Ce travail a pour cadre la diffusion des ondes électromagnétiques par une ou deux interfaces rugueuses séparant des milieux homogènes. Il s'intéresse plus particulièrement aux modèles asymptotiques, qui permettent de résoudre le problème posé de manière rapide, au détriment d'un domaine de validité restreint.<br />Pour le cas simple interface, après un panorama des méthodes existantes, une étude approfondie de l'approximation dite de Kirchhoff est menée pour le cas de la diffraction en réflexion et en transmission par une simple interface. Cette méthode est réduite à l'approximation dite de l'optique géométrique, valide pour des interfaces fortement rugueuses comparativement à la longueur d'onde, pour calculer plus simplement et plus rapidement la puissance diffusée. Le phénomène d'ombrage de la surface, bien connu pour le cas de la réflexion, l'est beaucoup moins pour le cas de la transmission ; c'est pourquoi il est étudié en détail dans cette thèse. <br />Pour le cas double interface, une étude bibliographique des méthodes existantes nous permet de constater l'absence de méthode basée sur l'extension de l'approximation de Kirchhoff au cas de deux interfaces fortement rugueuses. Ainsi, la méthode développée dans cette thèse permet de pallier ce manque. Cette méthode est exposée en supposant que les deux surfaces sont décorrélées, afin de pouvoir obtenir une expression de la puissance diffusée simple à mettre en œuvre. Par comparaison avec une méthode numérique de référence, la méthode développée a été validée dans le cas bidimensionnel. Une application à la détection de nappes de pétrole sur la surface de la mer est présentée, et la méthode est étendue au cas tridimensionnel.

Cette thèse a pour objet l’étude des solutions à l’équation des vagues en régime dit toit rigide lorsque l’amplitude des vagues tend vers zéro. Plus précisément, l’équation des vagues modélise le mouvement d’un fluide à surface libre borné en dessous par un fond fixe. Les équations dépendent de plusieurs paramètres physiques, notamment du rapport epsilon entre l’amplitude des vagues et la profondeur. Le modèle asymptotique toit rigide consiste à changer l’échelle de temps d’un rapport epsilon, puis de faire tendre ce paramètre, et donc l’amplitude des vagues, vers zéro. L’étude mathématique de cette limite correspond à un problème de perturbation singulière d’une équation dispersive. Dans cette thèse, on commence par utiliser des outils de résolution d’équations aux dérivées partielles de type hyperbolique pour démontrer un résultat d’existence locale pour l’équation des vagues en temps long. Ceci est suivi par un résultat de dispersion sur l’équation des vagues, utilisant des techniques de type phase stationnaire et décomposition de Paley-Littlewood pour l’étude des intégrales oscillantes. Enfin, la dernière partie de la thèse utilise les résultats obtenus ci-dessus pour étudier un défaut de compacité dans la convergence faible (mais non forte) des solutions de l’équation des vagues lorsque l’amplitude tend vers 0. / In this thesis, we study the behavior of the solutions of the Water-Waves equations in the rigid lid regime as the amplitude of the waves goes to zero. More precisely, the Water-Waves equations investigate the dynamic of a free surface fluid, bounded from below by a fixed bottom. The equations depends on many physical parameters, as the ratio epsilon between the wave amplitude and the deepness of the water. The rigid lid model consists in scaling the time by an epsilon factor and taking the limit epsilon goes to zero, simulating a situation where the amplitude of the waves goes to zero. The mathematical study of this limit correspond to a singular perturbation problem of a dispersive equation. In this thesis, we first use classical tools of hyperbolics equations to prove a long time existence result for the Water-Waves equations. We then prove a dispersion result for these equations, using stationary phase methods and Paley-Littlewood decomposition. We then combine these results to highlight the lack of compactness in the weak (but non strong) convergence of the solutions of the Water-Waves equations as the amplitude goes to zero.

