The manuscript presents my research on hyperbolic Partial Differential Equations (PDE), especially on conservation laws. My works began with this thought in my mind: ''Existence and uniqueness of solutions is not the end but merely the beginning of a theory of differential equations. The really interesting questions concern the behavior of solutions.'' (P.D. Lax, The formation and decay of shock waves 1974). To study or highlight some behaviors, I started by working on geometric optics expansions (WKB) for hyperbolic PDEs. For conservation laws, existence of solutions is still a problem (for large data, $L^\infty$ data), so I early learned method of characteristics, Riemann problem, $BV$ spaces, Glimm and Godunov schemes, \ldots In this report I emphasize my last works since 2006 when I became assistant professor. I use geometric optics method to investigate a conjecture of Lions-Perthame-Tadmor on the maximal smoothing effect for scalar multidimensional conservation laws. With Christian Bourdarias and Marguerite Gisclon from the LAMA (Laboratoire de \\ Mathématiques de l'Université de Savoie), we have obtained the first mathematical results on a $2\times2$ system of conservation laws arising in gas chromatography. Of course, I tried to put high oscillations in this system. We have obtained a propagation result exhibiting a stratified structure of the velocity, and we have shown that a blow up occurs when there are too high oscillations on the hyperbolic boundary. I finish this subject with some works on kinetic équations. In particular, a kinetic formulation of the gas chromatography system, some averaging lemmas for Vlasov equation, and a recent model of a continuous rating system with large interactions are discussed. Bernard Rousselet (Laboratoire JAD Université de Nice Sophia-Antipolis) introduced me to some periodic solutions related to crak problems and the so called nonlinear normal modes (NNM). Then I became a member of the European GDR: ''Wave Propagation in Complex Media for Quantitative and non Destructive Evaluation.'' In 2008, I started a collaboration with Bruno Lombard, LMA (Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique, Marseille). We details mathematical results and challenges we have identified for a linear elasticity model with nonlinear interfaces. It leads to consider original neutral delay differential systems.

Ce Mémoire porte sur l'analyse qualitative de quelques classes de problèmes elliptiques non linéaires.

Les conducteurs composites sont constitués d'hétérogénéités microscopiques mais apparaissent comme homogènes à l'échelle macroscopique. La description de leur comportement nécessite l'homogénéisation des équations de conduction régissant chacune de leurs phases. Cette thèse s'intéresse à certaines lois effectives pour les conducteurs composites en présence d'un champ magnétique constant. Dans le premier chapitre, on rappelle quelques résultats d'électrophysique (effet Hall, magnétorésistance) et de la théorie de l'homogénéisation (H-convergence) ainsi que son extension à des problèmes à forte conductivité. Dans le chapitre deux, on étudie l'effet Hall dans des composites bidimensionnels à deux phases très contrastées et on compare le résultat d'homogénéisation à celui obtenu avec une structure fibrée renforcée. Le troisième chapitre généralise ce cas particulier et étend la loi comportementale obtenue à des matériaux cylindriques non périodiques sans hypothèse géométrique sur leur section. Les chapitres deux et trois soulignent des différences importantes entre la dimension deux et la dimension trois au niveau des problèmes de conduction à fort contraste. Un quatrième chapitre est consacré à l'étude de la magnétorésistance en dimension trois et met en avant une forte interaction entre la direction du champ magnétique et l'énergie dissipée dans le matériau complétant ainsi un résultat antérieur en dimension deux.

Cette thèse présente l'étude et le développement de méthodes numériques pour la résolution d'équations de transport, en particulier d'une méthode de remapping bidimensionnel dont un avantage important par rapport aux algorithmes existants est la propriété de conservation de la masse. De nombreux cas-tests permettront de comparer ces approches entre elles ainsi qu'à des méthodes de référence. On s'intéressera en particulier aux équations dites de Vlasov-Poisson et du Centre-Guide, qui apparaissent très classiquement dans le cadre de la physique des plasmas.

The subject of the thesis is the derivation of non-local diffusion equations from kinetic models with heavy-tailed equilibrium in velocity. We are particularly interested in confining the kinetic equations and developing methods that allow us, from the confined kinetic models, to derive confined versions of non-local diffusion equations.

