Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Cette thèse a pour objet l’étude des solutions à l’équation des vagues en régime dit toit rigide lorsque l’amplitude des vagues tend vers zéro. Plus précisément, l’équation des vagues modélise le mouvement d’un fluide à surface libre borné en dessous par un fond fixe. Les équations dépendent de plusieurs paramètres physiques, notamment du rapport epsilon entre l’amplitude des vagues et la profondeur. Le modèle asymptotique toit rigide consiste à changer l’échelle de temps d’un rapport epsilon, puis de faire tendre ce paramètre, et donc l’amplitude des vagues, vers zéro. L’étude mathématique de cette limite correspond à un problème de perturbation singulière d’une équation dispersive. Dans cette thèse, on commence par utiliser des outils de résolution d’équations aux dérivées partielles de type hyperbolique pour démontrer un résultat d’existence locale pour l’équation des vagues en temps long. Ceci est suivi par un résultat de dispersion sur l’équation des vagues, utilisant des techniques de type phase stationnaire et décomposition de Paley-Littlewood pour l’étude des intégrales oscillantes. Enfin, la dernière partie de la thèse utilise les résultats obtenus ci-dessus pour étudier un défaut de compacité dans la convergence faible (mais non forte) des solutions de l’équation des vagues lorsque l’amplitude tend vers 0. / In this thesis, we study the behavior of the solutions of the Water-Waves equations in the rigid lid regime as the amplitude of the waves goes to zero. More precisely, the Water-Waves equations investigate the dynamic of a free surface fluid, bounded from below by a fixed bottom. The equations depends on many physical parameters, as the ratio epsilon between the wave amplitude and the deepness of the water. The rigid lid model consists in scaling the time by an epsilon factor and taking the limit epsilon goes to zero, simulating a situation where the amplitude of the waves goes to zero. The mathematical study of this limit correspond to a singular perturbation problem of a dispersive equation. In this thesis, we first use classical tools of hyperbolics equations to prove a long time existence result for the Water-Waves equations. We then prove a dispersion result for these equations, using stationary phase methods and Paley-Littlewood decomposition. We then combine these results to highlight the lack of compactness in the weak (but non strong) convergence of the solutions of the Water-Waves equations as the amplitude goes to zero.

