Cette thèse étudie les aspects mathématiques et numériques de phénomènes d'ondes dans les plasmas magnétiques. La réflectométrie, une technique de sonde des plasmas de fusion, est modélisée par les équations de Maxwell. Le tenseur de permittivité présente dans ce modèle des valeurs propres ainsi que des termes diagonaux qui s'annulent. La relation de dispersion met en évidence deux phénomènes cruciaux : coupures et résonances, lorsque le nombre d'onde s'annule ou tend vers l'infini. La partie I rassemble les résultats numériques. La grande nouveauté réside dans la définition d'une solution résonante. En effet, à cause des coefficients s'annulant continument en changeant de signe, la solution peut être singulière, i.e. avoir une composante non intégrable. Cependant, grâce au principe d'absorption limite, une solution résonante est explicitement définie comme la limite de solutions intégrables du problème régularisé. L'expression théorique de la singularité est validée par des tests numériques du passage à la limite. La partie II concerne l'approximation numérique. Elle comprend la mise en place d'une nouvelle méthode numérique adaptée aux coefficients réguliers. Celle-ci est basée sur la formulation variationnelle Ultra Faible mais nécessite des fonctions de base spécifiques, construites comme approximations locales du problème adjoint. L'analyse de convergence est effectuée en dimension un, en dimension deux la construction des fonctions de base et leur propriété d'interpolation sont détaillées. La méthode d'ordre élevé obtenue permet de simuler le phénomène de coupure tandis que simuler le phénomène de résonance en dimension deux reste un défi.

The issue of establishing the status of nonlinear elasticity theory for rubber with respect to the point of view of polymer physics is at the heart of this manuscript. Our aim is to develop mathematical methods to describe, understand, and solve this multiscale problem. At the level of the polymer chains, rubber can be described as a network whose nodes represent the cross-links between the polymer chains. This network can be considered as the realization of some stochastic process. Given the free energy of the polymer network, we'd like to derive a continuum model as the characteristic length of the polymer chains vanishes. In mathematical terms, this process can be viewed as a hydrodynamic limit or as a discrete homogenization, depending on the nature of the free energy of the network. In view of the works by Treloar, by Flory, and by Rubinstein and Colby on polymer physics, and in view of the stochastic nature of the network, stochastic discrete homogenization seems to be the right tool for the analysis. Hence, in order to complete our program we need to understand the stochastic homogenization of discrete systems. Two features make the analysis rich and challenging from a mathematical perspective: the randomness and the nonlinearity of the problem. The achievement of this manuscript is twofold: - a complete and sharp quantitative theory for the approximation of homogenized coefficients in stochastic homogenization of discrete linear elliptic equations; - the first rigorous and global picture on the status of nonlinear elasticity theory with respect to polymer physics, which partially answers the question raised by Ball in his review paper on open problems in elasticity. Although the emphasis of this manuscript is put on discrete models for rubber, and more generally on the homogenization of discrete elliptic equations, we have also extended most of the results to the case of elliptic partial differential equations --- some of the results being even more striking in that case.

Le but de cette thèse est de développer et d’analyser les méthodes Hybrides d’Ordre Élevé (HHO: Hybrid High-Order, en anglais) pour des problèmes d’interfaces. Nous nous intéressons à deux types d’interfaces (i) les interfaces diffuses, et (ii) les interfaces traitées comme frontières internes du domaine computationnel. La première moitié de ce manuscrit est consacrée aux interfaces diffuses, et plus précisément aux célèbres équations de Cahn–Hilliard qui modélisent le processus de séparation de phase par lequel les deux composants d’un fluide binaire se séparent pour former des domaines purs en chaque composant. Dans la deuxième moitié, nous considérons des modèles à dimension hybride pour la simulation d’écoulements de Darcy et de transports passifs en milieu poreux fracturé, dans lequel la fracture est considérée comme un hyperplan (d’où le terme hybride) qui traverse le domaine computationnel. / The purpose of this Ph.D. thesis is to design and analyse Hybrid High-Order (HHO) methods on some interface problems. By interface, we mean (i) diffuse interface, and (ii) interface as an immersed boundary. The first half of this manuscrit is dedicated to diffuse interface, more precisely we consider the so called Cahn–Hilliard problem that models the process of phase separation, by which the two components of a binary fluid spontaneously separate and form domains pure in each component. In the second half, we deal with the interface as an immersed boundary and consider a hybrid dimensional model for the simulation of Darcy flows and passive transport in fractured porous media, in which the fracture is considered as an hyperplane that crosses our domain of interest.