Dans cette thèse nous nous intéressons aux questions de stabilité et d'instabilité dans certains problèmes inverses classiques pour l'équation de Schrödinger et l'équation acoustique en dimension d>=2. Les problèmes considérés sont le problème inverse de Gel'fand de valeurs au bord et les problèmes inverses de diffusion en champ proche et en champ lointain. Les résultats de stabilité et d'instabilité présentés dans cette thèse se complètent mutuellement et contribuent à une meilleure compréhension de la nature des problèmes précités. En particulier, nous démontrons des nouvelles estimations de stabilité globale qui dépendent explicitement de la régularité du coefficient et de l'énergie. En outre, nous considérons le problème inverse de valeurs au bord pour l'équation de Schrödinger à l'énergie fixée avec des mesures frontières représentées comme l'opérateur frontière d'impédance (ou l'opérateur Robin-Robin). Nous démontrons des estimations de stabilité globale pour détermination du potentiel à partir de mesures frontières dans cette représentation d'impédance. De plus, des techniques similaires donnent aussi une procédure de reconstruction globale pour ce problème.

This thesis is devoted to the mathematical analysis of models describing the energy of defects in crystalline solids via variational methods. The first part of this work studies a discrete model describing the energy of a point defect in a one dimensional chain of atoms. We derive an expansion of the ground state energy using Gamma-convergence, following previous work on similar models [BDMG99,BC07,SSZ11]. The main novelty here is an explicit characterisation of the first order limit as the solution of a variational problem in an infinite lattice. Analysing this variational problem, we prove a regularity result for the perturbation caused by the defect, and demonstrate the order of the next term in the expansion. The second main topic is a discrete model describing screw dislocations in body centred cubic crystals. We formulate an anti plane lattice model which describes the energy difference between deformations and, using the framework defined in [AO05], provide a kinematic description of the Burgers vector, which is a key geometric quantity used to describe dislocations. Apart from the anti plane restriction, this model is invariant under all the natural symmetries of the lattice and in particular allows for the creation and annihilation of dislocations. The energy difference formulation enables us to provide a clear definition of what it means to be a stable deformation. The main results of the analysis of this model are then first, a proof that deformations with unit net Burgers vector exist as globally stable states in an infinite body, and second, that deformations containing multiple screw dislocations exist as locally stable states in both infinite bodies and finite convex bodies. To prove the former result, we establish coercivity with respect to the elastic strain, and exploit a concentration compactness principle. In the latter case, we use a form of the inverse function theorem, proving careful estimates on the residual and stability of an ansatz which combines continuum linear elasticity theory with an atomistic core correction.

First, we provide new classes of initial data, that grant short time uniqueness of the associated weak Leray-Hopf solutions of the three dimensional Navier-Stokes equations. The main novelty here is the establishment of certain continuity properties near the initial time, for weak Leray-Hopf solutions with initial data in supercritical Besov spaces. The techniques used here build upon related ideas of Calderón. Secondly, we prove local regularity up to the at part of the boundary, for certain classes of solutions to the Navier-Stokes equations, provided that the velocity field belongs to L_∞(-1; 0; L^{3, β}(B(1) ⋂ ℝ³ ₊)) with 3 ≤ β < ∞. What enables us to build upon the work of Escauriaza, Seregin and Šverák [27] and Seregin [100] is the establishment of new scale-invariant estimates, new estimates for the pressure near the boundary and a convenient new ϵ-regularity criterion. Third, we show that if a weak Leray-Hopf solution in ℝ³ ₊×]0,∞[ has a finite blow-up time T, then necessarily lim_t↑T||v(·, t)||_{L^3,β(ℝ³ ₊)} = ∞ with 3 < β < ∞. The proof hinges on a rescaling procedure from Seregin's work [106], a new stability result for singular points on the boundary, suitable a priori estimates and a Liouville type theorem for parabolic operators developed by Escauriaza, Seregin and Šverák [27]. Finally, we investigate a notion of global-in-time solutions to the Navier- Stokes equations in ℝ³, with solenoidal initial data in the critical Besov space ?^-1/4_4,∞(ℝ³), which has certain continuity properties with respect to weak* convergence of the initial data. Such properties are motivated by the strategy used by Seregin [106] to show that if a weak Leray-Hopf solution in ℝ³×]0,∞[ has a finite blow-up time T, then necessarily lim_t↑T ||v(·, t)||_{L₃(ℝ³)} = ∞. We prove new decomposition results for Besov spaces, which are key in the conception and existence theory of such solutions.