Le travail de ma thèse est basé sur ces 4 points :i) Transport laplacien d'une cellule absorbante :Soit un certain espèce (cellule) de concentration C(x), qui diffuse dans un milieu homogène et isotrope à partir d'une lointaine source localisée sur la frontière fermée $partial Omega_{0}$ vers une interface compact semi-perméable $partial Omega$ (membrane de la "cellule") à laquelle elle disparaisse àun taux d'absorption donné : W>=0. La concentration C (transport laplacien avec un coefficient de diffusion D) satisfaite le problème (P1) (voir la thèse). On s'intéresse à résoudre le problème (P1) en dimension dim = 2; 3 et à calculer les courants local et total à travers les frontières des $partial Omega$ et $partial Omega_{0}$ qui seront utiles pour résoudre le problèmeinverse de localisation. Pour faciliter les calculs et les rendre explicites, on prend $partial Omega$ et $partial Omega_{0}$ avec des formes géométriquement régulières, précisément des boules, en distinguant les deux cas : $Omega$ et $Omega_{0}$ sont concentriques ou non-concentriques. Pour le cas non-concentriques , on utilise la technique de transformation conforme et le développement orthogonal en série de Fourier pour résoudre le problème (P1) en cas bidimensionnel. Tandis que en cas tridimensionnel, on résout le problème (P1) en utilisant le développement orthogonal suivant les fonctions sphériques harmoniques.ii) Problème inverse de localisationOn s'intéresse dans cette partie à résoudre le problème inverse de localisation associé au problème (P1) où les domaines $Omega$ et $Omega_{0}$ sont considérés avec des formes géométriques régulières (précisément des boules) . Ce problème consiste à trouver les conditions de Dirichlet-Neumann sur $partial Omega_{0}$ (courant local, courant total) suffisantes pour déterminer la position de la cellule $partial$ (par rapport à $Omega_{0}$), dont ces conditions sont disponibles par une suite des mesures expérimentales.iii) Problème invesre géomètrique :Dans cette partie on traite un autre type de problème inverse qui consiste à trouver la forme géométrique de la cellule en sachant les conditions de Dirichlet-Neumann au bord extérieur(partial Omega_{0}) qui sont mésurables par une suite d'expérience. Ce type du problème, on l'appelle le problème inverse géométrique. On résout ce problème en utilisant des techniques concernant les fonctions harmoniques et les transformations conformes.iv) Opérateur de Dirichlet-NeumannOn étudie l'opérateur de Dirichlet-Neumann relatif au problème (P1) dans les dimension deux et trois en distinguant les deux cas concentriques et non-concentriques. Ensuite, on montre que cet opérateur de Dirichlet-Neumann engendre certain semi-groupe qu'on l'appelle semi-groupe de Lax. Enfin, on construit ce semi-groupe de Lax associé à cet opérateur en cas tridimensionnel concentriques afin de vérifier que ce semi-groupe admet les mêmes propriétés que celui dans le cas général. / The outline of my thesisi) Let some "species" of concentration C(p), x 2 Rd, diuse stationary in the isotropic bulk from a (distant) source localised on the closed boundary $partial Omega_{0}$ towards a semipermeable compact interface $partial Omega$ of the cell $Omega in Omega_{0}$ where they disappear at a given rate $W >= 0$. Then the steady field of concentrations C satisfy the problem $(P1)$. (see the Thesis). We interest to solve (P1) in Twodimensional and Tridimensional cases and to calculate the local and total flux in order to solving the localisation inverse problem. In order to make easy the calculations, we take $Omega$ and $Omega_{0}$ with a regularly geometricals forms by distinguishing the two cases : Concentrics and non-concentrics case. For the non-cncentrics case, we use the conformal mapping technique for resolving the problem (P1) in the twodimensional case. whereas in the tridimensional case, we use the development according to the spherical harmonics functions.ii) Localisation inverse problemThe aim of the localisation inverse problem is to find the necessary Dirichlet-to-Neumann conditions in order to determine the position of thecell $Omega$, where these conditions are measurable.iii) Geometrical inverse problemOur main results concerns a formal solution of the geometrical inverse problem for the form of absorbing domains. We restrict this study to two dimensions and we study it by the conformal mapping technique and harmonic functions.iv) Dirichlet-to-Neumann operatorWe study the Dirichlet-to-Neumann operatot relative to problem (P1) in the twodimensional and tridimensionnal cases by distinguishing the two cases : Concentrics and non-concentrics case. We prove that the Dirichlet-to-Neumann operator generates some semi-group, we call it the Lax semi-group. Finally we construct this semi group and verify that this demi-group satisfies the generals properties of a operator.

