Dans cette thèse, nous étudions quelques opérateurs présentant un changement de signe dans leur partie principale. Ces opérateurs apparaissent notamment en électromagnétisme lorsqu'on s'intéresse à la propagation des ondes dans des structures constituées de matériaux usuels et de matériaux négatifs en régime harmonique. Ici, nous appelons matériau négatif un matériau modélisé par une permittivité diélectrique et/ou une perméabilité magnétique négative(s). En raison du changement de signe des coefficients physiques, on ne peut utiliser les outils classiques pour étudier ce problème. Dans la première partie de ce mémoire, nous nous concentrons sur le problème de transmission scalaire auquel on peut réduire les équations de Maxwell lorsque la géométrie et les données présentent une invariance dans une direction. Avec la technique de la T-coercivité, basée sur des arguments géométriques, nous établissons des conditions nécessaires et suffisantes pour prouver le caractère bien posé de ce problème en domaine borné dans H^1. Nous montrons également comment on peut utiliser cette approche pour justifier la convergence des méthodes usuelles d'approximation par éléments finis. Dans un deuxième temps, au moyen de techniques différentes, issues de l'étude des équations elliptiques dans des domaines à géométrie singulière, nous définissons un nouveau cadre fonctionnel pour recouvrer le caractère Fredholm lorsque celui-ci est perdu dans H^1. Il apparaît alors un phénomène surprenant de trou noir. Tout se passe comme si des ondes étaient aspirées en un point. Nous réalisons ensuite une étude asymptotique par rapport à une petite perturbation de l'interface entre le matériau positif et le matériau négatif dans ce cadre fonctionnel. Au cours de notre analyse, nous mettons en évidence un curieux phénomène de valeur propre clignotante. La troisième partie de ce document est consacrée à l'étude des équations de Maxwell. Nous travaillons d'abord sur les équations de Maxwell 2D en exploitant les résultats obtenus pour le problème scalaire. Puis, nous nous intéressons aux équations de Maxwell 3D. Nous montrons qu'elles sont bien posées dès lors que les problèmes scalaires associés sont bien posés. Enfin, dans une quatrième partie, nous étudions le problème de transmission intérieur apparaissant en théorie de la diffraction. L'opérateur pour ce problème présente également un changement de signe dans sa partie principale. Nous abordons son étude en utilisant l'analogie existant avec le problème de transmission entre un matériau positif et un matériau négatif. Certaines configurations pour ce problème de transmission intérieur conduisent à considérer un problème de transmission du quatrième ordre avec changement de signe. Nous prouvons que cet opérateur présente des propriétés étonnamment différentes de celles de l'opérateur scalaire du second ordre.

Cette thèse porte sur l'analyse mathématique et la simulation numérique de problèmes liés à la diffraction multiple. Elle est constituée de deux parties. La première partie est consacrée à l'étude de quelques problèmes inverses de détection et de localisation d'obstacles ou de sources à l'aide d'un miroir à retournement temporel (MRT). Ces appareils sont capables de rétro-propager des ondes dans leur milieu d'origine afin de les focaliser sur la source qui les a initialement émises. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la méthode DORT, qui est une technique expérimentale permettant de focaliser sélectivement des ondes sur des petits obstacles a priori inconnus. Dans le cadre de l'acoustique, nous proposons une étude numérique des résultats mathématiques obtenus par C. Hazard et K. Ramdani. Ensuite, nous étendons mathématiquement ces résultats au cas de l'électromagnétisme. Pour clôturer cette première partie, nous présentons une étude numérique d'une expérience de reconstruction d'une source acoustique ponctuelle à l'aide d'un MRT. On s'intéresse ici plus particulièrement au phénomène de super-résolution, c'est-à-dire l'amélioration, en moyenne, de la qualité de la focalisation en milieu hétérogène plutôt qu'en milieu homogène. En se plaçant dans un contexte déterministe, nous résolvons numériquement l'équation de Helmholtz et donnons des exemples de simulations numériques illustrant ce phénomène. La deuxième partie a pour objet la résolution numérique par équations intégrales du problème de diffraction multiple en acoustique. La notion de diffraction multiple signifie ici que le milieu comporte plusieurs obstacles par opposition à la diffraction simple où seul un diffuseur est présent. Lorsque les obstacles sont des disques, nous calculons explicitement les coefficients des quatre opérateurs intégraux usuels dans les bases de Fourier. Ceci nous permet de proposer une méthode de résolution numérique robuste et efficace lorsque les obstacles sont des disques. Cette stratégie de résolution utilise une méthode de stockage compressée de la matrice du système linéaire ainsi qu'un préconditionneur qui prend en compte les effets de la diffraction simple. En outre, ce préconditionnement présente la propriété intéressante de rendre toutes les équations intégrales identiques, à un changement de base près. Nous démontrons ce résultat tout d'abord pour des obstacles circulaires avant de l'étendre à des géométries régulières quelconques. D'autre part, l'obtention des coefficients de l'opérateur intégral de simple couche nous permet d'étudier numériquement le spectre de cet opérateur en régime basse fréquence. Après une étude de la diffraction simple, nous nous sommes intéressés à deux régimes particuliers de diffraction multiple : un milieu dilué où les obstacles sont éloignés et un milieu dense où les obstacles sont très proches les uns des autres.