Ce mémoire est composé de deux parties indépendantes. Si les deux sujets traités sont de nature différente, l'étude asymptotique du problème est à chaque fois au centre de la réflexion. Dans la première partie, nous nous intéressons au comportement d'un système composé de deux fluides non miscibles, soumis à la seule force de gravité. Un tel système est utilisé en océanographie, afin de modéliser une étendue d'eau de densité variable. On commence par écrire sous forme agréable les équations d'évolution gouvernant le système. Ensuite, on développe une panoplie de modèles asymptotiques, dans les régimes d'eau peu profonde - où l'on suppose que la profondeur des couches de fluide est petite devant la longueur d'onde caractéristique à l'interface - et d'ondes longues - où l'on ajoute une hypothèse de petitesse des déformations à la surface et à l'interface. Ces modèles sont rigoureusement justifiés, par des résultats de cohérence ou de convergence. Finalement, on s'intéresse particulièrement au phénomène d'eaux mortes, qui se manifeste par une forte résistance à l'avancement subie par un corps naviguant dans des eaux stratifiées. Cette résistance est une conséquence de l'énergie dépensée par le corps pour générer une onde à l'interface entre les deux couches de fluide. Là encore, des modèles asymptotiques sont construits, justifiés rigoureusement et simulés numériquement. Une telle étude nous permet de prédire dans quelles situations le phénomène d'eaux mortes se manifeste. La deuxième partie est dédiée à l'étude de la propagation des ondes dans un milieu non-homogène. La motivation de cette étude se situe dans les cristaux photoniques, dont les propriétés de structure se répercutent sur la propagation des rayons lumineux. Plus particulièrement, nous nous intéressons à l'influence de la présence de défauts dans le matériau, modélisés par des singularités et/ou des discontinuités dans la microstructure. On montre que ces interfaces ont un effet prédominant sur les propriétés asymptotiques du matériau - notamment le coefficient de transmission - lorsque la longueur caractéristique de la microstructure tend vers zéro.

Dans ce travail nous nous intéressons aux comportement de vagues soumises à l’action d’une pression atmosphérique non constante, un fond mobile et la force de Coriolis. Une première partie est dédiée à l’étude de la résonance de Proudman. Nous proposons une approche mathématique rigoureuse pour étudier ce phénomène. Nous commençons par démontrer un résultat d’existence locale dans un cadre irrotationnel sur les équations des vagues (appelées aussi formulation de Zakharov/Craig-Sulem). Puis, nous justifions différents modèles asymptotiques pour généraliser cette résonance dans diverses situations physiques. Nous proposons en particulier une étude détaillée dans des eaux profondes dans un régime linéaire. Nous étudions aussi la propagation de vagues dans des eaux profondes dans un régime faiblement non-linéaire grâce aux équations de Saut-Xu et nous proposons un schéma numérique pour résoudre ces équations. Dans une deuxième partie, nous étudions l’effet de la force de Coriolis sur les vagues. Nous démontrons un résultat d’existence locale sur les équations Castro-Lannes, équations qui généralisent la formulation de Zakharov/Craig-Sulem dans un cadre rotationnel. Nous justifions ensuite différents modèles asymptotiques dans des eaux peu profondes en présence de la force de Coriolis. En particulier, nous proposons une généralisation des équations de Boussinesq (modèle asymptotique dans un régime faiblement linéaire) lorsque la force de Coriolis n’est pas négligeable. Ces équations nous permettent ensuite de justifier mathématiquement les ondes de Poincaré puis l’équation d’Ostrovsky qui généralise l’équation de Korteweg-De-Vries en présence de la force de Coriolis. / In this work, we are interested in the evolution of water waves under the influence of a non constant atmospheric pressure, a moving bottom and a Coriolis forcing. In a first part, we study the Proudman resonance. We propose a mathematical approach to understand this phenomenon. First, we prove a local wellposedness result in a irrotational framework on the water waves equations (also called the Zakharov/Craig-Sulem formulation). Then, we fully justify different asymptotic models. In particular, we carefully study the Proudman resonance in deep water in the linear regime. Finally, we study the propagation of water waves in a weakly nonlinear regime thanks to the Saut-Xu equations and we propose a numerical scheme in order to solve these equations. In a second part, we study the influence of a Coriolis forcing on water waves. We prove a local wellposedness result on the Castro-Lannes equations, which generalize the Zakharov/Craig-Sulem formulation in the rotational framework. Then, we fully justify different asymptotic models when we take into account a Coriolis forcing. In particular, we generalize the Boussinesq equations (asymptotic model in a weakly nonlinear regime) in this setting. Thanks to these equations, we justify the Poincaré waves and then the Ostrovsky equation, which generalize the Korteweg-De- Vries equation when a Coriolis forcing is taking into account.