Hydrocarbon production or injection of fluids in the reservoir can produce changes in the rock stresses and in-situ geomechanics, potentially leading to compaction and subsidence with harmful effects in wells, cap-rock, faults, and the surrounding environment as well. In order to tackle these changes and their impact, accurate simulations are essential. The Mortar Finite Element Method (MFEM) has been demonstrated to be a powerful technique in order to formulate a weak continuity condition at the interface of sub-domains in which different meshes, i.e. non-conforming or hybrid, and / or variational approximations are used. This is particularly suitable when coupling different physics on different domains, such as elasticity and poroelasticity, in the context of coupled flow and geomechanics. In this dissertation, popular Domain Decomposition Methods (DDM) are implemented in order to carry large simulations by taking full advantage of current parallel computer architectures. Different solution schemes can be defined depending upon the way information is exchanged between sub-domain interfaces. Three different schemes, i.e. Dirichlet-Neumann (DN), Neumann-Neumann (NN) and MFEM, are tested and the advantages and disadvantages of each of them are identified. As a first contribution, the MFEM is extended to deal with curve interfaces represented by Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS) curves and surfaces. The goal is to have a more robust geometrical representation for mortar spaces, which allows gluing non-conforming interfaces on realistic geometries. The resulting mortar saddle-point problem will be decoupled by means of the DN- and NN-DDM. Additionally, a reservoir geometry reconstruction procedure based on NURBS surfaces is presented as well. The technique builds a robust piecewise continuous geometrical representation that can be exploited by MFEM in order to tackle realistic problems, which is a second contribution. Tensor product meshes are usually propagated from the reservoir in a conforming way into its surroundings, which makes non-matching interfaces highly attractive in this case. In the context of reservoir compaction and subsidence estimation, it is common to deal with serial legacy codes for flow. Indeed, major reservoir simulators such as compositional codes lack parallelism. Another issue is the fact that, generally speaking, flow and mechanics domains are different. To overcome this limitation, a serial-parallel approach is proposed in order to couple serial flow codes with our parallel mechanics code by means of iterative coupling. Concrete results in loosely coupling are presented as a third contribution. As a final contribution, the DN-DDM is applied to couple elasticity and plasticity, which seems very promising in order to speed up computations involving poroplasticity. Several examples of coupling of elasticity, poroelasticity, and plasticity ranging from near-wellbore applications to field level subsidence computations help to show that the proposed methodology can handle problems of practical interest. In order to facilitate the implementation of complex workflows, an advanced Python wrapper interface that allows programming capabilities have been implemented. The proposed serial-parallel approach seems to be appropriate to handle geomechanical problems involving different meshes for flow and mechanics as well as coupling parallel mechanistic codes with legacy flow simulators. / text

Nous considérons le cas d'un corps faiblement élastique dont une partie de la frontière est encastrée. Notre problème est de déterminer un contrôle sur la partie de la frontière laissée libre (non-encastrée), de telle sorte que le système, quelque soit son état d'origine, s'amortisse le plus rapidement possible.<br /><br />En d'autres termes, nous considérons un système élastodynamique, amorti au moyen d'une rétroaction définie par une condition de type Neumann sur une partie de la frontière, l'autre partie de la frontière étant munie des conditions de Dirichlet homogène. Nous obtenons des résultats de stabilisation frontière linéaire et non-linéaire, ainsi qu'un résultat de contrôlabilité. Nous démontrons pour cela des relations ad-hoc, dites de Rellich, puis nous utilisons la méthode des multiplicateurs.<br /><br />L'originalité de ce travail réside dans la présence d'une interface entre la partie Dirichlet et la partie Neumann, qui génère des singularités.

Nous nous intéressons à certains problèmes théoriques posés par la modélisation du poumon humain comme arbre bronchique plongé dans le parenchyme pulmonaire. L'arbre bronchique est représenté par un arbre dyadique résistif à 23 générations dans lequel un écoulement de Stokes a lieu. La loi de Poiseuille relie ainsi le débit dans chaque bronche au saut de pression à ses extrémités. Cet arbre est ensuite plongé dans un milieu visco-élastique modélisant le parenchyme. Le processus de ventilation est alors assuré par des pressions négatives, dues à une contraction du diaphragme, au niveau des alvéoles permettant l'inspiration. La première partie est consacrée à l'introduction d'un modèle d'arbre infini obtenu en faisant tendre le nombre de générations vers l'infini. Des théorèmes de trace permettent alors de modéliser le processus de ventilation comme un opérateur Dirichlet-Neumann, qui associe au champ de pression sur l'ensemble des bouts de l'arbre infini le continuum de débit sortant. La seconde partie est dédiée à l'étude de modèles du parenchyme pulmonaire. La complexité du parenchyme, milieu visco-élastique, provient de la présence de l'arbre qui relie toutes les alvéoles entre elles. Des phénomènes de dissipation non locaux sont ainsi observés dus aux couplage de toutes les sorties. Nous étudions tout d'abord un modèle monodimensionnel du parenchyme mettant en jeu une équation de type onde avec des effets non locaux. En particulier nous détaillons l'étude du comportement en temps long. Enfin, nous proposon l'ébauche d'un modèle du parenchyme en dimension supérieure prenant en compte à la fois le caractère élastique du tissu ainsi que la présence de l'arbre résistif.

