This dissertation studies hyperbolic partial differential equations for Conservation Laws motivated by traffic control problems. New traffic models for multi-directional flow in two dimensions are derived and their properties studied. Control models are proposed where the control variable is a multiplicative term in the flux function. Control models are also proposed for relaxation type systems of hyperbolic PDEs. Existence of optimal control for the case of constant controls is presented. Unbounded and bounded feedback control designs are proposed. These include advective, diffusive, and advective-diffusive controls. Existence result for the bounded advective control is derived. Performance of the relaxation model using bounded advective control is analyzed. Finally simulations using Godunov scheme are performed on unbounded and bounded feedback advective controls. / Ph. D.

Cette thèse a pour objet l’étude des solutions à l’équation des vagues en régime dit toit rigide lorsque l’amplitude des vagues tend vers zéro. Plus précisément, l’équation des vagues modélise le mouvement d’un fluide à surface libre borné en dessous par un fond fixe. Les équations dépendent de plusieurs paramètres physiques, notamment du rapport epsilon entre l’amplitude des vagues et la profondeur. Le modèle asymptotique toit rigide consiste à changer l’échelle de temps d’un rapport epsilon, puis de faire tendre ce paramètre, et donc l’amplitude des vagues, vers zéro. L’étude mathématique de cette limite correspond à un problème de perturbation singulière d’une équation dispersive. Dans cette thèse, on commence par utiliser des outils de résolution d’équations aux dérivées partielles de type hyperbolique pour démontrer un résultat d’existence locale pour l’équation des vagues en temps long. Ceci est suivi par un résultat de dispersion sur l’équation des vagues, utilisant des techniques de type phase stationnaire et décomposition de Paley-Littlewood pour l’étude des intégrales oscillantes. Enfin, la dernière partie de la thèse utilise les résultats obtenus ci-dessus pour étudier un défaut de compacité dans la convergence faible (mais non forte) des solutions de l’équation des vagues lorsque l’amplitude tend vers 0. / In this thesis, we study the behavior of the solutions of the Water-Waves equations in the rigid lid regime as the amplitude of the waves goes to zero. More precisely, the Water-Waves equations investigate the dynamic of a free surface fluid, bounded from below by a fixed bottom. The equations depends on many physical parameters, as the ratio epsilon between the wave amplitude and the deepness of the water. The rigid lid model consists in scaling the time by an epsilon factor and taking the limit epsilon goes to zero, simulating a situation where the amplitude of the waves goes to zero. The mathematical study of this limit correspond to a singular perturbation problem of a dispersive equation. In this thesis, we first use classical tools of hyperbolics equations to prove a long time existence result for the Water-Waves equations. We then prove a dispersion result for these equations, using stationary phase methods and Paley-Littlewood decomposition. We then combine these results to highlight the lack of compactness in the weak (but non strong) convergence of the solutions of the Water-Waves equations as the amplitude goes to zero.

This dissertation addresses the flow control problem in hyperbolic heat transfer mechanisms. It raises in concentrated distributed solar collectors to enhance their production efficiency under the unpredictable variations of the solar energy and the external disturbances. These factors which are either locally measured (the solar irradiance) or inaccessible for measurement (the collectors’ cleanliness) affect the source term of the distributed model and represent a major difficulty for the control design. Moreover, the temperature in the collector can only be measured at the boundaries. In this dissertation, we propose new adaptive control approaches to provide the adequate level of heat while coping with the unpredictable varying disturbances. First, we design model based control strategies for a better efficiency, in terms of accuracy and response time, with a relatively reduced complexity. Second, we enhance the controllers with on-line adaptation laws to continuously update the efficient value of the external conditions. In this study, we approach the control problem using both, the infinite dimensional model (late lumping) and a finite dimensional approximate representation (early lumping). For the early lumping approach, we introduce a new reduced order bilinear approximate model for system analysis and control design. This approximate state representation is then used to derive a nonlinear state feedback resorting to Lyapunov stability theory. To compensate for the external disturbances and the approximation uncertainties, an adaptive controller is developed based on a phenomenological representation of the system dynamics. For the late lumping approach, we propose two PDE based controllers by stabilization of the reference tracking error distributed profile. The control laws are explicitly defined as functions of the available measurement. The first one is obtained using a direct approach for error stabilization while the second one is derived through a nonlinear mapping. Furthermore, we endow the nonlinear controllers with an adaptation law to cope with the unpredictable unmeasured disturbances. The proposed adaptation law is based on a Proportional plus Integral correction feedback. We show that the control objectives with the required performance can be achieved following both approaches, but yet are conditioned with the physical limitations of the system.