Les pages qui suivent présentent les travaux que j'ai effectués depuis le début de mes recherches en 1995. Ils ont été menés d'abord au laboratoire d'Analyse Non Linéaire Appliquée de l'Université de Toulon et du Var pendant ma thèse de 1995 à 1997, puis au département de Mathématiques de l'Université de Perpignan de 1997 à 2011, et en fin au Laboratoire de Mécanique et Génie Civil de l'Université Montpellier 2. Le cadre de ma recherche est l'analyse asymptotique d' équations différentielles à coefficients fortement oscillants (l'homogénéisation"). J'ai d'abord étudié des équations scalaires [1], [4], [6], ensuite, je me suis intéressé aux équations de l' élasticité linéaire [3], [5], ce qui m'a permis de mettre en évidence des effets de torsion dans les composites élastiques de fibres à fort contraste [7], et m'a amen é à introduire une nouvelle notion de capacité adaptée à l' élasticité [8]. Plus récemment, j'ai étendu cette notion à un cadre non linéaire [15], [19] et me suis intéressé aux cas non périodique [9] et aléatoire [18]. Ce mémoire comporte 3 chapitres. La présentation de chaque chapitre suit l'ordre chronologique inverse en commencant par les résultats obtenus en élasticité. Le cas scalaire s'en déduit aisément. Les deux premiers chapitres s'intéressent au cas où certains des coefficients des équations considérées prennent de tr ès grandes valeurs sur des inclusions de mesure de Lebesgue tr ès petite. On parle alors de "problèmes capacitaires" car les équations limites dépendent de la densité de ces inclusions relativement à une certaine capacité. Le premier chapitre traite le cas de structures granulaires et le second de structures fibrées. Sur ce sujet, les publications sont dans l'ordre chronologique [10], [1], [12], [13], [4], [5], [6], [14], [8] (auxquelles s'ajoutent les preprints [9], [15], [19], [18]). Le troisième chapitre porte sur le cas o ù certains coefficients prennent des valeurs tr ès petites sur des parties de mesure de Lebesgue d'ordre 1. Les publications associées à ce chapitre sont [11], [3], [4], [7].

