Ce mémoire présente plusieurs contributions quant à l'analyse mathématique de l'équation de Gross-Pitaevskii et du modèle de Bogoliubov-Dirac-Fock. Au sujet de l'équation de Gross-Pitaevskii, l'analyse commence par la construction variationnelle des ondes progressives minimisantes. La preuve de la stabilité orbitale du soliton noir en dimension un, et la description de la limite transsonique des ondes progressives minimisantes vers les états fondamentaux de l'équation de Kadomtsev-Petviashvili en dimension deux, viennent compléter cette construction. L'analyse s'achève par la dérivation rigoureuse du régime ondes longues vers l'équation de Korteweg-de Vries en dimension un. Quant au modèle de Bogoliubov-Dirac-Fock, il s'agit de construire les états fondamentaux du modèle réduit, puis de préciser le processus de renormalisation de leur charge, lequel autorise le calcul d'un développement asymptotique de la densité de charges du vide polarisé, qui est cohérent avec les développements perturbatifs de l'électrodynamique quantique.

Cette thèse traite de problèmes inverses en propagation d'ondes acoustiques pour des milieux inhomogènes avec des mesures en champ lointain. Dans la première partie nous nous intéressons à la localisation de défauts, c'est-à-dire à la recherche du lieu où l'indice effectif est différent d'un indice de référence. Nous obtenons une caractérisation du support des défauts à partir des mesures par une extension de la "Factorization Method" d'A. Kirsch. Nous proposons plusieurs méthodes numériques permettant de déterminer la localisation des défauts dont une permettant de traiter le cas de directions d'émission et de réception distinctes. Ces algorithmes sont validés numériquement. Dans une seconde partie, nous considérons la reconstruction des valeurs d'un indice inconnu. A partir de la méthode de localisation de défauts introduite précédemment, nous proposons deux stratégies pour déterminer des zones d'intérêt sur lesquelles la reconstruction est focalisée. Enfin, nous introduisons un nouveau type de fonction coût pour la reconstruction, qui exploite les propriétés établies dans la première partie.

Les travaux présentés dans ce mémoire concernent des équations aux dérivées partielles issues de la physique des plasmas ou de la mécanique des fluides. En amont, ils comportent une partie importante de modélisation : approximation de systèmes hyperboliques oscillants, dérivation de systèmes de types Zakharov, modèle Hele-Shaw, modèle de micelles géantes. En aval, ils abordent un certain nombre de problèmes théoriques : existence et unicité des solutions, stabilité/instabilité des ondes solitaires, controle optimal, estimations d'erreur et convergence de modèles. Ils explorent aussi des méthodes numériques de résolution qui ont toutes pour point commun d'utiliser des méthodes de volumes finis ou différences finies sur des grilles cartésiennes en utilisant éventuellement des méthodes de pénalisation.

La production industrielle d'aluminium met en jeu plusieurs aspects physiques, à la fois chimiques, thermiques et magnétohydrodynamiques (MHD). L'une de ses particularités est la coexistence dans une cuve de deux fluides non miscibles, ce qui conduit à la présence d'une interface libre. Ce procédé consomme près de 2% de l'électricité mondiale, la moitié étant perdue par effet Joule. L'enjeu est de réduire ce coût sans déstabiliser le procédé: il s'agit typiquement d'un problème de contrôle optimal, que nous traitons en considérant une modélisation MHD de la cuve. Deux approches sont utilisées pour effectuer cette optimisation, à savoir considérer une contrainte d'état non linéaire basée sur un couplage entre les équations de Maxwell et de Navier-Stokes multifluides, et une contrainte d'état linéaire résultant d'une approximation shallow water de la précédente. Après une courte introduction à la modélisation du procédé et aux concepts du contrôle optimal basé sur le principe de Pontryagin, nous décrivons dans un premier temps le contrôle de l'évolution de l'interface modélisée par l'approximation shallow water. S'ensuivent un travail de parallèlisation du logiciel de simulation du procédé dans le cadre non linéaire et la recherche numérique d'actionneurs acceptables pour son contrôle. Enfin, un algorithme d'optimisation de la forme de l'interface est proposé sous une contrainte d'état non linéaire simplifiée, à savoir les équations de Navier-Stokes bifluides en dimension deux.