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:24Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 947145 bytes, checksum: 7294f81daf663930a60afca1aecbee7b (MD5) Previous issue date: 2010-07-22 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this work we talk about properties of the Dirichlet-to-Neumann map for the conductivity equation in a smooth manifold with boundary of R2. We use several times the Maximum Principle to conclude a Alternating Property of the Dirichlet-to- Neumann map. Using this property, we and that the Kernel satises a given set of inequalities. Finally, we note that these inequalities imply the Alternating Property of the Kernel of the Dirichlet-to-Neumann map. / Neste trabalho dissertamos sobre Propriedades do Funcional de Dirichlet-Neumann para uma equação de condutividade numa variedade diferenciavel bidimensional com bordo. Utilizamos varias vezes o Principio do Maximo para concluir que esse Funcional tem uma Propriedade Alternada. A partir dessa propriedade, verificamos que o Nucleo do Funcional satisfaz um conjunto especifico de desigualdades. Porém, verificamos que essas desigualdades implicam na Propriedade Alternada do Nucleo do Funcional.

Dans cette thèse, nous considérons le problème d'Euler surface libre sur un domaine à fond non plat, dans le cadre du régime d'ondes longues de faible amplitude. L'objectif est de construire, justifier et comparer de nouveaux modèles asymptotiques pour ce problème, permettant de prendre en compte les effets liés aux variations bathymétriques. En premier lieu, nous construisons rigoureusement deux classes de modèles de Boussinesq symétriques dans le cadre de deux régimes topographiques distincts, celui de faible variations bathymétriques et celui de fortes variations. Dans un second temps, nous retrouvons et discutons dans le cas de faibles variations topographiques l'approximation classique de Korteweg-de Vries, et proposons une nouvelle approximation via l'ajout de termes bathymétriques. Dans une troisième partie, ces deux modèles, ainsi que les modèles de Boussinesq construits dans la première partie, sont simulés numériquement et comparés sur des cas tests de topographie. Enfin, il est présenté une étude numérique des équations de Green-Naghdi, dont le domaine de validité physique est plus étendu, ainsi qu'une comparaison numérique de ce modèle avec les modèles précédents sur des bathymétries spécifiques.

L'objectif premier de cette thèse est le développement d'une approche théorique des divers phénomènes de transport laplacien aux interfaces irrégulières: diffusion stationnaire à travers des membranes semi-perméables, transport électrique vers une électrode non bloquante dans un électrolyte, catalyse hétérogène sur une surface catalytique. L'influence de l'irrégularité géométrique, qui joue un rôle primordial dans ces phénomènes, peut être intégralement prise en compte à l'aide d'un opérateur purement mathématique, dit opérateur de Dirichlet-Neumann. Ses propriétés spectrales déterminent complètement la réponse linéaire d'un système considéré. Une étude numérique approfondie des différents aspects du transport laplacien aux interfaces irrégulières, modélisées ici par des frontières de Von Koch déterministes ou stochastiques, a apporté de nombreux résultats dont les plus importants sont: mise en évidence de la très faible proportion de modes propres de l'opérateur de Dirichlet-Neumann contribuant à l'impédance de la frontière, interprétation des valeurs propres de cet opérateur comme inverses des longueurs caractéristiques de l'interface, déduction d'un modèle analytique de l'impédance. En particulier, le modèle mathématique développé, qui exploite la hiérarchie des échelles caractéristiques, permet d'étudier des préfractales d'ordre très élevé. L'étude numérique de la mesure harmonique, dont la densité représente les probabilités de premier contact (analogue du courant primaire en électrochimie), a d'ailleurs permis de mettre au point une méthode de marches aléatoires rapides adaptées aux frontières de Von Koch considérées et de déterminer les dimensions multifractales avec une très bonne précision. Enfin, l'étude expérimentale avec une électrode de Von Koch a montré que cette approche théorique permet de prendre en compte l'irrégularité géométrique sans connaître le mécanisme de transport microscopique, ce qui ouvre toute une nouvelle branche d'applications possibles en électrochimie ou dans d'autres domaines.