Cette thèse traite de la modélisation et de l'approximation numérique des écoulements liquide-gaz compressibles. La difficulté essentielle réside dans la modélisation et l'approximation de l'interface liquide-gaz. Schématiquement, deux types de méthodes permettent l'étude de la dynamique de l'interface : l'approche eulérienne, aussi dite de capture de front ("front capturing method") et l'approche lagrangienne, de suivi de front ("front tracking method"). Nos travaux sont plutôt basés sur la méthode de capture de front. Le modèle bifluide est constitué d'un système de lois de conservation du premier ordre traduisant le bilan de masse, de quantité de mouvement et d'énergie du système physique. Ce système doit être fermé par une loi de pression du mélange gaz-liquide pour que sa résolution soit possible. Cette loi de comportement doit être choisie soigneusement, puisqu'elle conditionne les bonnes propriétés du système comme l'hyperbolicité ou l'existence d'une entropie de Lax. Les méthodes d'approximation doivent permettre de traduire au niveau discret ces propriétés. Les schémas conservatifs classiques de type Godunov peuvent être appliqués au modèle bifluide. Ils conduisent cependant à des imprécisions qui les rendent inutilisables en pratique. Enfin, l'existence de solutions discontinues rend difficile la construction de schémas d'ordre élevé. La structure complexe des solutions nécessite alors des maillages très fins pour une précision acceptable. Il est donc indispensable de proposer des algorithmes performants pour les calculateurs parallèles les plus récents. Au cours de cette thèse, nous allons aborder partiellement chacune de ces problématiques : construction d'une "bonne" loi de pression, construction de schémas numériques adaptés, programmation sur calculateur massivement multicoeur.

Contrairement aux liquides ordinaires, les fluides complexes comme le sang exhibent des comportements étranges qui dépendent essentiellement des structures sous-jacentes qui les composent. La simulation des écoulements sanguins continue de poser un formidable défi pour les modélisations théoriques et numériques dont l'intérêt est de développer des méthodes et des outils de simulation pour la communauté médicale. Nous proposons dans cette thèse une contribution à ce projet qui sera majoritairement centré sur les aspects numériques et informatiques. Nous nous sommes particulièrement intéressés à l'interaction entre le sang et la paroi vasculaire, qui joue un rôle important dans les grandes artères comme l'aorte. Nous nous sommes aussi investis dans la simulation du transport des cellules sanguines dans le sang. Pour la résolution des équations aux dérivées partielles décrivant nos modèles d'hémodynamique, nous avons choisi d'utiliser des méthodes numériques dont la précision pourra être accrue de manière arbitraire. Dans ce but, les principaux ingrédients qui ont été mis en oeuvre sont (i) la méthode des éléments finis basée sur des approximations de Galerkin d'ordre arbitraire en espace et géométrie, (ii) la méthode ALE pour la prise en compte de la mobilité des domaines pour des déplacements d'ordre arbitraire, (iii) les couplages implicites et semi-implicites pour l'interaction fluide-structure. Nous proposons également une nouvelle formulation de la méthode de la frontière élargie visant à modéliser le transport de particules déformables immergées dans un fluide. Nos simulations numériques se sont appuyées sur la librairie de calcul Feel++, spécialisée dans la résolution d'EDP. Outre l'implémentation des modèles physiques, nous y avons développé diverses fonctionnalités nécessaires à la mise en oeuvre de nos méthodes : interpolation, méthode de Galerkin non standard, méthode ALE, environnement pour l'interaction fluide-structure. De plus, de par la taille des géométries et la complexité des modèles mis en jeu, le passage au calcul parallèle a été indispensable pour pouvoir réaliser nos simulations. Ainsi, nous avons décrit le développement qui a été effectué dans cette librairie pour permettre le déploiement de nos programmes sur des architectures parallèles.

Cette thèse se consacre aux études des comportements de longtemps des solutions pour les EDPs nonlinéaires qui sont proches d'une EDP linéaire ou intégrable hamiltonienne. Une théorie de la moyenne pour les EDPs nonlinéaires est presenté. Les modèles d'équations sont les équations Korteweg-de Vries (KdV) perturbées et quelques équations aux dérivées partielles nonlinéaires faiblement.