L'idée d'utiliser des bases d'ondelettes dans l'analyse numérique (résolution des équations elliptiques, aux dérivées partielles, intégrales) s'est imposée depuis que ces bases ont fait preuve de leur efficacité dans le traitement du signal. Deux problèmes se posent quant au calcul de la solution dans une base d'ondelettes : - problème 1 : l'étude de la structure de la matrice associée à un noyau K d'un opérateur intégral T dans une base d'ondelettes ; - problème 2 : l'adaptation des techniques de discrétisation de Galerkin aux bases d'ondelettes. Cette thèse contribue à l'étude de ces problèmes par l'introduction d'une nouvelle classe d'opérateurs définis par leur matrice représentative dans une base d'ondelettes et caractérisés par les dérivées fractionnaires de leurs noyaux.

Cette thèse s'inscrit dans le domaine des mathématiques appelé optimisation de formes. Plus précisément, nous étudions ici un problème inverse de type détection à l'aide du calcul de forme et de l'analyse asymptotique : l'objectif est de localiser un objet immergé dans un fluide visqueux, incompressible et stationnaire. Les questions principales qui ont motivé ce travail sont les suivantes : peut-on détecter un objet immergé dans un fluide à partir d'une mesure effectuée à la surface du fluide ? Peut-on reconstruire numériquement cet objet, i.e. approcher sa position et sa forme, à partir de cette mesure ? Peut-on connaître le nombre d'objets présents dans le fluide en utilisant cette mesure ? Pour répondre à ces questions, le problème inverse est analysé comme un problème d'optimisation en minimisant une fonctionnelle coût, la variable étant la forme inconnue. Deux différentes approches sont considérées dans ce travail : l'optimisation géométrique (à l'aide des dérivées de forme et du gradient de forme) et l'optimisation topologique (à l'aide d'un développement asymptotique et du "gradient" topologique). Dans un premier temps, un cadre mathématique est mis en place pour démontrer l'existence des dérivées de forme d'ordre un et deux pour les problèmes de détection d'inclusions. Le problème inverse considéré est ensuite analysé à l'aide de l'optimisation géométrique de forme : un résultat d'identifiabilité est montré, le gradient de forme de plusieurs types de fonctionnelles de forme est caractérisé et l'instabilité de ce problème inverse est enfin démontrée. Ces résultats théoriques sont alors utilisés pour reconstruire numériquement des objets immergés dans un fluide à l'aide d'un algorithme de gradient régularisé par une méthode de projection. Enfin, la localisation de petites inclusions dans un fluide est étudiée à l'aide de l'optimisation topologique pour une fonctionnelle de forme de Kohn-Vogelius. L'expression théorique de la dérivée topologique est finalement utilisée pour déterminer numériquement le nombre et la localisation de petits obstacles immergés dans un fluide à l'aide d'un algorithme de gradient topologique. Les limites effectives de cette approche sont explorées : la pénétration reste faible dans ce problème stationnaire.

The main topic of the thesis are inverse scattering problems of electromagnetic waves from periodic structures. We study first the direct problem and its numerical resolution using volume integral equation methods with a focus on the case of strongly singular integral operators and discontinuous coefficients. In a second investigation of the direct problem we study conditions on the material parameters under which well-posedness is ensured for all positive wave numbers. Such conditions exclude the existence of guided waves. The considered inverse scattering problem is related to shape identification. To treat this class of inverse problems, we investigate the so-called Factorization method as a tool to identify periodic patterns from measured scattered waves. In this thesis, these measurements are always related to plane incident waves. The outline of the thesis is the following: The first chapter is the introduction where we give the state of the art and new results of the topics studied in the thesis. The main content consists of five chapters, divided into two parts. The first part deals with the scalar case where the TM electromagnetic polarization is considered. In the second chapter we present the volume integral equation method with new results on Garding inequalities, convergence theory and numerical validation. The third chapter is devoted to the analysis of the Factorization method for the inverse scalar problem as well as some numerical experiments. The second part is dedicated to the study of 3-D Maxwell's equations. The fourth and fifth chapters are respectively generalizations of the results of the second and third ones to the case of Maxwell's equations. The sixth chapter contains the analysis of uniqueness conditions for the direct scattering problem, that is, absence of guided modes.

