Berlin, Techn. Univ., Diss., 2004. / Computerdatei im Fernzugriff.

Techn. Universiẗat, Diss., 2004--Berlin.

This thesis considers a model of a scalar partial differential equation in the presence of a singular source term, modeling the interaction between an inviscid fluid represented by the Burgers equation and an arbitrary, finite amount of particles moving inside the fluid, each one acting as a point-wise drag force with a particle related friction constant. \begin{align*} \partial_t u + \partial_x (u^2/2) &= \sum_{i \in N(t)} \lambda_i \Big(h_i'(t)-u(t,h_i(t)\Big)\delta(x-h_i(t)) \end{align*} The model was introduced for the case of a single particle by Lagoutière, Seguin and Takahashi, is a first step towards a better understanding of interaction between fluids and solids on the level of partial differential equations and has the unique property of considering entropy admissible solutions and the interaction with shockwaves. The model is extended to an arbitrary, finite number of particles and interactions like merging, splitting and crossing of particle paths are considered. The theory of entropy admissibility is revisited for the cases of interfaces and discontinuous flux conservation laws, existing results are summarized and compared, and adapted for regions of particle interactions. To this goal, the theory of germs introduced by Andreianov, Karlsen and Risebro is extended to this case of non-conservative interface coupling. Exact solutions for the Riemann Problem of particles drifting apart are computed and analysis on the behavior of entropy solutions across the particle related interfaces is used to determine physically relevant and consistent behavior for merging and splitting of particles. Well-posedness of entropy solutions to the Cauchy problem is proven, using an explicit construction method, L-infinity bounds, an approximation of the particle paths and compactness arguments to obtain existence of entropy solutions. Uniqueness is shown in the class of weak entropy solutions using almost classical Kruzkov-type analysis and the notion of L1-dissipative germs. Necessary fundamentals of hyperbolic conservation laws, including weak solutions, shocks and rarefaction waves and the Rankine-Hugoniot condition are briefly recapitulated. / Diese Arbeit befasst sich mit dem Modell einer skalaren partiellen Differentialgleichung mit singulärem Quellterm, das die Interaktion zwischen einem reibungsfreiem Fluid, dargestellt durch die Burgers Gleichung, und einer gegebenen, endlichen Menge von sich in dem Fluid bewegenden Partikeln beschreibt, die eine punktweise Zugkraft auf das Fluid auswirken und durch eine entsprechende Reibungskonstante charakterisiert sind. \begin{align*} \partial_t u + \partial_x (u^2/2) &= \sum_{i \in N(t)} \lambda_i \Big(h_i'(t)-u(t,h_i(t)\Big)\delta(x-h_i(t)) \end{align*} Das Modell wurde für den Fall der Interaktion mit einem einzelnen Partikel durch Lagoutière, Seguin and Takahashi eingeführt, stellt einen ersten Schritt zu einem besseren Verständnis der Interaktion zwischen einem Fluid und Festkörpern auf dem Level der partiellen Differentialgleichungen dar und hat die einzigartige Eigenschaft, dass Entropielösungen und die Interaktion mit Schockwellen berücksichtigt werden. Das Modell wird zu einer beliebigen, endlichen Anzahl von Partikeln erweitert und Interaktionen wie das Verschmelzen und Spaltung von Partikeln werden behandelt. Existierende Theorie der Entropie-Zulässigkeit im Hinblick auf Interfaces und Erhaltungsgleichungen mit unstetiger Flussfunktion wird zusammengefasst, die Resultate werden verglichen und für die Regionen mit Partikelinteraktionen angepasst. Zu diesem Zweck wird die Theorie der Germs, eingeführt von Andreianov, Karlsen und Risebro, auf den vorliegenden Fall eines nicht-erhaltenden Interfaces erweitert. Für das Riemann Problem von auseinanderdriftenden Partikeln werden die exakten Lösungen berechnet und eine Analyse des Verhaltens von Entropielösungen über die von den Partikeln erzeugten Interface wird genutzt, um ein physikalisch sinnvolles und mit der Theorie eines einzelnen Partikels konsistentes Verhalten beim Verschmelzen und Spalten von Partikeln herzuleiten. Mit Hilfe einer expliziten Konstruktionsmethode, hergeleiteten L-infinity Beschränkungen, einer Approximation der Partikelpfade und Kompaktheitsargumenten wird gezeigt, dass das entsprechende Cauchy Problem wohlgestellt ist. Eindeutigkeit im Raum der schwachen Entropielösungen wird mit beinahe klassischen Argumenten der Theorie von Kruzkov sowie der Theorie von L1-dissipativen Germs gezeigt. Notwendige Grundlagen zu hyperbolischen Erhaltungsgleichungen, unter anderem die Theorie schwacher Lösungen, Schock- und Verdünnungswellen sowie die Rankine-Hugoniot Bedingung, werden in Grundzügen am Anfang der Arbeit wiederholt.