A plethora of physical phenomena are modelled by hyperbolic partial differential equations, for which the exact solution is usually not known. Numerical methods are employed to approximate the solution to hyperbolic problems; however, in many cases it is difficult to satisfy certain physical properties while maintaining high order of accuracy. In this thesis, we develop high-order time-stepping methods that are capable of maintaining stability constraints of the solution, when coupled with suitable spatial discretizations. Such methods are called strong stability preserving (SSP) time integrators, and we mainly focus on perturbed methods that use both upwind- and downwind-biased spatial discretizations. Firstly, we introduce a new family of third-order implicit Runge–Kuttas methods with arbitrarily large SSP coefficient. We investigate the stability and accuracy of these methods and we show that they perform well on hyperbolic problems with large CFL numbers. Moreover, we extend the analysis of SSP linear multistep methods to semi-discretized problems for which different terms on the right-hand side of the initial value problem satisfy different forward Euler (or circle) conditions. Optimal perturbed and additive monotonicity-preserving linear multistep methods are studied in the context of such problems. Optimal perturbed methods attain augmented monotonicity-preserving step sizes when the different forward Euler conditions are taken into account. On the other hand, we show that optimal SSP additive methods achieve a monotonicity-preserving step-size restriction no better than that of the corresponding non-additive SSP linear multistep methods. Furthermore, we develop the first SSP linear multistep methods of order two and three with variable step size, and study their optimality. We describe an optimal step-size strategy and demonstrate the effectiveness of these methods on various one- and multi-dimensional problems. Finally, we establish necessary conditions to preserve the total variation of the solution obtained when perturbed methods are applied to boundary value problems. We implement a stable treatment of nonreflecting boundary conditions for hyperbolic problems that allows high order of accuracy and controls spurious wave reflections. Numerical examples with high-order perturbed Runge–Kutta methods reveal that this technique provides a significant improvement in accuracy compared with zero-order extrapolation.

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Dans cette étude on s'intéresse à la dynamique d'une classe de systèmes non-linéaires décrits par des équations aux dérivées partielles (EDP) du type hyperbolique. L'objectif de l'étude est de construire des lois de contrôle par feedback dynamique de la sortie afin de stabiliser le système autour d'un point d'équilibre d'une part, et, d'autre part, de réguler la sortie vers le point de consigne. Nous considérons la classe des systèmes gouvernés par des EDP quasi-linéaires du type hyperbolique à deux variables indépendantes (une variable temporelle et une variable spatiale). Pour le bien-posé du système dynamique non seulement l'état initial mais aussi certaines conditions frontières doivent être prescrites en cohérence avec les EDP. Nous supposons que l'observation et le contrôle sont ponctuels. Autrement dit l'action du contrôle intervient dans le système via les conditions frontières et l'observation est effectuée aux points de la frontière. Notre étude est motivée par l'observation que de nombreux processus physiques sont modélisés par ce type d'équations EDP. Nous citons, par exemple, des processus tels que flux trafique en transport, flux de gaz dans un réseau de pipeline, échangeurs thermiques en génie des procédés, équations de télégraphe dans des lignes de transmission, canaux d'irrigation en génie civil etc. Nous commençons l'étude par une EDP non-linéaire scalaire. Dans ce cas-là nous proposons un correcteur intégral stabilisant qui assure la régulation de la sortie avec l'erreur statique nulle. Nous prouvons la stabilisation locale du système non-linéaire par le correcteur intégral en construisant une fonctionnelle de Lyapunov appropriée. La conception des correcteurs proportionnels et intégraux (PI) que nous proposons est étendue dans un cadre de systèmes de deux EDP. Nous prouvons la stabilisation du système en boucle fermée à l'aide d'une nouvelle fonctionnelle de Lyapunov. La synthèse des correcteurs PI stabilisants se poursuit dans un cadre de réseaux formés d'un nombre fini de systèmes à deux EDP : réseau étoilé et réseau série en cascade. Les contrôles et les observations se trouvent localisés aux différents nœuds de connexion. Pour ces configurations nous présentons un ensemble de correcteurs PI stabilisants qui assurent la régulation vers le point de consigne. Les correcteurs PI que nous concevons sont validés par des simulations numériques à partir des modèles non-linéaires EDP. La contribution de la thèse, par rapport à la littérature existante, consiste en l'élaboration de nouvelles fonctionnelles de Lyapunov pour une classe de systèmes stabilisés par correcteur PI. En effet une grande quantité de résultats ont été obtenus sur la stabilisation des systèmes hyperboliques par feedback statique de la sortie. Toutefois il existe encore peu de résultats sur la stabilisation de ces systèmes par feedback dynamique de la sortie. L'étude de la thèse est consacrée sur l'élaboration des fonctionnelles de Lyapunov permettant d'obtenir des correcteurs PI stabilisants. L'approche de Lyapunov direct que nous avons proposée a pour l'avantage de permettre d'étudier la robustesse des lois de feedback de la sortie PI vis-à-vis de la non-linéarité. Une autre contribution de la thèse consiste en la construction des programmes de Malab permettant d'effectuer des simulations numériques pour la validation des correcteurs