L'objectif principal de cette thèse est de proposer et de tester quelques méthodes de l'optimisation de forme afin d'identifier et de reconstruire des dépôts qui couvrent la paroi extérieure d'un tube conducteur dans un générateur de vapeurs en utilisant des signaux courant de Foucault. Ce problème est motivé par des applications industrielles en contrôle non-destructive dans le secteur de l'énergie nucléaire. En fait, des dépôts peuvent obstruer le passage de circuit de refroidissement entre les tubes et les plaques entretoises qui les soutiennent, ce qui entraînerait une baisse de productivité et mettrait la structure en danger. On considère dans un premier temps un cas axisymétrique dans le cadre duquel on construit un modèle 2-D par des équations aux dérivées partielles pour le courant de Foucault, ce qui nous permet ensuite de reproduire des mesures d'impédances qui correspondent en réalité les signaux courants de Foucault. Pour réduire le coût de calculs de la simulation numérique, on tronque le domaine du problème en posant des conditions aux bords artificielles basées sur des études sur le comportement de la solution, notamment sur un calcul semi-analytique de l'opérateur Dirichlet-to-Neumann dans la direction axiale. Pour la partie identification et reconstruction, on distingue deux sortes de dépôts et établit pour chacun une méthode d'inversion spécifique. Le premier cas concernent des dépôts dont la conductivité est relativement faible (d'environs 1.e4 S/m). On utilise la méthode d'optimisation de forme qui consiste à exprimer explicitement la dérivée des mesures d'impédance par rapport au domaine du dépôt en fonction d'une déformation et à représenter le gradient d'un fonctionnel de coût à minimiser par l'intermédiaire d'un état adjoint proprement défini. Motivée par la présence des dépôts et des plaques de maintient non-axisymétriques, on fait aussi une extension en 3-D des méthodes précédentes. Pour le deuxième cas, des dépôts sont fortement conducteurs et sous forme de couche mince d'une épaisseur de l'ordre de micron. La méthode adaptée à la première sorte de dépôts devient ici trop coûteuse à cause du degré de liberté très élevé des éléments finis sur un maillage extrêmement raffiné à l'échelle de la couche mince. Pour relever cette difficulté, les études sont portées sur plusieurs modèles asymptotiques qui remplace la couche mince par des conditions d'interface sur la surface du tube portante du dépôt. Le nom de modèle asymptotique vient du fait que les conditions d'interface effectives sont obtenues par le développement asymptotique de la solution en fonction d'un paramètre caractérisant la conductivité et l'épaisseur de la couche mince. La validation numérique a permis de retenir un modèle asymptotique qui est à la fois suffisamment précis et simple à inverser. L'inversion (recherche de l'épaisseur du dépôt) consiste alors à rechercher des paramètres dans les conditions d'interface (non standard). Pour les deux cas, la validation et des exemples numériques sont proposés pour le modèle direct et l'inversion.