In this thesis, we are interested in numerically preserving stationary solutions of balance laws. We start by developing finite volume well-balanced schemes for the system of Euler equations and the system of MHD equations with gravitational source term. Since fluid models and kinetic models are related, this leads us to investigate AP schemes for kinetic equations and their ability to preserve stationary solutions. Kinetic models typically have a stiff term, thus AP schemes are needed to capture good solutions of the model. For such kinetic models, equilibrium solutions are reached after large time. Thus we need a new technique to numerically preserve stationary solutions for AP schemes. We find a criterion for SP schemes for kinetic equations which states, that AP schemes under a particular discretization are also SP. In an attempt to mimic our result for kinetic equations in the context of fluid models, for the isentropic Euler equations we developed an AP scheme in the limit of the Mach number going to zero. Our AP scheme is proven to have a SP property under the condition that the pressure is a function of the density and the latter is obtained as a solution of an elliptic equation. The properties of the schemes we developed and its criteria are validated numerically by various test cases from the literature. / In dieser Arbeit interessieren wir uns für numerisch erhaltende stationäre Lösungen von Erhaltungsgleichungen. Wir beginnen mit der Entwicklung von well-balanced Finite-Volumen Verfahren für das System der Euler-Gleichungen und das System der MHD-Gleichungen mit Gravitationsquell term. Da Strömungsmodelle und kinetische Modelle miteinander verwandt sind, untersuchen wir asymptotisch erhaltende (AP) Verfahren für kinetische Gleichungen und ihre Fähigkeit, stationäre Lösungen zu erhalten. Kinetische Modelle haben typischerweise einen steifen Term, so dass AP Verfahren erforderlich sind, um gute Lösungen des Modells zu erhalten. Bei solchen kinetischen Modellen werden Gleichgewichtslösungen erst nach langer Zeit erreicht. Daher benötigen wir eine neue Technik, um stationäre Lösungen für AP Verfahren numerisch zu erhalten. Wir finden ein Kriterium für stationär-erhaltende (SP) Verfahren für kinetische Gleichungen, das besagt, dass AP Verfahren unter einer bestimmten Diskretisierung auch SP sind. In dem Versuch unser Ergebnis für kinetische Gleichungen im Kontext von Strömungsmodellen nachzuahmen, haben wir für die isentropen Euler-Gleichungen ein AP Verfahren für den Grenzwert der Mach-Zahl gegen Null, entwickelt. Unser AP Verfahren hat nachweislich eine SP Eigenschaft unter der Bedingung, dass der Druck eine Funktion der Dichte ist und letztere als Lösung einer elliptischen Gleichung erhalten wird. Die Eigenschaften des von uns entwickelten und seine Kriterien werden anhand verschiedener Testfälle aus der Literatur numerisch validiert. / In this thesis, we are interested in numerically preserving stationary solutions of balance laws. We start by developing finite volume well-balanced schemes for the system of Euler equations and the system of Magnetohydrodynamics (MHD) equations with gravitational source term. Since fluid models and kinetic models are related, this leads us to investigate Asymptotic Preserving (AP) schemes for kinetic equations and their ability to preserve stationary solutions. In an attempt to mimic our result for kinetic equations in the context of fluid models, for the isentropic Euler equations we developed an AP scheme in the limit of the Mach number going to zero. The properties of the schemes we developed and its criteria are validated numerically by various test cases from the literature.