Cette thèse s'inscrit dans le cadre d'étude de la simulation de la propagation du son en écoulement. L'objectif de ces travaux est l'obtention de modèles approchés permettant une prise en compte aisée des zones de fortes variations de l'écoulement porteur (couche limite de paroi, couche de mélange...). Le modèle mathématique retenu pour l'étude est celui des équations de Galbrun. La première partie est consacrée à la propagation acoustique dans un tuyau mince bidimensionnel. Une analyse asymptotique qui s'apparente à une analyse basse fréquence est menée pour obtenir un problème approché original, faisant intervenir un terme intégral non local vis à vis de la coordonnée transverse. Du fait de son originalité, l'analyse de stabilité est complexe et nécessite une étude ad hoc. Cette approche nouvelle permet de retrouver des résultats sur la stabilité des écoulements incompressible, mais aussi d'en établir de nouveaux. Nous proposons ensuite une méthode de résolution numérique basée sur une expression quasi-explicite de la solution. La question de la prise en compte des couches limites de paroi fait l'objet de la deuxième partie. Nous considérons toujours un problème bidimensionnel à paroi plane. Les cas d'une paroi parfaitement rigide et d'une paroi sur laquelle on impose une condition d'impédance sont traités. Dans les deux cas nous remplaçons la couche limite par une condition aux limites approchée, au moyen d'une analyse asymptotique. Ces conditions font intervenir la résolution du problème limite du tube et l'analyse de stabilité repose sur les résultats de la première partie. Nous explorons ensuite les propriétés physiques et mathématiques de ces problèmes approchés.

Le but de la thèse est d'étudier l'homogénéisation d'équations de convection-diffusion singulières et de problèmes spectraux à poids indéfini. La thèse se compose de deux parties. La première partie contient des résultats qualitatifs et asymptotiques pour les solutions d'équations de type convection-diffusion stationnaires et instationnaires, qui sont définies dans des domaines bornés ou nonbornés. Les problèmes examinés comprennent des études qualitatives pour une équation elliptique avec des termes du premier ordre dans un cylindre semi-infini, l'homogénéisation de modèles de convection-diffusion dans des cylindres minces et une analyse asymptotique d'équations de convection-diffusion instationnaires avec un grand terme du premier ordre, posées dans un domaine borné. La deuxième partie de la thèse porte sur l'homogénéisation de problèmes spectraux à poids indéfini, pouvant changer de signe. On montre que le comportement asymptotique dépend essentiellement de la moyenne du poids, notamment si la moyenne est nulle ou non nulle. On construit alors le développement asymptotique du spectre dans les deux cas.

Nous exposons en introduction quelques généralités sur les solutions fortes et les solutions faibles d'équations aux dérivées partielles. Le chapitre 2 est consacré à l'étude des multiplicateurs et des paramultiplicateurs entre espaces de Sobolev. Si l'opérateur de multiplication ponctuelle par une fonction est borné d'un espace de Sobolev dans un autre, on dit que cette fonction est un multiplicateur entre ces espaces. On définit de même les paramultiplicateurs par le caractère borné de l'opérateur de paraproduit de Bony. Nous prouvons une caractérisation presque complète des espaces de multiplicateurs et de paramultiplicateurs. Cette caractérisation est appliquée dans le chapitre 3 au problème de l'unicité fort-faible pour l'équation de Navier-Stokes en dimension d > ou = 3. Elle nous permet de prouver un théorème d'unicité fort-faible généralisant presque tous les résultats connus. Nous nous intéressons dans le chapitre 4 aux solutions d'énergie inféie de l'équation de Navier-Stokes en dimension 2. Un théorème de Gallagher et Planchon affirme qu'une solution globale existe si la donnée initiale appartient à un espace de Besov critique ; nous étendons ce théorème au cas où u0 appartient @BMO, qui semble optimal. Nous prouvons dans le chapitre 5 des résultats d'existence globale pour l'équation des ondes semi-linéaire critique (avec non-linéarité polynomiale), pour une donnée initiale d'énergie infinie et de norme arbitrairement grande. Deux méthodes d'interpolation non-linéaire sont employées : la méthode de Calderon et la méthode de Bourgain ; elles donnent des résultats complémentaires. Le chapitre 6 est consacré à des rappels, et nous mentionnons dans le chapitre 7 quelques perspectives possibles.