L'effet Leidenfrost répresente un cas particulier de caléfaction : lorsqu'une goutte de liquide est déposée sur une surface dont la température est très supérieure à la température d'ébullition du liquide, ce dernier s'évapore avant de toucher la surface et la vapeur ainsi créée forme un coussin sous la goutte qui la maintient en sustentation et l'isole de la plaque chauffante. Ce travail de thèse concerne la modélisation et la simulation de ce phénomène complexe. Dans une première partie, nous étudions un modèle avec interface raide basée sur les équations de Navier-Stokes enrichies avec des termes interfaciaux prenant en compte le changement de phase et la tension de surface. La simulation d'une couche uniforme de liquide sur un film de vapeur nous ramène à un cas unidimensionnel pour lequel on utilise la méthode ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian) afin de gérer la hauteur variable de chaque phase. La discrétisation du modèle est validée sur un cas test. Dans une seconde partie, on utilise la méthode de capture d'interface Level-Set dans laquelle la frontière liquide/gaz est réprésentée par la ligne de niveau zéro d'une fonction. Cette interface est artificiellement épaissie et les quantités thermodynamiques y sont régularisées. La tension de surface et le changement de phase sont alors introduits sous forme de termes volumiques dans nos équations. L'hypothèse d'incompressibilité de chaque phase pure nous amène alors à un fluide généralisé dont la compressibilité se manifeste uniquement dans la zone interfaciale, là où se produit le changement de phase. La troisième partie est consacrée à la discrétisation de ce modèle pour l'étude tridimensionnelle d'une goutte d'eau, immobile et symétrique par rotation, se ramenant ainsi à un problème bi-dimensionnel axisymétrique. La méthode Level-Set nécessite des choix numériques particuliers qui sont alors explicités : schéma d'advection peu diffusif, redistanciation par résolution d'une équation de Hamilton-Jacobi et correction globale du volume de la goutte, prenant en compte le changement de phase. Un algorithme de projection de type Chorin est également utilisé afin de satisfaire la contrainte sur la compressibilité de notre fluide. On présentera également un nouveau schéma aux différences finies à stencil compact pour l'approximation du gradient. La dernière partie présente et compare nos résultats numériques avec plusieurs courbes théoriques, décrivant chacune l'évolution de certains paramètres de la goutte de liquide : son volume, son rayon et la hauteur de la couche de vapeur.

L'objectif principal de cette thèse est de proposer et de tester quelques méthodes de l'optimisation de forme afin d'identifier et de reconstruire des dépôts qui couvrent la paroi extérieure d'un tube conducteur dans un générateur de vapeurs en utilisant des signaux courant de Foucault. Ce problème est motivé par des applications industrielles en contrôle non-destructive dans le secteur de l'énergie nucléaire. En fait, des dépôts peuvent obstruer le passage de circuit de refroidissement entre les tubes et les plaques entretoises qui les soutiennent, ce qui entraînerait une baisse de productivité et mettrait la structure en danger. On considère dans un premier temps un cas axisymétrique dans le cadre duquel on construit un modèle 2-D par des équations aux dérivées partielles pour le courant de Foucault, ce qui nous permet ensuite de reproduire des mesures d'impédances qui correspondent en réalité les signaux courants de Foucault. Pour réduire le coût de calculs de la simulation numérique, on tronque le domaine du problème en posant des conditions aux bords artificielles basées sur des études sur le comportement de la solution, notamment sur un calcul semi-analytique de l'opérateur Dirichlet-to-Neumann dans la direction axiale. Pour la partie identification et reconstruction, on distingue deux sortes de dépôts et établit pour chacun une méthode d'inversion spécifique. Le premier cas concernent des dépôts dont la conductivité est relativement faible (d'environs 1.e4 S/m). On utilise la méthode d'optimisation de forme qui consiste à exprimer explicitement la dérivée des mesures d'impédance par rapport au domaine du dépôt en fonction d'une déformation et à représenter le gradient d'un fonctionnel de coût à minimiser par l'intermédiaire d'un état adjoint proprement défini. Motivée par la présence des dépôts et des plaques de maintient non-axisymétriques, on fait aussi une extension en 3-D des méthodes précédentes. Pour le deuxième cas, des dépôts sont fortement conducteurs et sous forme de couche mince d'une épaisseur de l'ordre de micron. La méthode adaptée à la première sorte de dépôts devient ici trop coûteuse à cause du degré de liberté très élevé des éléments finis sur un maillage extrêmement raffiné à l'échelle de la couche mince. Pour relever cette difficulté, les études sont portées sur plusieurs modèles asymptotiques qui remplace la couche mince par des conditions d'interface sur la surface du tube portante du dépôt. Le nom de modèle asymptotique vient du fait que les conditions d'interface effectives sont obtenues par le développement asymptotique de la solution en fonction d'un paramètre caractérisant la conductivité et l'épaisseur de la couche mince. La validation numérique a permis de retenir un modèle asymptotique qui est à la fois suffisamment précis et simple à inverser. L'inversion (recherche de l'épaisseur du dépôt) consiste alors à rechercher des paramètres dans les conditions d'interface (non standard). Pour les deux cas, la validation et des exemples numériques sont proposés pour le modèle direct et l'inversion.