This thesis is concerned with the inverse problem of determining a unitary connection $A$ on a Hermitian vector bundle $E$ of rank $m$ over a compact Riemannian manifold $(M, g)$ from the Dirichlet-to-Neumann (DN) map $\Lambda_A$ of the associated connection Laplacian $d_A^*d_A$. The connection is to be determined up to a unitary gauge equivalence equal to the identity at the boundary. In our first approach to the problem, we restrict our attention to conformally transversally anisotropic (cylindrical) manifolds $M \Subset \mathbb{R}\times M_0$. Our strategy can be described as follows: we construct the special Complex Geometric Optics solutions oscillating in the vertical direction, that concentrate near geodesics and use their density in an integral identity to reduce the problem to a suitable $X$-ray transform on $M_0$. The construction is based on our proof of existence of Gaussian Beams on $M_0$, which are a family of smooth approximate solutions to $d_A^*d_Au = 0$ depending on a parameter $\tau \in \mathbb{R}$, bounded in $L^2$ norm and concentrating in measure along geodesics when $\tau \to \infty$, whereas the small remainder (that makes the solution exact) can be shown to exist by using suitable Carleman estimates. In the case $m = 1$, we prove the recovery of the connection given the injectivity of the $X$-ray transform on $0$ and $1$-forms on $M_0$. For $m > 1$ and $M_0$ simple we reduce the problem to a certain two dimensional $\textit{new non-abelian ray transform}$. In our second approach, we assume that the connection $A$ is a $\textit{Yang-Mills connection}$ and no additional assumption on $M$. We construct a global gauge for $A$ (possibly singular at some points) that ties well with the DN map and in which the Yang-Mills equations become elliptic. By using the unique continuation property for elliptic systems and the fact that the singular set is suitably small, we are able to propagate the gauges globally. For the case $m = 1$ we are able to reconstruct the connection, whereas for $m > 1$ we are forced to make the technical assumption that $(M, g)$ is analytic in order to prove the recovery. Finally, in both approaches we are using the vital fact that is proved in this work: $\Lambda_A$ is a pseudodifferential operator of order $1$ acting on sections of $E|_{\partial M}$, whose full symbol determines the full Taylor expansion of $A$ at the boundary.

Cette thèse est constituée de trois parties. Dans la première partie, on s'intéresse au problème de trace au bord d'une solution positive de l'équation de Hamilton-Jacobi (E1) $-\Delta u+g(|\nabla u|)=0$ dans un domaine borné $\Omega$ de ${\mathbb R}^N$, satisfaisant (E2) $u = \mu$ sur $\partial \Omega$. Si $g(r) \geq r^q$ avec $q > 1$, on prouve que toute solution positive de (E1) admet une trace au bord considérée comme une mesure de Borel régulière, pas nécessairement localement bornée. Si $g(r) = r^q$ avec $1 < q < q_c = \frac{N+1}{N}$ , on montre l'existence d'une solution positive dont la trace au bord est une mesure de Borel régulière $\nu \not \equiv \infty$ et on caractérise les singularités frontières isolées de solutions positives. Si $g(r) = r^q$ avec $q_c \leq q < 2$, on établit une condition nécessaire de résolution en terme de capacité de Bessel $C_{\frac{2-q}{q},q'} . On étudie aussi des ensembles éliminables au bord pour des solutions modérées. La deuxième partie est consacrée à étudier la limite, lorsque $k \to \infty$, de solutions d'équation $\partial_t u - \Delta u + f(u) =0$ dans ${\mathbb R}^N \times (0;\infty)$ avec donnée initiale $k\delta_0$ où $0$ est la masse de Dirac concentrée à l'origine et f est une fonction positive, continue, croissante et satisfaisant $f(0) = f^{-1}(0) = 0$. On prouve, sous certaines hypothèses portant sur f, qu'il existe essentiellement trois types de comportement possible en fonction des valeurs finies ou infinies des intégrales $\int_1^\infty f^{-1}(s)ds$ et $\int_1^\infty F^{-1/2}(s)ds$, où $F(s)=\int_0^s f(r)dr$. Grâce à ces résultats, on donne une nouvelle construction de la trace initiale et quelques résultats d'unicité et de non-unicité de solutions dont la donnée initiale n'est pas bornée. Dans la troisième partie, on élargit le cadre de nos investigations et généralise les résultats obtenus dans la deuxième partie au cas où l'opérateur est non-linéaire. En particulier, on s'intéresse à des propriétés qualitatives de solutions positives de l'équation $ \partial_t u-\Delta_p u+f(u)=0$ où $p > 1, \Delta_p u = div(\abs{\nabla u}^{p-2}\nabla u)$ et $f$ est une fonction continue, croissante, positive et satisfaisant $f(0) = 0 = f^{-1}(0)$. Si $p > \frac{2N}{N+1}$, on fournit une condition suffisante portant sur f pour l'existence et l'unicité des solutions fondamentales de données initiales $k\delta_0$ et on étudie la limite, lorsque $k \to \infty$, qui dépend du fait que $f^{-1}$ et $F^{-1/p}$ soient intégrables à l'infini ou pas, où $F(s) =\int_0^s f(r)dr. On donne aussi de nouveaux résultats de non-unicité de solutions avec donnée initiale non bornée. Si $p \geq 2$, on prouve que toute solution positive admet une trace initiale dans la classe de mesures de Borel régulières positives. Finalement on applique les résultats ci-dessus au cas modèle $f(u)=u^\alpha \ln^\beta(u+1)$ avec $\alpha>0$ et $\beta>0$.

