Untersucht wird das Cauchy Problem für degenerierte $p$-Evolutionsgleichungen. Dabei kann für Gleichungen höherer Ordnung in $D_t$, die nur von der Zeit abhängen, gezeigt werden, dass das Problem $H^\\infinity$ korrekt ist. Dafür werden gewisse Bedingungen an die Koeffizienten und deren erste Ableitungen gestellt. $H^\\infinity$ korrekt bedeutet dabei, dass die Anfangsdaten $u_0\\in H^s$, $u_1$ in einem dazugehörigen Sobolevraum und die Lösung bezüglich $x$ in $H^{s-s_0}$ liegen. Eine Notwendigkeit für die Bedingungen kann allerdings nicht gezeigt werden. Auch ist offen, ob der Regularitätsverlust wirklich eintritt. Später wird der Beweis erweitert um das Ergebniss für Koeffizienten zu zeigen, die in gewisser Weise auch vom Ort abhängen können. Im zweiten Teil der Dissertation geht es um Korrektheit für degenerierte $p$-Evolutionsgleichungen mit zeitabhängigen Koeffizienten und zweiter Ordnung in $D_t$. Gefordert werden Bedingungen an die Koeffizienten und die ersten beiden Ableitungen bezüglich der Zeit. Damit wird gezeigt, dass diese in Skalen von Sobolevräumen korrekt gestellt sind. Abschließend wird die Schärfe der Bedingungen und das tatsächliche Auftreten des Regularitätsverlustes in der Lösung bewiesen.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Problem der zufälligen Wärmeausbreitung in beschränkten Gebieten. Dieses Phänomen wird dabei durch eine lineare parabolische Randanfangswertaufabe beschrieben, wobei die Anfangsbedingung und die Neumannrandbedingung als zufällige Felder mit gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung angenommen werden. Des Weiteren werden die zufälligen Felder als homogen und epsilon-korreliert mit einer kleinen Korrelationslänge epsilon > 0 vorausgesetzt und sollen glatte Realisierungen besitzen. Zur Lösung der Randanfangswertaufgabe werden sowohl die klassische Formulierung als auch die Variationsformulierung herangezogen und in diesem Zusammenhang die Fourier Methode sowie die Finite-Elemente Methode betrachtet. Die Finite-Elemente Methode und die Fourier-Methode führen auf einen expliziten funktionalen Zusammenhang zwischen der zufälligen Lösung der betrachteten Randanfangswertaufgabe und den Einflussgrößen, so dass Momentenfunktionen davon abgeleitet werden können. Das Hauptinteresse dieser Arbeit liegt auf der Berechnung dieser Momentenfunktionen, welche durch die gewählten Eigenschaften der stochastischen Einflußgrößen bestimmt werden. Basierend auf dem Finite-Elemente Ansatz bzw. dem Fourier Ansatz werden verschiedene Approximationsmöglichkeiten insbesondere für die Korrelationsfunktion erörtert. Des Weiteren wird die Möglichkeit der Simulation des zufälligen Randanfangswertproblems betrachtet. Hierzu wird zur Simulation der zufälligen Einflussgrößen auf die Theorie von Moving Average Feldern zurückgegriffen. Der letzte Teil der Arbeit widmet sich dem Vergleich der erhaltenen analytischen Resultate anhand konkreter numerischer Beispiele.

