We study the homotopy classification of elliptic operators on manifolds with singularities and establish necessary and sufficient conditions under which the classification splits into terms corresponding to the principal symbol and the conormal symbol.

Die abgeschlossenen Erweiterungen der sogenannten geometrischen Operatoren (Spin-Dirac, Gauß-Bonnet und Signatur-Operator) auf Mannigfaltigkeiten mit metrischen Hörnern sind Fredholm-Operatoren und ihr Index wurde von Matthias Lesch, Norbert Peyerimhoff und Jochen Brüning berechnet. Es wurde gezeigt, dass die Einschränkungen dieser drei Operatoren auf eine punktierte Umgebung des singulären Punkts unitär äquivalent zu irregulär singulären Operator-wertigen Differentialoperatoren erster Ordnung sind. Die Lösungsoperatoren der dazugehörigen Differentialgleichungen definierten eine Parametrix, mit deren Hilfe die Fredholmeigenschaft bewiesen wurde. In der vorliegenden Doktorarbeit wird eine Klasse von irregulären singulären Differentialoperatoren erster Ordnung, genannt Horn-Operatoren, eingeführt, die die obigen Beispiele verallgemeinern. Es wird bewiesen, dass ein elliptischer Differentialoperator erster Ordnung, dessen Einschränkung auf eine punktierte Umgebung des singulären Punkts unitär äquivalent zu einem Horn-Operator ist, Fredholm ist, und sein Index wird berechnet. Schließlich wird dieser abstrakte Index-Satz auf geometrische Operatoren auf Mannigfaltigkeiten mit "multiply warped product"-Singularitäten angewendet, welche eine wesentliche Verallgemeinerung der metrischen Hörner darstellen. / The closed extensions of geometric operators (Spin-Dirac, Gauss-Bonnet and Signature operator) on a manifold with metric horns are Fredholm operators, and their indices were computed by Matthias Lesch, Norbert Peyerimhoff and Jochen Brüning. It was shown that the restrictions of all three operators to a punctured neighbourhood of the singular point are unitary equivalent to a class of irregular singular operator-valued differential operators of first order. The solution operators of the corresponding differential equations defined a parametrix which was applied to prove the Fredholm property. In this thesis a class of irregular singular differential operators of first order - called horn operators - is introduced that extends the examples mentioned above. It is proved that an elliptic differential operator of first order whose restriction to the neighbourhood of the singular point is unitary equivalent to a horn operator is Fredholm and its index is computed. Finally, this abstract index theorem is applied to compute the indices of geometric operators on manifolds with multiply warped product singularities that extend the notion of metric horns considerably.

En employant des méthodes de la théorie de Chern-Weil, Reznikov produit une condition suffisante qui assure la non-trivialité de la projectivisation \( \mathbb{P}(E) \) d'un fibré vectoriel complexe en tant que fibré Hamiltonien. Dans le contexte de la quantification géométrique, Savelyev et Shelukhin introduisent un nouvel invariant des fibrés Hamiltoniens avec valeurs dans la K-théorie et étendent le résultat de Reznikov. Cet invariant est donné par l'indice d'Atiyah-Singer d'une famille d'opérateurs \( \text{Spin}^{c} \) de Dirac. Dans ce mémoire, on s'intéresse à des fibrés Hamiltoniens résultant d'un produit fibré et d'un produit cartésien d'une collection de fibrés projectifs complexes \( \mathbb{P}(E_1), \cdots, \mathbb{P}(E_r) \). En usant des mêmes méthodes que Shelukhin et Savelyev, on définit une famille d'opérateurs \( \text{Spin}^{c} \) de Dirac qui agissent sur les sections d'un fibré de Dirac canonique à valeurs dans un fibré pré-quantique. L'indice de famille produit un invariant de fibrés Hamiltoniens avec fibres données par un produit d'espaces projectifs complexes et permet de construire des exemples de fibrés Hamiltoniens non-triviaux. / Using methods of Chern-Weil Theory, Reznikov provides a sufficient condition for the non-triviality of the projectivization \( \mathbb{P}(E) \) of a complex vector bundle \( E \) as a Hamiltonian fibration. In the setting of geometric quantization, Savelyev and Shelukhin introduce a new invariant of Hamiltonian fibrations and a K-theoretic lift of Reznikov's result. This invariant is given by the Atiyah-Singer index of a family of \( \text{Spin}^{c} \)-Dirac operators. In this thesis, we consider Hamiltonian fibrations given by the Cartesian product and the fiber product of a collection of complex projective bundles \( \mathbb{P}(E_1), \cdots, \mathbb{P}(E_r) \). Using the same methods as Savelyev and Shelukhin, we define a family of \( \text{Spin}^{c} \)-Dirac operators acting on sections of a canonical Dirac bundle with values in a suitable prequantum fibration. The family index gives then an invariant of Hamiltonian fibrations with fibers given by a product of complex projective spaces and allows to construct examples of non-trivial Hamiltonian fibrations.

Indiana University-Purdue University Indianapolis (IUPUI) / I study d-bar and Dirac operators on classical and quantum domains subject to the APS boundary conditions, APS like boundary conditions, and other types of global boundary conditions. Moreover, the inverse or inverse modulo compact operators to these operators are computed. These inverses/parametrices are also shown to be bounded and are also shown to be compact, if possible. Also the index of some of the d-bar operators are computed when it doesn't have trivial index. Finally a certain type of limit statement can be said between the classical and quantum d-bar operators on specialized complex domains.