Dans ce manuscrit, nous nous inéressons à l'étude du mouvement des vagues soumises uniquement à leur poids par le biais d'équations asymptotiques. Nous commençons par rappeler la dérivation des principaux modèles généralement utilisés (Boussinesq, Green-Naghdi,...). Nous introduisons également un nouveau modèle exprimé en amplitude-flux qui correspond à une variante des équations de Nwogu. Dans le second chapitre, nous démontrons un résultat d'existence en temps long pour ces nouvelles équations et nous étudions l'existence d'ondes solitaires pour les équations de Boussinesq. Ce travail permet notamment de calculer avec une grande précision ces solutions exactes. Le troisième chapitre détaille les différences non linéaires que l'on retrouve entre les différentes équations de Boussinesq (modèles en flux-amplitude comparés aux modèles en vitesse-amplitude). Enfin, les deux derniers chapitres introduisent un nouveau paradigme pour trouver des schémas numériques adaptés aux modèles asymptotiques. L'idée est d'appliquer une analyse asymptotique aux équations d'Euler discrétisées. Ce nouveau paradigme est appliqué aux équations de Peregrine, de Nwogu et de Green-Naghdi. Plusieurs cas tests sont proposés dans ces deux chapitres. / In this work, we are interested in the evolution of water waves under the gravity force using asymptotics models. We start by recalling the derivation of most used models (Boussinesq, Green-Naghdi,...) and we introduce a new model expressed amplitude-flux, which is an alternative version of the Nwogu equations. In the second chapter, we prove a long time existence result for the new model and we investigate the existence of solitary waves for the Boussinesq models. This work allow us to compute these solutions with a good precision. The third chapter highlights the nonlinear differences between the Boussinesq equations (amplitude-flux models versus amplitude-velocity models). Finally, the two last chapter introduce a new paradigm in order to find numerical schemes adapted to asymptotics models. The idea is to apply an asymptotic analysis to a discretized Euler system. This new paradigm is applied to Peregrine equations, Nwogu equations and Green-Naghdi equations. Test cases are presented in these two chapters

Dans ce manuscrit, nous parlons des matériaux composites à matrice céramiques (CMCs) qui sont envisagés pour intégrer les chambres de combustion de futurs moteurs aéronautiques civils. Pour faire face des conditions extrêmes, ces matériaux possèdent la particularité de s’auto-protéger vis-à-vis de l’oxydation par la formation d’un oxyde passivant qui limite la diffusion des espèces oxydantes au sein des fissures matricielles. Nous modélisons l’écoulement d’un oxyde dans une fissure par l’équation de Navier-Stokes, puis les mettons sous forme non dimensionnelles, et les dérivations de deux types de modèles sont intéressantes : les modèles de Saint-Venant et les modèles de lubrification. Ensuit nous nous engageons à chercher l’existence de solution faible de l’approximation de lubrification d’ordre 4 obtenue précédent dans le cas uni-dimensionnel. Enfin nous précisons la limite entre les équations de Saint-Venant et l’équation de lubrification. / In this work, we are interested in the ceramic matrix composite materials(CMCs) who will be used to integrate the combustion chambers of future civil aeronautical engines. To face extreme conditions, these materials possess the peculiarity to auto-protect itself towards the oxidation by the formation of an oxide passivate which limits the distribution of the oxidizing species within the matrix cracks. We model the flow of an oxide in a crack by the Navier-Stokes equation, then put them under an asymptotic analysis in order to get two types of asymptotic models : models of Saint-Venant (Shallow water model) and lubrication models. Next we are interested in looking for the existence of weak solution to the one-dimensional approximated lubrication equation of order 4 obtained before. Finally we talk about the limit between the Saint-Venant equations and the lubrication equation.

Dans cette thèse, nous considérons le problème d'Euler surface libre sur un domaine à fond non plat, dans le cadre du régime d'ondes longues de faible amplitude. L'objectif est de construire, justifier et comparer de nouveaux modèles asymptotiques pour ce problème, permettant de prendre en compte les effets liés aux variations bathymétriques. En premier lieu, nous construisons rigoureusement deux classes de modèles de Boussinesq symétriques dans le cadre de deux régimes topographiques distincts, celui de faible variations bathymétriques et celui de fortes variations. Dans un second temps, nous retrouvons et discutons dans le cas de faibles variations topographiques l'approximation classique de Korteweg-de Vries, et proposons une nouvelle approximation via l'ajout de termes bathymétriques. Dans une troisième partie, ces deux modèles, ainsi que les modèles de Boussinesq construits dans la première partie, sont simulés numériquement et comparés sur des cas tests de topographie. Enfin, il est présenté une étude numérique des équations de Green-Naghdi, dont le domaine de validité physique est plus étendu, ainsi qu'une comparaison numérique de ce modèle avec les modèles précédents sur des bathymétries spécifiques.