The subject of the thesis is the investigation of asymptotic properties of solutions of the Cauchy problem for structurally damped sigma-evolution operators with time dependent, monotonous, dissipation term. An appropriate energy for solutions of the sigma-evolution equations is defined and some estimates for energies of higher order are proved. In the scale invariant case the optimality of these estimates is shown. Further, the influence of properties of the time dependent dissipation on L^p-L^q estimates for the energy with p and q bigger or equal to 2 and from the conjugate line is clarified. Also smoothing properties of the operators under consideration are investigated. The connection between the regularity of the data and the regularity of the solution in terms of L^2 based Gevrey spaces is considered. Finally, L^1-L^1-estimates in the special case delta = sigma/2 and decreasing dissipative coefficient. / Thema der vorliegenden Dissertation ist die Untersuchung asymptotischer Eigenschaften von Lösungen des Cauchy Problems für strukturell gedämpfte sigma-Evolutions-Operatoren mit zeitabhängigem, monotonen Dissipationskoeffizienten. Es wird eine geeignete Energie definiert und für diese Abschätzungen, auf für entsprechende Energien höherer Ordnung gezeigt. Darüber hinaus wird der Einfluss des Dissipationskoeffizienten auf L^p-L^q Abschätzungen auf und entfernt von der konjugierten Linie untersucht. Im skaleninvarianten Fall wird die Schärfe der Abschätzungen bewiesen. Weiterhin wird der Zusammenhang zwischen der Regularität der Daten und der der Lösung in Termen von L^2-basierten Gevrey-Räumen untersucht. Schließlich werden L^1-L^1-Abschätzungen für den Spezialfall delta = sigma/2 und monoton fallenden Dissipationskoeffizienten gezeigt.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Problem der zufälligen Wärmeausbreitung in beschränkten Gebieten. Dieses Phänomen wird dabei durch eine lineare parabolische Randanfangswertaufabe beschrieben, wobei die Anfangsbedingung und die Neumannrandbedingung als zufällige Felder mit gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung angenommen werden. Des Weiteren werden die zufälligen Felder als homogen und epsilon-korreliert mit einer kleinen Korrelationslänge epsilon > 0 vorausgesetzt und sollen glatte Realisierungen besitzen. Zur Lösung der Randanfangswertaufgabe werden sowohl die klassische Formulierung als auch die Variationsformulierung herangezogen und in diesem Zusammenhang die Fourier Methode sowie die Finite-Elemente Methode betrachtet. Die Finite-Elemente Methode und die Fourier-Methode führen auf einen expliziten funktionalen Zusammenhang zwischen der zufälligen Lösung der betrachteten Randanfangswertaufgabe und den Einflussgrößen, so dass Momentenfunktionen davon abgeleitet werden können. Das Hauptinteresse dieser Arbeit liegt auf der Berechnung dieser Momentenfunktionen, welche durch die gewählten Eigenschaften der stochastischen Einflußgrößen bestimmt werden. Basierend auf dem Finite-Elemente Ansatz bzw. dem Fourier Ansatz werden verschiedene Approximationsmöglichkeiten insbesondere für die Korrelationsfunktion erörtert. Des Weiteren wird die Möglichkeit der Simulation des zufälligen Randanfangswertproblems betrachtet. Hierzu wird zur Simulation der zufälligen Einflussgrößen auf die Theorie von Moving Average Feldern zurückgegriffen. Der letzte Teil der Arbeit widmet sich dem Vergleich der erhaltenen analytischen Resultate anhand konkreter numerischer Beispiele.

Following generally accepted axioms and assumptions the authors developed a phenomenological, thermodynamically consistent material model for large anisotropic elastoplastic deformations based on a substructure concept. The material model originally includes a stress relation in rate formulation, evolutional equations for the internal variables modeling the hardening behavior, and the yield condition. Due to the necessary time discretization solving the initial value problem (IVP) this approach is associated with an incremental stress computation. It will be shown that, within this context, the accuracy of stress values essentially deteriorates with increasing load steps. Consequently, the authors substitute the usual stress relation including the symmetric plastic strain tensor of right Cauchy-Green type instead of the stress tensor into the set of unknown constitutive variables. Stresses are explicitly computed from a hyperelastic material law depending on the elastic strain tensor. Furthermore, as an alternative to the plastic strain tensor the solution of the IVP considering an evolutional equation for the plastic part of the deformation gradient has been studied. This procedure simplifies the mathematical structure of the system to be solved as well as the computation of substructure-based variables which are suitable for the analysis of texture development. The presented numerical strategies were implemented into an in-house FE-code. Some examples illustrating their accuracy, stability as well as efficiency are discussed.

Untersucht wird das Cauchy Problem für degenerierte $p$-Evolutionsgleichungen. Dabei kann für Gleichungen höherer Ordnung in $D_t$, die nur von der Zeit abhängen, gezeigt werden, dass das Problem $H^\\infinity$ korrekt ist. Dafür werden gewisse Bedingungen an die Koeffizienten und deren erste Ableitungen gestellt. $H^\\infinity$ korrekt bedeutet dabei, dass die Anfangsdaten $u_0\\in H^s$, $u_1$ in einem dazugehörigen Sobolevraum und die Lösung bezüglich $x$ in $H^{s-s_0}$ liegen. Eine Notwendigkeit für die Bedingungen kann allerdings nicht gezeigt werden. Auch ist offen, ob der Regularitätsverlust wirklich eintritt. Später wird der Beweis erweitert um das Ergebniss für Koeffizienten zu zeigen, die in gewisser Weise auch vom Ort abhängen können. Im zweiten Teil der Dissertation geht es um Korrektheit für degenerierte $p$-Evolutionsgleichungen mit zeitabhängigen Koeffizienten und zweiter Ordnung in $D_t$. Gefordert werden Bedingungen an die Koeffizienten und die ersten beiden Ableitungen bezüglich der Zeit. Damit wird gezeigt, dass diese in Skalen von Sobolevräumen korrekt gestellt sind. Abschließend wird die Schärfe der Bedingungen und das tatsächliche Auftreten des Regularitätsverlustes in der Lösung bewiesen.

