Berlin, Techn. Univ., Diss., 2004. / Computerdatei im Fernzugriff.

Stuttgart, Univ., Diss., 2004.

Inaug.-diss.--Uppsala. / Bibliographical foot-notes.

Techn. Universiẗat, Diss., 2004--Berlin.

We consider a multi-species gas mixture described by a kinetic model. More precisely, we are interested in models with BGK interaction operators. Several extensions to the standard BGK model are studied. Firstly, we allow the collision frequency to vary not only in time and space but also with the microscopic velocity. In the standard BGK model, the dependence on the microscopic velocity is neglected for reasons of simplicity. We allow for a more physical description by reintroducing this dependence. But even though the structure of the equations remains the same, the so-called target functions in the relaxation term become more sophisticated being defined by a variational procedure. Secondly, we include quantum effects (for constant collision frequencies). This approach influences again the resulting target functions in the relaxation term depending on the respective type of quantum particles. In this thesis, we present a numerical method for simulating such models. We use implicit-explicit time discretizations in order to take care of the stiff relaxation part due to possibly large collision frequencies. The key new ingredient is an implicit solver which minimizes a certain potential function. This procedure mimics the theoretical derivation in the models. We prove that theoretical properties of the model are preserved at the discrete level such as conservation of mass, total momentum and total energy, positivity of distribution functions and a proper entropy behavior. We provide an array of numerical tests illustrating the numerical scheme as well as its usefulness and effectiveness. / Wir betrachten ein Gasgemisch, das aus mehreren Spezies zusammengesetzt ist und durch kinetische Modelle beschrieben werden kann. Dabei interessieren wir uns vor allem für Modelle mit BGK-Wechselwirkungsoperatoren. Verschiedene Erweiterungen des Standard-BGK-Modells werden untersucht. Im ersten Modell nehmen wir eine Abhängigkeit der Stoßfrequenzen von der mikroskopischen Geschwindigkeit hinzu. Im Standard-BGK-Modell wird diese Abhängigkeit aus Gründen der Komplexität vernachlässigt. Wir nähern uns der physikalischen Realität weiter an, indem wir die Abhängigkeit von der mikroskopischen Geschwindigkeit beachten. Die Struktur der Gleichungen bleibt erhalten, allerdings hat dies Auswirkungen auf die sogenannten Zielfunktionen im Relaxationsterm, welche sodann durch einen Variationsansatz definiert werden. Das zweite Modell berücksichtigt Quanteneffekte (für konstante Stoßfrequenzen), was wiederum die Zielfunktionen im Relaxationsterm beeinflusst. Diese unterscheiden sich abhängig von den jeweils betrachteten, quantenmechanischen Teilchentypen. In dieser Doktorarbeit stellen wir numerische Verfahren vor, die auf oben beschriebene Modelle angewandt werden können. Wir legen eine implizite-explizite Zeitdiskretisierung zu Grunde, da die Relaxationsterme für große Stoßfrequenzen steif werden können. Das Kernstück ist ein impliziter Löser, der eine gewisse Potenzialfunktion minimiert. Dieses Vorgehen imitiert die theoretische Herleitung in den Modellen. Wir zeigen, dass die Eigenschaften des Modells auch auf der diskreten Ebene vorliegen. Dies beinhaltet die Massen-, Gesamtimpuls- und Gesamtenergieerhaltung, die Positivität von Verteilungsfunktionen sowie das gewünschte Verhalten der Entropie. Wir führen mehrere numerische Tests durch, die die Eigenschaften, die Nützlichkeit und die Zweckmäßigkeit des numerischen Verfahrens aufzeigen. / Many applications require reliable numerical simulations of realistic set-ups e.g. plasma physics. This book gives a short introduction into kinetic models of gas mixtures describing the time evolution of rarefied gases and plasmas. Recently developed models are presented which extend existing literature by including more physical phenomena. We develop a numerical scheme for these more elaborated equations. The scheme is proven to maintain the physical properties of the models at the discrete level. We show several numerical test cases inspired by physical experiments.

In dieser Arbeit wird eine neue Methode zur Reduktion der Boltzmann-Gleichung auf ein System partieller Differentialgleichungen diskutiert. Nach einer kurzen Einführung in die kinetische Theorie einer Mischung inerter Gase wird ein Überblick in die aus der Literatur bekannten Momentenmethoden gegeben. Der anschließend vorgestellten Kumulantenmethode liegt die Annahme zugrunde, daß durch Stoßprozesse in einem Gas Korrelationen höherer Ordnung schneller abgebaut werden als solche niedrigerer Ordnung. Basierend auf dieser Annahme werden die Bewegungsgleichungen für die Kumulanten und die Produktionsterme der resultierenden Bilanzgleichungen für eine Mischung inerter Maxwell-Gase berechnet. Die Untersuchung der Relaxation zum Gleichgewicht erlaubt den Bezug zu bekannten Modellen der Kontinuumsmechanik und untermauert die Gültigkeit der Annahme für die Begründung des o.g. Ansatzes in diesem Fall. Im zweiten Teil der Arbeit werden die Ergebnisse numerischer Untersuchungen vorgestellt, wobei Simulationen mit verschiedenen Randbedingungen für Couette- und Poiseulle- Strömungen durchgeführt wurden. Es werden verschiedene Eigenschaften von Modellen für verdünnte Gase als auch des Navier-Stokes-Modells beobachtet. Dabei ist jedoch eine sehr starke Abhängigkeit von den angewendeten Randbedingungen festzustellen. Abschließend werden Momentenmethoden als eine besondere Form von Diskretisierungen der Boltzmann-Gleichung nach der Methode der gewichteten Residuen diskutiert, was einen Ausblick auf zukünftige Arbeiten erlaubt.

In dieser Arbeit wird eine neue Methode zur Reduktion der Boltzmann-Gleichung auf ein System partieller Differentialgleichungen diskutiert. Nach einer kurzen Einführung in die kinetische Theorie einer Mischung inerter Gase wird ein Überblick in die aus der Literatur bekannten Momentenmethoden gegeben. Der anschließend vorgestellten Kumulantenmethode liegt die Annahme zugrunde, daß durch Stoßprozesse in einem Gas Korrelationen höherer Ordnung schneller abgebaut werden als solche niedrigerer Ordnung. Basierend auf dieser Annahme werden die Bewegungsgleichungen für die Kumulanten und die Produktionsterme der resultierenden Bilanzgleichungen für eine Mischung inerter Maxwell-Gase berechnet. Die Untersuchung der Relaxation zum Gleichgewicht erlaubt den Bezug zu bekannten Modellen der Kontinuumsmechanik und untermauert die Gültigkeit der Annahme für die Begründung des o.g. Ansatzes in diesem Fall. Im zweiten Teil der Arbeit werden die Ergebnisse numerischer Untersuchungen vorgestellt, wobei Simulationen mit verschiedenen Randbedingungen für Couette- und Poiseulle- Strömungen durchgeführt wurden. Es werden verschiedene Eigenschaften von Modellen für verdünnte Gase als auch des Navier-Stokes-Modells beobachtet. Dabei ist jedoch eine sehr starke Abhängigkeit von den angewendeten Randbedingungen festzustellen. Abschließend werden Momentenmethoden als eine besondere Form von Diskretisierungen der Boltzmann-Gleichung nach der Methode der gewichteten Residuen diskutiert, was einen Ausblick auf zukünftige Arbeiten erlaubt.

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