Ce mémoire présente une partie de mon activité de recherche postérieure à la thèse, soutenue en 2000. Plus particulièrement, je décris ici les résultats obtenus à partir de 2004, en tant que Maître de Conférences à l'Institut des Sciences de l'Ingénieur de Toulon et du Var et membre de l'actuel Institut de mathématiques de Toulon et du Var.

Dans de nombreux problèmes physiques, on s'intéresse à l'interaction de phénomènes ayant des longueurs caractéristiques très différentes. On parle alors de phénomènes multi-échelles. Les méthodes numériques classiques, comme les éléments finis ou les différences finies, nécessitent alors un pas de maillage de l'ordre de la plus petite longueur caractéristique. Ceci a pour effet de faire exploser le nombre de degrés de liberté et les coûts de calcul. Afin de pallier à cette difficulté, on trouve dans la littérature différentes méthodes qui consistent soit à 1. développer des méthodes purement numériques de raffinement local. Ainsi, on limitera le nombre de degrés de liberté. 2. dériver à l'aide de l'analyse asymptotique des modèles approchés dont la solution peut être approchée numériquement sans raffinement local. De nombreux auteurs se sont intéressés à ces problématiques. 3. combiner une analyse asymptotique avec une méthodes de type éléments finis en augmentant l'espace de Galerkin par des fonctions reproduisant les propriétés locales de la solution du modèle exacte. Cette problématique est particulièrement présente en propagation d'ondes. En effet, des détails géométriques de petites tailles (fil mince, fente mince, petit trou, couche mince) devant la longueur d'ondes peuvent avoir une influence significative. Lors de ces dernières années, j'ai étudié ces phénomènes dans le cadre des problèmes de propagation d'ondes linéaires scalaires en régime fréquentiel. Dans cet exposé, je vous présenterai quelques résultats que j'ai obtenu à l'aide de la technique des développements asymptotiques raccordés.

Le circuit primaire d'une centrale nucléaire est composé d'un ensemble d'éléments très différents (cuve, coeur, réseau de conduite ...). A chacun de ces éléments correspond actuellement un ou plusieurs codes de calcul spécifiques basés sur des systèmes d'équations aux dérivées partielles spécifiques. Afin de permettre la simulation des écoulements diphasiques dans l'ensemble du circuit primaire, il faut envisager de coupler ces différents codes. L'approche proposée dans ce travail de thèse est de coupler les codes grâce à un échange d'information interfaciale instationnaire. Des flux numériques sont calculés au niveau des interfaces de couplage et servent de conditions aux limites à chacun des codes. Les méthodes permettant le calcul des flux de couplage sont dérivées du formalisme de Greenberg-Leroux proposé dans le cadre du décentrement des termes sources des systèmes hyperboliques non-homogènes stationnaires, et font intervenir un modèle d'interface. Trois cas de couplage ont été examinés : (i) le couplage du système des équations d'Euler en dimension un et deux ; (ii) le couplage de deux modèles diphasiques homogènes distincts ; (iii) le couplage d'un modèle homogène à quatre équations et du modèle bi-fluide standard.