Ce mémoire résume une quinzaine d'années de recherche dans le monde industriel et universitaire. Il est divisé en trois parties, traitant respectivement de la théorie de la morphologie mathématique, des systèmes dynamiques et enfin des applications au traitement des images. En morphologie mathématique, nos travaux ont porté principalement sur le filtrage et la segmentation d'images. En ce qui concerne le filtrage, nous avons proposé un algorithme quasi-linéaire pour calculer l'arbre des composantes, une des structures d'organisation naturelles des ensembles de niveaux d'une image. En segmentation, nous nous sommes principalement intéressé à la ligne de partage des eaux. Nous en avons proposé une définition continue. En nous servant du formalisme récemment introduit par Gilles Bertrand, nous avons comparé les propriétés de plusieurs définitions discrètes et nous avons proposé un algorithme quasi-linéaire permettant de calculer la ligne de partage des eaux topologique. Notre algorithme repose en partie sur celui de l'arbre des composantes. Enfin, nous avons proposé des schémas hiérarchiques pour utiliser la ligne de partage des eaux, et en particulier, nous avons proposé de valuer les contours produits par un critère de saillance donnant l'importance du contour dans la hiérarchie. Ces études nous ont conduit à proposer des classes de graphes adaptés pour la fusion de région, mettant en particulier en évidence l'équivalence existant entre une de ces classes de graphes et la classe des graphes pour lesquels toute ligne de partage des eaux binaire est mince. En ce qui concerne les systèmes dynamiques, nous avons utilisé les outils issus du cadre de l'analyse multivoque et de la théorie de la viabilité pour proposer un algorithme (dit des "Montagnes Russes") qui permet de converger vers le minimum global d'une fonction dont on connaît l'infimum. L'association du cadre algébrique des treillis complets, de l'algèbre et de la théorie des inclusions différentielles nous a permis de donner des propriétés algébriques et de continuité d'applications agissant sur des ensembles fermés, comme l'ensemble atteignable ou le noyau de viabilité. Nous avons utilisé le cadre des équations mutationnelles, permettant de dériver des tubes de déformations de formes dans des espaces métriques, pour prouver de manière rigoureuse et sans hypothèse de régularité sur la forme, l'intuition selon laquelle la dilatation transforme la forme dans la direction des normales à celle-ci en chacun de ses points. Nous avons adapté au cadre des équations mutationnelles le théorème d'Euler, qui permet d'approcher une solution à une équation mutationnelle par une s'equence de points dans un espace métrique. Enfin, nous avons proposé une approche générique de simulation, fondée sur les systèmes de particules, qui a prouvé son efficacité par sa mise en œuvre en milieu industriel, en particulier, pour la simulation de foules, pour la synthèse d'images, ou encore pour la simulation du déploiement d'airbags. Nous pensons que de bonnes études théoriques aident à réaliser des applications de qualité. Inversement, de bons problèmes théoriques peuvent trouver une source dans de bons problèmes applicatifs. On trouvera dans ce mémoire le résumé d'un certain nombre de travaux dont l'intérêt industriel a été prouvé par des brevets ou des logiciels. Citons par exemple un outil de segmentation 4D (3D+temps) en imagerie cardiaque utilisé par des médecins dans le cadre de leur pratique. Nous avons travaillé pendant plusieurs années dans le domaine du traitement d'images de documents. Nous avons proposé un outil basé sur la morphologie mathématique permettant d'estimer l'angle d'inclinaison d'un document scanné. Plus particulièrement, nous avons étudié des problèmes liés à l'indexation et à la reconnaissance de dessins techniques.

Cette thèse est consacrée à l'étude des équations de Gross-Pitaevskii et de Landau-Lifshitz, qui présentent d'importantes applications en physique. L'équation de Gross-Pitaevskii modélise des phénomènes de l'optique non linéaire, de la superfluidité et de la condensation de Bose-Einstein, tandis que l'équation de Landau-Lifshitz décrit la dynamique de l'aimantation dans des matériaux ferromagnétiques. Lorsqu'on modélise la matière à très basse température, on fait l'hypothèse que l'interaction des particules est ponctuelle. L'équation de Gross-Pitaevskii classique s'en déduit alors en prenant comme interaction une masse de Dirac. Cependant, différents types de potentiels non locaux probablement plus réalistes ont aussi été proposés par des physiciens pour modéliser des interactions plus générales. Dans un premier temps, on s'intéressera à donner des conditions suffisantes couvrant une variété assez large d'interactions non locales et telles que le problème de Cauchy associé soit globalement bien posé avec des conditions non nulles à l'infini. Par la suite, on étudiera les ondes progressives de ce modèle non local et on donnera des conditions telles que l'on puisse déterminer les vitesses pour lesquelles il n'existe pas de solution non constante d'énergie finie. Concernant l'équation de Landau-Lifshitz, on s'intéressera aussi aux ondes progressives d'énergie finie. On montrera la non existence d'ondes progressives non constantes d'énergie petite en dimensions deux, trois et quatre, sous l'hypothèse que l'énergie soit inférieure au moment dans le cas de la dimension deux. En outre, on donnera aussi dans le cas bidimensionnel la description d'une courbe minimisante qui pourrait donner une approche variationnelle pour construire des solutions de l'équation de Landau-Lifshitz. Finalement, on décrira le comportement à l'infini des ondes progressives d'énergie finie.