Ce mémoire présente les travaux réalisés au cours de ma thèse sur le contrôle d'équations aux dérivées partielles. La première partie est consacrée à l'étude d'équations de Schrödinger bilinéaires unidimensionnelles autour de deux axes : la non contrôlabilité en temps petit avec des contrôles petits et la contrôlabilité simultanée. On établit un cadre pour lequel, bien que la vitesse de propagation du système soit infinie, la contrôlabilité exacte locale avec des contrôles petits est vérifiée si et seulement si le temps est suffisamment grand. Ces résultats, basés sur la coercivité d'une forme quadratique associée au développement de l'état à l'ordre deux, sont étendus dans le contexte de la contrôlabilité simultanée. On montre alors, en utilisant la méthode du retour de J.-M.~Coron, des résultats de contrôle exact local simultané pour deux ou trois équations, à phase globale et/ou à retard global près. La trajectoire de référence utilisée est construite via des résultats de contrôle partiel. En utilisant un argument de perturbation, on étend cette idée pour montrer la contrôlabilité exacte globale d'un nombre quelconque d'équations sans hypothèse sur le potentiel. Dans la deuxième partie, on prend en compte dans le modèle un terme supplémentaire quadratique en le contrôle. Ce terme, dit de polarisabilité, généralement négligé, présente un intérêt physique dans la modélisation, mais aussi mathématique dans le cas où le terme bilinéaire est insuffisant pour conclure à la contrôlabilité. En dimension quelconque, on construit des contrôles explicites réalisant la contrôlabilité approchée de l'état fondamental. En adaptant conjointement l'argument de perturbation précédent et certains résultats du contrôle bilinéaire, on prouve la contrôlabilité globale exacte de l'équation de Schrödinger avec polarisabilité 1D. La dernière partie de ce mémoire est consacrée à l'étude de la continuation unique pour un opérateur de type Grushin sur un rectangle 2D. Cet opérateur présente une singularité et une dégénérescence sur un segment séparant le domaine en deux composantes. On donne une condition nécessaire et suffisante sur le coefficient du potentiel singulier pour obtenir la continuation unique.

Nous étudions plusieurs aspects d'équations aux dérivées partielles multi-échelles. Pour trois exemples, la présence de multiples échelles, spatiales ou temporelles, motive un travail de modélisation mathématique ou constitue un enjeu de discrétisation. La première partie est consacrée à la construction et l'étude d'un système multicouche de type Saint-Venant pour décrire un fluide à surface libre (océan). Son obtention s'appuie sur l'analyse des échelles spatiales, précisément l'hypothèse " eau peu profonde ". Nous justifions nos équations à partir du modèle primitif et montrons un résultat d'existence locale de solution. Puis nous proposons un schéma volumes finis et des simulations numériques. Nous étudions ensuite un problème hyperbolique de relaxation, inspiré de la théorie cinétique des gaz. Nous construisons un schéma numérique via une stratégie préservant l'asymptotique : nous montrons sa convergence pour toute valeur du paramètre de relaxation, ainsi que sa consistance avec le problème à l'équilibre local. Des estimations d'erreurs sont établies et des simulations numériques sont présentées. Enfin, nous étudions un problème d'écoulement sanguin dans une artère avec stent, modélisé par un système de Stokes dans un domaine contenant une petite rugosité périodique (géométrie double échelle). Pour éviter une discrétisation coûteuse du domaine rugueux (l'artère stentée), nous formulons un ansatz de développement de la solution type Chapman-Enskog, et obtenons une loi de paroi implicite sur le bord du domaine lisse (artère seule). Nous montrons des estimations d'erreurs et des simulations numériques