The main goal of this thesis is to prove the global (in time) existence of small data Sobolev solutions to semi-linear damped σ-evolution equations from suitable function spaces basing on L^q spaces by mixing additional L^m regularity for the data on the basis of L^q-L^q estimates for solutions, with q∈(1,∞) and m∈[1,q), to the corresponding linear models. To establish desired results, we would like to apply the theory of modified Bessel functions, Faà di Bruno's formula and Mikhlin-Hörmander multiplier theorem in the treatment of linear problems. In addition, some of modern tools from Harmonic Analysis play a fundamental role to investigate results for the global existence of small data Sobolev solutions to semi-linear problems. Finally, the application of a modified test function method is to devote to the proof of blow-up results for semi-linear damped σ-evolution models, where σ≥1 and δ∈[0,σ) are assumed to be any fractional numbers.

Die vorgelegte Dissertation befasst sich mit der Frage unter welchen Bedingungen und in welchen Funktionenräumen hyperbolische Cauchy Probleme korrekt gestellt sind, wenn die Koeffizienten niedrige Regularität haben. Startpunkt der Betrachtungen sind strikt hyperbolische Cauchy Probleme beliebiger Ordnung mit Koeffizienten, die bezüglich der Zeit nicht differenzierbar aber glatt in allen Ortsvariablen sind. Abhängig von der Regularität der Koeffizienten bezüglich der Zeit, wird gezeigt in welchen Räumen Problem dieser Art korrekt gestellt sind. Insbesondere werden Zusammenhänge zwischen der Regularität der Koeffizienten und den Lösungsräumen deutlich. Basierend auf den Erkenntnissen für strikt hyperbolische Cauchy Probleme werden anschließend schwach hyperbolische Cauchy Probleme untersucht. Hier wird eine verallgemeinerte Levi Bedingung eingeführt und gezeigt, welcher Zusammenhang zwischen dem Einfluss der Levi Bedingungen und der niedrigen Regularität der Koeffizienten auf die Lösungsräume besteht. Schließlich wird noch den Fall von strikt hyperbolischen Cauchy Problemen betrachtet, die Koeffizienten mit niedriger Regularität in allen Variablen haben.