Cette thèse présente un ensemble de routines pour la résolution des grands systèmes linéaires creuses sur des architectures parallèles. Les approches proposées s'inscrivent dans un schéma hybride combinant les méthodes directes et itératives à travers l'utilisation des techniques de décomposition de domaine. Dans un tel schéma, le problème initial est divisé en sous-problèmes en effectuant un partitionnement du graphe de la matrice coefficient du système. Les méthodes de Schwarz sont ensuite utilisées comme outils de préconditionnements des méthodes de Krylov basées sur GMRES. Nous nous intéressons tout d'abord au schéma utilisant un préconditionneur de Schwarz multiplicatif. Nous définissons deux niveaux de parallélisme: le premier est associé à GMRES préconditionné sur le système global et le second est utilisé pour résoudre les sous-systèmes à l'aide d'une méthode directe parallèle. Nous montrons que ce découpage permet de garantir une certaine robustesse à la méthode en limitant le nombre total de sous-domaines. De plus, cette approche permet d'utiliser plus efficacement tous les processeurs alloués sur un noeud de calcul. Nous nous intéressons ensuite à la convergence et au parallélisme de GMRES qui est utilisée comme accélerateur global dans l'approche hybride. L'observation générale est que le nombre global d'itérations, et donc le temps de calcul global, augmente avec le nombre de partitions. Pour réduire cet effet, nous proposons plusieurs versions de GMRES basés sur la déflation. Les techniques de déflation proposées utilisent soit un préconditionnement adaptatif soit une base augmentée. Nous montrons l'utilité de ces approches dans leur capacité à limiter l'influence du choix d'une taille de base de Krylov adaptée, et donc à éviter une stagnation de la méthode hybride globale. De plus, elles permettent de réduire considérablement le coût mémoire, le temps de calcul ainsi que le nombre de messages échangés par les différents processeurs. Les performances de ces méthodes sont démontrées numériquement sur des systèmes linéaires de grande taille provenant de plusieurs champs d'application, et principalement de l'optimisation de certains paramètres de conception en dynamique des fluides.

Nous nous intéressons à l'étude d'un problème d'analyse des transferts de chaleur qui modélise une opération de soudage. L'approche que nous considérons ne s'occupe que de la partie solide de la plaque. Elle consiste à résoudre un problème à frontière libre. Pour cela, nous proposons une formulation en optimisation de forme. Le problème d'état est gouverné par un opérateur qui, pour certaines données, n'est pas coercif. Cela complique l'étude de la continuité du problème d'état. Nous surmontons cette difficulté en utilisant le degré topologique de Leray-Shauder, ainsi nous montrons l'existence d'un domaine optimal. Ensuite, nous considérons une discrétisation de ce problème basée sur les éléments finis linéaires. Nous prouvons alors que le problème discret admet une solution et nous montrons qu'une sous-suite des solutions de ce problème convergence vers la solution du problème continu. Enfin, nous présentons des résultats numériques réalisés par deux méthodes : la méthode déterministe basée sur le calcul du gradient de forme, et les algorithmes génétiques combinés avec la logique floue et le calcul parallèle. Ainsi une étude comparative de ces deux méthodes aux niveaux qualitatif et quantitatif a été présentée.