conçus. Pour la résolution numérique des EDP hyperboliques nous avons discrétisé nos systèmes par le schéma numérique de Preissmann. Nous avons chaque fois un système d'équations algébriques non-linéaires à résoudre de façon récurrente. L'apport des simulations numériques nous permet de mieux comprendre la méthodologie applicative de la théorie du contrôle en dimension infinie / In this study we are interested in the dynamics of a class of nonlinear systems described by partial differential equations (PDE) of the hyperbolic type. The aim of the study is to construct control laws by dynamic feedback of the output in order to stabilize the system around an equilibrium point on the one hand and to regulate the output to the set-point. We consider the class of systems governed by hyperbolic PDEs with two independent variables (one time variable and one spatial variable). For the well-posed dynamic system not only the initial state but also certain boundary conditions must be prescribed in coherence with the PDEs. We assume that observation and control are punctual. In other words, the action of the control intervenes in the system via the boundary conditions and the observation is carried out at the points of the border. Our study is motivated by the observation that many physical processes are modeled by this type of PDE equations. Examples include processes such as traffic flow in transportation, gas flows in a pipeline network, heat exchangers in process engineering, telegraph equations in transmission lines, civil engineering irrigation channels, to cite but a few.We begin the study with a scalar nonlinear PDE. In this case we propose a stabilizing integral controller which ensures the regulation of the output with zero static error. We prove the local stabilization of the nonlinear system by the integral controller by constructing an appropriate Lyapunov functional. The design of the proportional and integral (PI) controllers that we propose is extended in a framework of two PDE systems. We prove the stabilization of the closed-loop system with a new Lyapunov functional. The synthesis of stabilizing PI controllers is carried out in a framework of networks formed by a finite number of two PDE systems: star network and serial network in cascade. Controls and observations are located at the different connection nodes. For these configurations we present a set of stabilizing PI controllers that regulate the output to the set-point. The PI controllers that we design are validated by numerical simulations from the nonlinear PDE models. The contribution of the thesis compared to the existing literature consists in the development of new Lyapunov functionals for the class of systems looped by a PI controller. Indeed, a large number of results have been obtained from the stabilization of hyperbolic systems by static feedback of the output. However, there are still few results with the stabilization of these systems by the output dynamic feedback. The study of the thesis is devoted to the development of the Lyapunov functional to obtain stabilizing PI controllers. The direct Lyapunov approach that we have proposed has the advantage of allowing to study the robustness of the output dynamic feedback laws in the form of PI controllers with respect to the nonlinearity. Another contribution of the thesis consists of the Malab program construction allowing to carry out numerical simulations for the validation of the conceived controllers. For the numerical resolution of hyperbolic PDEs, we have discretized our systems using the Preissmann numerical scheme. Each time moment we have a system of non-linear algebraic equations to be solved in a recurring way. The contribution of numerical simulations allows us to better understand the application methodology of the infinite dimension control theory

L'attraction d'ondes dans des systèmes contra-propagatifs est un phénomène général, établi initialement en Physique dans le contexte de l'attraction de polarisation entre deux ondes contra-propagatives se propageant dans des fibres optiques. Ce phénomène a été observé expérimentalement, et ses propriétés étudiées via des simulations numériques. Les modèles qui s'y rattachent sont des systèmes hyperboliques d'équations aux dérivées partielles, avec des conditions aux bords dépendant du temps sur un intervalle fini. Le mécanisme sous-jacent peut être expliqué par l'existence de tores singuliers dans les équations stationnaires correspondantes. Le but de cette thèse est d'analyser en détail l'exemple le plus simple dans cette famille de modèles. Nous montrons que la plupart des phénomènes de processus d'attraction d'ondes sont en fait existants dans un modèle linéaire avec intéraction résonnante. Nous établissons l'existence et la régularité des solutions et analysons la relaxation vers la solution stationnaire qui caractérise les propriétés de l'attraction d'ondes. / Wave attraction in counter-propagating waves systems is a general phenomenon that was first established in Physics in the context of the attraction of the polarization between two counter-propagating waves in optical fibers. This phenomenon has been observed experimentally, and its properties were studied through numerical simulations. The models are Hamiltonian hyperbolic systems of partial differential equations, with time-dependent boundary conditions on a finite interval. The underlying mechanism can be traced back to the existence of singular tori in the corresponding stationary equations. In this work we analyze in detail the simplest example in this family of models. We show that most of the phenomena of the wave attraction process are already present in a linear model with resonant interaction. We establish the existence and regularity of the solutions and analyze the relaxation towards a stationary solution that features the wave attraction properties.

