Orientador: Claudio Aguinaldo Buzzi / Banca: João Carlos da Rocha Medrado / Banca: Luciana de Fátima Martins / Resumo: Nesse trabalho são apresentados alguns resultados importantes sobre bifurcações de codimensão dois de campos de vetores. O resultado principal dessa dissertação e o teorema que d a o diagrama de bifurcação e os retratos de fase da Bifurcação de Bogdanov-Takens. Para a demonstracão são usadas algumas técnicas basicas de Sistemas Dinâmicos e Teoria das Singularidades, tais como Integrais Abelianas, desdobramentos de Sistemas Hamiltonianos, desdobramentos versais, Teorema de Preparação de Malgrange, entre outros. Outra importante bifurcação clássica apresentada e a Bifurca cão do tipo Hopf-Zero, quando a matriz Jacobiana possui um autovalor simples nulo e um par de autovalores imagin arios puros. Foram usadas algumas hipóteses que garantem propriedades de simetria do sistema, dentre elas, assumiuse que o sistema era revers vel. Assim como na Bifurcação de Bogdanov-Takens, foram apresentados o diagrama de bifurcao e os retratos de fase da Bifurcação Hopf-zero bifurcação reversível. As técnicas usadas para esse estudo foram a forma normal de Belitskii e o método do Blow-up polar. / Abstract: In this work is presented some important results about codimension two bifurcations of vector elds. The main result of this work is the theorem that gives the local bifurcation diagram and the phase portraits of the Bogdanov-Takens bifurcation. In order to give the proof, some classic tools in Dynamical System and Singularities Theory are used, such as Abelian Integral, versal deformation, Hamiltonian Systems, Malgrange Preparation Theorem, etc. Another classic bifurcation phenomena, known as the Hopf-Zero bifurcation, when the Jacobian matrix has a simple zero and a pair of purely imaginary eigenvalues, is presented. In here, is added the hypothesis that the system is reversible, which gives some symmetry in the problem. Like in Bogdanov-Takens bifurcation, the bifurcation diagram and the local phase portraits of the reversible Hopf-zero bifurcation were presented. The main techniques used are the Belitskii theory to nd a normal forms and the polar Blow-up method. / Mestre

Nesta dissertação de mestrado o problema da estabilidade de geodésicas do tipo luz e do tipo tempo é estudado sobre o ponto de vista do formalismo de sistemas dinâmicos. Uma breve revisão bibliográfica sobre aspectos importantes de sistemas dinâmicos contínuos no tempo é realizada, bem como uma sucinta revisão de tópicos de interesse em relatividade geral. As equações de movimento para as geodésicas são deduzidas para geometrias com simetria esférica, e o caso Schwarzschild é inicialmente analisado. Em seguida, analisamos o caso das geometrias proposta por Casadio, Fabbri e Mazzacurati e um caso de buraco de minhoca assintoticamente de Sitter. A caracterização dos pontos fixos dos sistemas de interesse é feita, e a sua estabilidade é analisada sob a ótica dos métodos de Lyapunov e Jacobi, assim como bifurcações foram mapeadas. A fotosfera é caracterizada como um ciclo limite, sendo um ponto fixo estritamente instável no espaço de estados de buracos negros. A análise dos buracos de minhoca revelam a existência de uma fotosfera estável em determinadas regiões do espaço de parâmetros do sistema / In this dissertation, the problem associated with the stability of timelike and null geodesics is studied from the dynamical system point of view. A succinct bibliographical review covering important aspects of time-continuous dynamical systems is made, and a short review about some topics of interest of general relativity is also presented. The geodesic equations of motion are shown for geometries with spherical symmetry, and the Schwarzschild case is first analyzed. In the following, we analyze the geometries proposed by Casadio, Fabbri, and Mazzacurati and an asymptotically de Sitter wormhole case. The characterization of the fixed points of the system is performed, and their stability is studied from the perspective of the Lyapunov and Jacobi methods, as well as the bifurcation analysis. The photon sphere is characterized as a limit cycle, being a strictly unstable fixed point in the state space of the system. The wormhole analysis reveals the existence of a stable photon sphere in certain regions of the parameter space of the system