In dieser Arbeit wird eine neue Methode zur Reduktion der Boltzmann-Gleichung auf ein System partieller Differentialgleichungen diskutiert. Nach einer kurzen Einführung in die kinetische Theorie einer Mischung inerter Gase wird ein Überblick in die aus der Literatur bekannten Momentenmethoden gegeben. Der anschließend vorgestellten Kumulantenmethode liegt die Annahme zugrunde, daß durch Stoßprozesse in einem Gas Korrelationen höherer Ordnung schneller abgebaut werden als solche niedrigerer Ordnung. Basierend auf dieser Annahme werden die Bewegungsgleichungen für die Kumulanten und die Produktionsterme der resultierenden Bilanzgleichungen für eine Mischung inerter Maxwell-Gase berechnet. Die Untersuchung der Relaxation zum Gleichgewicht erlaubt den Bezug zu bekannten Modellen der Kontinuumsmechanik und untermauert die Gültigkeit der Annahme für die Begründung des o.g. Ansatzes in diesem Fall. Im zweiten Teil der Arbeit werden die Ergebnisse numerischer Untersuchungen vorgestellt, wobei Simulationen mit verschiedenen Randbedingungen für Couette- und Poiseulle- Strömungen durchgeführt wurden. Es werden verschiedene Eigenschaften von Modellen für verdünnte Gase als auch des Navier-Stokes-Modells beobachtet. Dabei ist jedoch eine sehr starke Abhängigkeit von den angewendeten Randbedingungen festzustellen. Abschließend werden Momentenmethoden als eine besondere Form von Diskretisierungen der Boltzmann-Gleichung nach der Methode der gewichteten Residuen diskutiert, was einen Ausblick auf zukünftige Arbeiten erlaubt.

University, Diss., 2005--Saarbrücken. / Parallelt.: From pixels to regions.

In dieser Arbeit wird eine neue Methode zur Reduktion der Boltzmann-Gleichung auf ein System partieller Differentialgleichungen diskutiert. Nach einer kurzen Einführung in die kinetische Theorie einer Mischung inerter Gase wird ein Überblick in die aus der Literatur bekannten Momentenmethoden gegeben. Der anschließend vorgestellten Kumulantenmethode liegt die Annahme zugrunde, daß durch Stoßprozesse in einem Gas Korrelationen höherer Ordnung schneller abgebaut werden als solche niedrigerer Ordnung. Basierend auf dieser Annahme werden die Bewegungsgleichungen für die Kumulanten und die Produktionsterme der resultierenden Bilanzgleichungen für eine Mischung inerter Maxwell-Gase berechnet. Die Untersuchung der Relaxation zum Gleichgewicht erlaubt den Bezug zu bekannten Modellen der Kontinuumsmechanik und untermauert die Gültigkeit der Annahme für die Begründung des o.g. Ansatzes in diesem Fall. Im zweiten Teil der Arbeit werden die Ergebnisse numerischer Untersuchungen vorgestellt, wobei Simulationen mit verschiedenen Randbedingungen für Couette- und Poiseulle- Strömungen durchgeführt wurden. Es werden verschiedene Eigenschaften von Modellen für verdünnte Gase als auch des Navier-Stokes-Modells beobachtet. Dabei ist jedoch eine sehr starke Abhängigkeit von den angewendeten Randbedingungen festzustellen. Abschließend werden Momentenmethoden als eine besondere Form von Diskretisierungen der Boltzmann-Gleichung nach der Methode der gewichteten Residuen diskutiert, was einen Ausblick auf zukünftige Arbeiten erlaubt.

Die vorgelegte Dissertation befasst sich mit der Frage unter welchen Bedingungen und in welchen Funktionenräumen hyperbolische Cauchy Probleme korrekt gestellt sind, wenn die Koeffizienten niedrige Regularität haben. Startpunkt der Betrachtungen sind strikt hyperbolische Cauchy Probleme beliebiger Ordnung mit Koeffizienten, die bezüglich der Zeit nicht differenzierbar aber glatt in allen Ortsvariablen sind. Abhängig von der Regularität der Koeffizienten bezüglich der Zeit, wird gezeigt in welchen Räumen Problem dieser Art korrekt gestellt sind. Insbesondere werden Zusammenhänge zwischen der Regularität der Koeffizienten und den Lösungsräumen deutlich. Basierend auf den Erkenntnissen für strikt hyperbolische Cauchy Probleme werden anschließend schwach hyperbolische Cauchy Probleme untersucht. Hier wird eine verallgemeinerte Levi Bedingung eingeführt und gezeigt, welcher Zusammenhang zwischen dem Einfluss der Levi Bedingungen und der niedrigen Regularität der Koeffizienten auf die Lösungsräume besteht. Schließlich wird noch den Fall von strikt hyperbolischen Cauchy Problemen betrachtet, die Koeffizienten mit niedriger Regularität in allen Variablen haben.