L'objectif de cette thèse est de décrire le comportement asymptotique des solutions à données petites du système de Vlasov-Maxwell. En particulier, on s'attachera à étudier tant le champ électromagnétique que le champ de Vlasov par des méthodes de champs de vecteurs, nous permettant ainsi d'éviter toute contrainte de support sur les données initiales. La structure isotrope du système de Vlasov-Maxwell est d'une importance capitale pour compenser le phénomène de résonance causé par les particules approchant la vitesse de propagation du champ électromagnétique. De ce fait, plusieurs parties de ce manuscrit sont dédiées à sa description. Ajoutons également que les méthodes de champs de vecteurs sont connues pour être robustes et s'adapter relativement bien à d'autres situations telles que l'étude des solutions de l'équation des ondes sur un espace-temps courbé. Cette souplesse nous a notamment permis, contrairement aux travaux précédents sur ce sujet, de considérer des plasmas avec des particules sans masse.Notre étude débute par le cas des grandes dimensions d ≥ 4 où les effets dispersifs sont plus importants et permettent ainsi d'obtenir de meilleurs taux de décroissance sur les solutions du système et leurs dérivées. Une nouvelle inégalité de décroissance pour les solutions d'une équation de transport relativiste constitue d'ailleurs un élément central de la démonstration. Afin d'établir un résultat analogue dans le cas où les particules sont sans masse, nous avons dû imposer que le champ de Vlasov s'annule initialement pour les petites vitesses puis nous avons ensuite montré que cette hypothèse était nécessaire. Dans un second temps, nous nous intéressons au cas tridimensionnel avec des particules sans masse, où une étude plus poussée de la structure des équations sera nécessaire afin d'obtenir les taux de décroissance optimaux pour les composantes isotropes du champ électromagnétique, les moyennes en vitesse de la fonction de distribution et leurs dérivées. Nous nous concentrons ensuite sur l'étude du comportement asymptotique des solutions à données petites du système de Vlasov-Maxwell massif en dimension 3. Des difficultés spécifiques nous forcent à modifier les champs de vecteurs utilisés précédemment pour l'équation de transport dans le but de compenser les pires termes d'erreurs des équations commutées. Enfin, on considère le même problème en se restreignant à l'étude des solutions à l'extérieur d'un cône de lumière. Les fortes propriétés de décroissance vérifiées par la moyenne en vitesse de la densité de particules dans cette région nous permettent d'affaiblir les hypothèses sur les données initiales et d'avoir une démonstration considérablement plus simple. / The purpose of this thesis is to study the asymptotic properties of the small data solutions of the Vlasov-Maxwell system using vector field methods for both the electromagnetic field and the particle density. No compact support asumption is required on the initial data. Instead, we make crucial use of the null structure of the equations in order to deal with a resonant phenomenon caused by the particles approaching the speed of propagation of the Maxwell equations. Due to the robustness of vector field methods and contrary to previous works on this topic, we also study plasmas with massless particles.We start by investigating the high dimensional cases d ≥ 4 where dispersive effects allow us to derive strong decay rate on the solutions of the system and their derivatives. For that purpose, we proved a new decay estimate for solutions to massive relativistic transport equations. In order to obtain an analogous result for massless particles, we required the velocity support of the distribution function to be initially bounded away from $0$ and we then proved that this assumption is actually necessary. The second part of this thesis is devoted to the three dimensional massless case, where a stronger understanding of the null structure of the Vlasov-Maxwell system is essential in order to derive the optimal decay rate of the null components of the electromagnetic field, the velocity average of the particle density and their derivatives. We then focus on the asymptotic behavior of the small data solutions of the massive Vlasov-Maxwell system in 3d. Specific problems force us to modify the vector fields used previously to study the Vlasov field in order to compensate the worst error terms in the commuted transport equations. Finally, still for the massive system in 3d, we restrict our study of the solutions to the exterior of a light cone. The strong decay properties satisfied by the velocity average of the particle density in such a region permit us to relax the hypothesis on the initial data and lead to a much simpler proof.