We consider a family of variational time discretizations that generalizes discontinuous Galerkin (dG) and continuous Galerkin-Petrov (cGP) methods. In addition to variational conditions the methods also contain collocation conditions in the time mesh points. The single family members are characterized by two parameters that represent the local polynomial ansatz order and the number of non-variational conditions, which is also related to the global temporal regularity of the numerical solution. Moreover, with respect to Dahlquist’s stability problem the variational time discretization (VTD) methods either share their stability properties with the dG or the cGP method and, hence, are at least A-stable. With this thesis, we present the first comprehensive theoretical study of the family of VTD methods in the context of non-stiff and stiff initial value problems as well as, in combination with a finite element method for spatial approximation, in the context of parabolic problems. Here, we mainly focus on the error analysis for the discretizations. More concrete, for initial value problems the pointwise error is bounded, while for parabolic problems we rather derive error estimates in various typical integral-based (semi-)norms. Furthermore, we show superconvergence results in the time mesh points. In addition, some important concepts and key properties of the VTD methods are discussed and often exploited in the error analysis. These include, in particular, the associated quadrature formulas, a beneficial postprocessing, the idea of cascadic interpolation, connections between the different VTD schemes, and connections to other classes of methods (collocation methods, Runge-Kutta-like methods). Numerical experiments for simple academic test examples are used to highlight various properties of the methods and to verify the optimality of the proven convergence orders.:List of Symbols and Abbreviations Introduction I Variational Time Discretization Methods for Initial Value Problems 1 Formulation, Analysis for Non-Stiff Systems, and Further Properties 1.1 Formulation of the methods 1.1.1 Global formulation 1.1.2 Another formulation 1.2 Existence, uniqueness, and error estimates 1.2.1 Unique solvability 1.2.2 Pointwise error estimates 1.2.3 Superconvergence in time mesh points 1.2.4 Numerical results 1.3 Associated quadrature formulas and their advantages 1.3.1 Special quadrature formulas 1.3.2 Postprocessing 1.3.3 Connections to collocation methods 1.3.4 Shortcut to error estimates 1.3.5 Numerical results 1.4 Results for affine linear problems 1.4.1 A slight modification of the method 1.4.2 Postprocessing for the modified method 1.4.3 Interpolation cascade 1.4.4 Derivatives of solutions 1.4.5 Numerical results 2 Error Analysis for Stiff Systems 2.1 Runge-Kutta-like discretization framework 2.1.1 Connection between collocation and Runge-Kutta methods and its extension 2.1.2 A Runge-Kutta-like scheme 2.1.3 Existence and uniqueness 2.1.4 Stability properties 2.2 VTD methods as Runge-Kutta-like discretizations 2.2.1 Block structure of A VTD 2.2.2 Eigenvalue structure of A VTD 2.2.3 Solvability and stability 2.3 (Stiff) Error analysis 2.3.1 Recursion scheme for the global error 2.3.2 Error estimates 2.3.3 Numerical results II Variational Time Discretization Methods for Parabolic Problems 3 Introduction to Parabolic Problems 3.1 Regularity of solutions 3.2 Semi-discretization in space 3.2.1 Reformulation as ode system 3.2.2 Differentiability with respect to time 3.2.3 Error estimates for the semi-discrete approximation 3.3 Full discretization in space and time 3.3.1 Formulation of the methods 3.3.2 Reformulation and solvability 4 Error Analysis for VTD Methods 4.1 Error estimates for the l th derivative 4.1.1 Projection operators 4.1.2 Global L2-error in the H-norm 4.1.3 Global L2-error in the V-norm 4.1.4 Global (locally weighted) L2-error of the time derivative in the H-norm 4.1.5 Pointwise error in the H-norm 4.1.6 Supercloseness and its consequences 4.2 Error estimates in the time (mesh) points 4.2.1 Exploiting the collocation conditions 4.2.2 What about superconvergence!? 4.2.3 Satisfactory order convergence avoiding superconvergence 4.3 Final error estimate 4.4 Numerical results Summary and Outlook Appendix A Miscellaneous Results A.1 Discrete Gronwall inequality A.2 Something about Jacobi-polynomials B Abstract Projection Operators for Banach Space-Valued Functions B.1 Abstract definition and commutation properties B.2 Projection error estimates B.3 Literature references on basics of Banach space-valued functions C Operators for Interpolation and Projection in Time C.1 Interpolation operators C.2 Projection operators C.3 Some commutation properties C.4 Some stability results D Norm Equivalences for Hilbert Space-Valued Polynomials D.1 Norm equivalence used for the cGP-like case D.2 Norm equivalence used for final error estimate Bibliography

The subject of the thesis is the investigation of asymptotic properties of solutions of the Cauchy problem for structurally damped sigma-evolution operators with time dependent, monotonous, dissipation term. An appropriate energy for solutions of the sigma-evolution equations is defined and some estimates for energies of higher order are proved. In the scale invariant case the optimality of these estimates is shown. Further, the influence of properties of the time dependent dissipation on L^p-L^q estimates for the energy with p and q bigger or equal to 2 and from the conjugate line is clarified. Also smoothing properties of the operators under consideration are investigated. The connection between the regularity of the data and the regularity of the solution in terms of L^2 based Gevrey spaces is considered. Finally, L^1-L^1-estimates in the special case delta = sigma/2 and decreasing dissipative coefficient. / Thema der vorliegenden Dissertation ist die Untersuchung asymptotischer Eigenschaften von Lösungen des Cauchy Problems für strukturell gedämpfte sigma-Evolutions-Operatoren mit zeitabhängigem, monotonen Dissipationskoeffizienten. Es wird eine geeignete Energie definiert und für diese Abschätzungen, auf für entsprechende Energien höherer Ordnung gezeigt. Darüber hinaus wird der Einfluss des Dissipationskoeffizienten auf L^p-L^q Abschätzungen auf und entfernt von der konjugierten Linie untersucht. Im skaleninvarianten Fall wird die Schärfe der Abschätzungen bewiesen. Weiterhin wird der Zusammenhang zwischen der Regularität der Daten und der der Lösung in Termen von L^2-basierten Gevrey-Räumen untersucht. Schließlich werden L^1-L^1-Abschätzungen für den Spezialfall delta = sigma/2 und monoton fallenden Dissipationskoeffizienten gezeigt.