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:56Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2008-02-29Bitstream added on 2014-06-13T20:55:43Z : No. of bitstreams: 1 arakawa_vat_me_sjrp.pdf: 795168 bytes, checksum: 1ce40af6d71942f94c4c2bb678ce986f (MD5) / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) / Nesse trabalho são apresentados alguns resultados importantes sobre bifurcações de codimensão dois de campos de vetores. O resultado principal dessa dissertação e o teorema que d a o diagrama de bifurcação e os retratos de fase da Bifurcação de Bogdanov-Takens. Para a demonstracão são usadas algumas técnicas basicas de Sistemas Dinâmicos e Teoria das Singularidades, tais como Integrais Abelianas, desdobramentos de Sistemas Hamiltonianos, desdobramentos versais, Teorema de Preparação de Malgrange, entre outros. Outra importante bifurcação clássica apresentada e a Bifurca cão do tipo Hopf-Zero, quando a matriz Jacobiana possui um autovalor simples nulo e um par de autovalores imagin arios puros. Foram usadas algumas hipóteses que garantem propriedades de simetria do sistema, dentre elas, assumiuse que o sistema era revers vel. Assim como na Bifurcação de Bogdanov-Takens, foram apresentados o diagrama de bifurcao e os retratos de fase da Bifurcação Hopf-zero bifurcação reversível. As técnicas usadas para esse estudo foram a forma normal de Belitskii e o método do Blow-up polar. / In this work is presented some important results about codimension two bifurcations of vector elds. The main result of this work is the theorem that gives the local bifurcation diagram and the phase portraits of the Bogdanov-Takens bifurcation. In order to give the proof, some classic tools in Dynamical System and Singularities Theory are used, such as Abelian Integral, versal deformation, Hamiltonian Systems, Malgrange Preparation Theorem, etc. Another classic bifurcation phenomena, known as the Hopf-Zero bifurcation, when the Jacobian matrix has a simple zero and a pair of purely imaginary eigenvalues, is presented. In here, is added the hypothesis that the system is reversible, which gives some symmetry in the problem. Like in Bogdanov-Takens bifurcation, the bifurcation diagram and the local phase portraits of the reversible Hopf-zero bifurcation were presented. The main techniques used are the Belitskii theory to nd a normal forms and the polar Blow-up method.

Submitted by Erika Demachki (erikademachki@gmail.com) on 2015-05-20T18:30:38Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Lucyjane de Almeida Silva - 2015.pdf: 1357945 bytes, checksum: c6e7c0e30627101c90a6eb4ae00a5c4d (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Erika Demachki (erikademachki@gmail.com) on 2015-05-20T18:32:39Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Lucyjane de Almeida Silva - 2015.pdf: 1357945 bytes, checksum: c6e7c0e30627101c90a6eb4ae00a5c4d (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-20T18:32:39Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Lucyjane de Almeida Silva - 2015.pdf: 1357945 bytes, checksum: c6e7c0e30627101c90a6eb4ae00a5c4d (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2015-03-06 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work we study the global qualitative behavior of three predator-prey models. We analyze the existence of limit cycle and canard cycle and we investigate the kinds of bifurcation that can occur. In the first model, Gause predator-prey with a refuge, we analyze the effects of a prey refuge on the ecosystem qualitative behavior. Employing the carrying capacity of the prey population in the Gause Model with a refuge we obtain the second model, for which we analyze the effects of the carrying capacity and we compare the results. In the third model we consider the continuous threshold harvesting strategies ocurring when the predator density is above a certain threshold. We note that the model has a complex dynamics with multiple internal equilibria and different types of bifurcation. / Neste trabalho estudamos o comportamento qualitativo global de três modelos predadorpresa. Analisamos a existência de ciclos limite e ciclos de canard e investigamos os tipos de bifurcações que podem ocorrer. No primeiro modelo, modelo predador-presa de Gause com refúgio, analisamos os efeitos do refúgio para as presas no comportamento dinâmico do ecossistema. Empregando a capacidade de suporte para a população de presas no modelo de Gause com refúgio obtemos o segundo modelo, para o qual analisamos os efeitos da capacidade de suporte e comparamos os resultados obtidos. No terceiro modelo consideramos as estratégias de colheita com limiar contínuo que é aplicada quando a densidade de predadores está acima de um certo limite e investigamos o comportamento dinâmico global. Observamos que o modelo possui uma dinâmica complexa com múltiplos pontos de equilíbrio e diferentes tipos de bifurcações.