présentés concernent l'étude analytique et numérique de différents modèles cinétiques appliqués à plusieurs domaines, plus particulièrement : aux neurosciences computationelles et à la volcanologie. Les points communs à ces sujets de recherche sont : - l'utilisation des équations aux dérivées partielles pour l'écriture des modèles mathématiques en partant d'une description microscopique du phénomène, - leur résolution numérique par des schémas déterministes, - une importante interaction avec les collègues bio et géo-physiciens. Les travaux effectuées en collaboration avec les collègues de géophysique (ISTO, Orléans), proposent une description statistique de l'évolution d'une population de bulles de gaz dans un fluide très visqueux. Cette modélisation souligne l'importance de la prise en compte de la coalescence de bulles et ouvre la voie à plusieurs axes de recherche en mathématique et en volcanologie. Les résultats obtenus en neurosciences computationelles sont basés sur des travaux récents concernant les systèmes d'équations stochastiques lents-rapides. Ils permettent de réduire un problème bidimensionnel, nécessitant des moyens de calcul importants, à un modèle unidimensionnel dont la solution d'équilibre est explicite.

Généralisation de la théorie du contrôle classique développée pour les E.D.O. au cas des E.D.P. Reformulation des critères de la théorie du contrôle suivant 2 approches : théorie formelle des E.D.P. et algèbre différentiel. Un accent tout particulier est accordé au critère de contrôlabilité dont la généralisation aux E.D.P. constitue l'apport essentiel de cette étude. L'approche algébrique est utilisée pour conduire à un raisonnement qui permet la généralisation et la clarification de ces critères. Cependant c'est la théorie des E.D.P. qui permet d'élaborer des tests pour vérifier ces critères sur machine grâce a des logiciels de calcul formel. Nouvelle théorie du contrôle appliquée à de nombreux exemples de la physique (tourbillons de Bénard, dynamique des câbles, équations d'Euler, équations de Maxwell...) et des calculs explicites de degré de transcendance différentielle très complexes.

Cette habilitation porte sur l'étude de la vorticité dans le modèle de Ginzburg-Landau et quelques contributions en théorie de point fixe

L'objectif de cette thèse est d'étudier, sous divers aspects, le processus de formation d'amyloide à partir de la polymérisation de protéines. Ces phénomènes, aussi bien in vitro que in vivo, posent des questions de modélisation mathématique. Il s'agit ensuite de conduire une analyse des modèles obtenus. Dans la première partie nous présentons des travaux effectués en collaboration avec une équipe de biologistes. Deux modèles sont introduits, basés sur la théorie en vigueur du phénomène Prions, que nous ajustons aux conditions expérimentales. Ces modèles nous permettent d'analyser les données obtenues à partir d'expériences conduites en labora- toire. Cependant celles-ci soulèvent certains phénomènes encore inexpliqués par la théorie actuelle. Nous proposons donc un autre modèle qui corrobore les données et donne une nouvelle approche de la formation d'amyloide dans le cas du Prion. Nous terminons cette partie par l'analyse mathématique de ce système composé d'une infinité d'équations dif- férentielles. Ce dernier consiste en un couplage entre un système de type Becker-Döring et un système de polymérisation-fragmentation discrète. La seconde partie s'attache à l'analyse d'un nouveau modèle pour la polymérisation de protéines dont la fragmentation est sujette aux variations du fluide environnant. L'idée est de décrire au plus près les conditions expérimentales mais aussi d'introduire de nou- velles quantités macroscopiques mesurables pour l'étude de la polymérisation. Le premier chapitre de cette partie présente une description stochastique du problème. On y établit les équations du mouvement des polymères et des monomères (de type Langevin) ainsi que le formalisme pour l'étude du problème limite en grand nombre. Le deuxième chapitre pose le cadre fonctionnel et l'existence de solutions pour l'équation de Fokker-Planck- Smoluchowski décrivant la densité de configuration des polymères, elle-même couplée à une équation de diffusion pour les monomères. Le dernier chapitre propose une méthode numérique pour traiter ce problème. On s'intéresse dans la dernière partie à la modélisation de la maladie d'Alzheimer. On construit un modèle qui décrit d'une part la formation de plaque amyloide in vivo, et d'autre part les interactions entre les oligomères d'Aβet la protéine prion qui induiraient la perte de mémoire. On mène l'analyse mathématique de ce modèle dans un cas particulier puis dans un cas plus général où le taux de polymérisation est une loi de puissance.

On s'attache à étudier des modèles mathématiques multi-échelles pour des domaines variés : la rhéologie des matériaux vitreux, la biochimie dans la balnéothérapie et la biomécanique des sutures craniofaciales. Pour les matériaux vitreux, nous étudions un modèle de type cinétique et justifions mathématiquement des propriétés macroscopiques (transition vitreuse à faible cisaillement et comportement de type fluide newtonien à fort taux de cisaillement) après avoir remarqué une certaine analogie avec la pénalisation d'obstacles en mécanique des fluides. Nous proposons également une généralisation multi-dimensionnelle de ce modèle afin de prendre en compte des types d'écoulements généraux. En biochimie nous présentons un premier modèle très simplifié de réaction-diffusion et montrons comment concevoir un schéma numérique adapté en utilisant les hypothèses de modélisation. Enfin nous proposons un modèle de couplage biomécanique pour le développement des sutures qui rend compte du phénomène d'interdigitation que l'on observe en pratique. / We study multiscale mathematical models for various scientific fields: soft glassy rheology, biochemistry for balneotherapy, and the biomechanics of craniofacial suture development. In soft flassy rheology, we study a kinetic-type of model and justify mathematically some macroscopic properties of the model (especially the glass transition at low shear rate and the Newtonian behaviour at large shear rate) by noticing an analogy with the problem of obstacle penalization in fluid mechanics. Moreover, we propose a multidimensional generalization of this model in order to handle more general flow types. In biochemistry, we introduce a first, very simplified model and show how we can design a numerical scheme based on the modelling hypotheses. Finally we present a model for suture growth coupling biology and mechanics which accounts for the interdigitation pattern observed in practice.