Der Einsatz der Finite-Element-Methode bei linearen piezoelektrischen Problemen führt auf eine Systemmatrix der Struktur \[\left( \begin{array}{lr} C & B \\ B^T & -K \end{array} \right)\] mit positiv definiten Blockmatrizen C und K. Zur Lösung indefiniter Gleichungssysteme, die diese symmetrische Blockstruktur besitzen, kann der Bramble--Pasciak--CG eingesetzt werden. Entscheidend für eine schnelle Lösung ist es dabei, gute Vorkonditionierer für den Block C sowie für ein inexaktes Schurkomplement zu finden. Nachfolgend wird das Schurkomplement auf Spektraläquivalenz zur Blockmatrix K untersucht, für welche gute Vorkonditionierer bekannt sind. / Using the Finite-Element-Method with linear piezoelectric problems leads to a linear system of the structure \[\left( \begin{array}{lr} C & B \\ B^T & -K \end{array} \right)\] with symmetric positive definite matrix blocks C and K. The Bramble--Pasciak--CG is a possible solver for indefinite linear systems of equations with this special symmetric block structure. Essential for fast solving are good preconditioners for the block C as well as for an inexact Schur complement. In the following, the Schur complement is examined to spectral equivalence with the matrix K. For K quite good preconditioners are known.

Variants on the choice of nessecary control parameters in the generalized Bramble-Pasciak-CG method are discussed.

Thesis (MSc)--Stellenbosch University, 2015. / ENGLISH ABSTRACT: Our planet is in the midst of a biodiversity crisis, with factors such as land transformation, climate change, anthropomorphic disturbance and invasive species acting together to threaten biodiversity. In South Africa, with minimal natural wood resources, commercial forestry is one of the most abundant forms of landscape transformation. However, a third of the land inside many plantations has been set aside for conservation as unplanted remnant grassland patches (RGPs). These areas are subjected to an additional negative impact by invasive alien species, namely Rubus cuneifolius (American bramble), a weed that is particularly problematic in and around forestry plantations in South Africa. The grassland biome of South Africa is extremely diverse and is of vital importance for the ecosystem services it supplies. Despite this, the grassland biome is under threat as this is where much of South Africa’s forestry plantations are located. Driven by anthropomorphic disturbance, pollinators are in decline. Landscape transformation of natural areas for forestry plantations is likely to affect plant-pollinator interactions which will affect ecosystems and biodiversity. However, it is not known to what extent these ecosystems are affected. It is thought that the impact depends on the complexity of the ecosystem in question, and analyses at the network-level provide insights into the robustness of ecosystems in the face of biodiversity loss. Thus, this study evaluates the effect of natural habitat fragmentation and invasion of the alien species, R. cuneifolius, on flower visitation networks of South African grasslands. The study was conducted in the KwaZulu-Natal Midlands within a commercial timber plantation and a neighbouring protected area (PA). Flower-visitor observations were carried out in uninvaded protected areas and RGPs and in protected areas and RGPs invaded by R. cuneifolius. I found that RGPs within commercial forestry plantations successfully decrease the negative effects of land transformation on the grasslands of the KwaZulu-Natal Midlands, and flower visitation network patterns are largely maintained in these habitat fragments. However, within RGPs, invasion by R. cuneifolius affected the composition and the interaction network structure of flower-visitor and plant communities. The fact that there are unplanted areas within commercial forestry plantations is positive for biodiversity conservation in South Africa. Research has indicated that these areas successfully aid in the conservation of biodiversity and ecosystem functioning. Due to the positive influence that RGPs have on conservation in fragmented and transformed landscapes, it is critical that these unplanted areas are retained. However, the effects of bramble invasion are more intense within RGPs than within protected areas, and therefore, it must be a priority to keep these areas undisturbed. R. cuneifolius has been found to have devastating effects on ecosystem function and network structure. It is also a category 1 invasive plant within South Africa, and its removal is required by law. Therefore, the removal of bramble must be a management priority. / AFRIKAANSE OPSOMMING: Ons planeet is in die middel van 'n biodiversiteit krisis, met faktore soos grond transformasie, klimaatsverandering, antropomorfiese versteuring en indringerspesies wat gesamentlik werk om biodiversiteit te bedreig. Suid-Afrika, besit minimale houtbronne. Daarom is kommersiële bosbou een van die mees algemene vorme van landskap transformasie. Tog is 'n derde van die land binne baie plantasies opsy gesit vir bewaring as oorblywende grasveld kolle (OGKs). Hierdie gebiede word ongelukkig blootgestel aan die bykomende negatiewe impak van die uitheemse spesies, Rubus cuneifolius (Amerikaanse steekdoring), wat veral problematies is in en rondom bosbouplantasies. Die grasveldbioom van Suid-Afrika is baie divers en is van kardinale belang vir die ekosisteem dienste wat dit lewer. Ten spyte hiervan, word die grasveldbioom bedreig waar dit op dieselfde areas as die meerderheid van Suid-Afrika se bosbouplantasies geleë is. Antropomorfiese versteuring lui daartoe dat bestuiwergetalle daal. Landskap transformasie vir bosbou plantasies raak dus plant-bestuiwer interaksies, wat ekosisteme en biodiversiteit beïnvloed. Dit is nie bekend tot watter mate hierdie ekosisteme geraak word nie. Daar word vermoed dat die impak af hang van die kompleksiteit van die ekosisteem. Ontledings van ekosisteme op netwerk vlak kan insigte bied oor die robuustheid van hierdie ekosisteme in die aangesig van biodiversiteitverlies. Dus, die studie evalueer die effek van fragmentasie van natuurlike habitatte en inval van die indringer spesie, R. cuneifolius, op blom-besoekings netwerke van Suid-Afrikaanse grasvelde. Hierdie studie is uitgevoer in die KwaZulu-Natal Midlands binne 'n kommersiële hout plantasie en 'n naburige beskermde gebied (BG). Blom-besoeker waarnemings was in BGs en OGKs sonder R. cuneifolius, en in BGs en OGKs met R. cuneifolius uitgevoer. Ek het gevind dat OGKs binne kommersiële bosbouplantasies suksesvol is om die negatiewe uitwerking van land transformasie te verminder, en blom-besoeking netwerk patrone grootliks gehandhaaf word in hierdie habitat fragmente. Egter, binne OGKs, het R. cuneifolius die samestelling en die interaksie netwerk struktuur van blom-besoekers en plant gemeenskappe negatief geraak. Die feit dat OGKs ongeplant gelaat word, is positief vir die bewaring van biodiversiteit in Suid- Afrika. Navorsing dui aan dat hierdie gebiede suksesvol is om te help met die bewaring van biodiversiteit en ekosisteemfunksionering. As gevolg van die positiewe invloed van OGKs op bewaring in gefragmenteerde en omskepte landskappe, is dit krities dat hierdie areas ongeplant bly. Egter, die gevolge van steekdoring inval is meer intens binne OGKs as binne beskermde gebiede, en daarom moet dit 'n prioriteit wees om hierdie gebiede ongestoord te hou. R. cuneifolius se verwoestende uitwerking op ekosisteem funksie en netwerk struktuur was baie duidelik. Dit is ook 'n kategorie 1 indringerplant in Suid-Afrika, en sy verwydering word deur is die wet vereis. Daarom moet die verwydering van steekdoring ‘n bestuursprioriteit wees.

Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die numerische Simulation piezoelektrischen Materialverhaltens, sowie spezieller Probleme aus der Mechanik (inkompressibles Materialverhalten) unter Anwendung der Methode der finiten Elemente. Hierbei wird die Strategie der adaptiven Netzsteuerung angewendet, welche mit Hilfe einer lokalisierten a-posteriori Fehlerschätzung erlaubt, den lokalen Feinheitsgrad der Diskretisierung den Besonderheiten der Aufgabenstellung anzupassen. Beide betrachteten Problemklassen führen nach der Diskretisierung und FEM auf Gleichungssysteme in spezieller Blockstruktur, die insgesamt symmetrisch, aber nicht positiv definit ist. Als Löser kann nicht der gewöhnliche CG verwendet werden, stattdessen wird eine Variante des Bramble-Pasciak-CGs benutzt, welcher als Speziallöser die Matrizenstruktur ausnutzt. Für diesen Löser wird eine Strategie zur Parameterwahl vorgeschlagen sowie die Wirksamkeit einer Vorkonditionierung im piezoelektrischen Fall theoretisch nachgewiesen. Weiterhin wird die FEM einschließlich Adaptivität für Piezomaterialien auf rotationssymmetrische Probleme erweitert, so daß diese spezielle Problemklasse zweidimensional gerechnet werden kann. Numerische Vergleiche mit echter 3D-Rechnung illustrieren enorme Vorteile in Genauigkeit und Rechenaufwand. Im letzten Kapitel werden in piezoelektrische Materialien hineinwachsende Risse betrachtet und entsprechende Anpassungen vorgenommen. Mit Wahl geeigneter Datenstrukturen und einer passenden Vorkonditionierung ist es möglich, eine Simulationssoftware bereitzustellen welche als Grundlage zum Test von Bruchkriterien verwendet werden kann. Die beschriebenen numerischen Methoden wurden in ein bestehendes adaptives 2D-FEM-Programm implementiert, und an ausgewählten Beispielen ein Vergleich mit einer analytischen Lösung durchgeführt sowie die Effektivität der Rechnung getestet.

Variants on the choice of nessecary control parameters in the generalized Bramble-Pasciak-CG method are discussed.

Der Einsatz der Finite-Element-Methode bei linearen piezoelektrischen Problemen führt auf eine Systemmatrix der Struktur \[\left( \begin{array}{lr} C & B \\ B^T & -K \end{array} \right)\] mit positiv definiten Blockmatrizen C und K. Zur Lösung indefiniter Gleichungssysteme, die diese symmetrische Blockstruktur besitzen, kann der Bramble--Pasciak--CG eingesetzt werden. Entscheidend für eine schnelle Lösung ist es dabei, gute Vorkonditionierer für den Block C sowie für ein inexaktes Schurkomplement zu finden. Nachfolgend wird das Schurkomplement auf Spektraläquivalenz zur Blockmatrix K untersucht, für welche gute Vorkonditionierer bekannt sind. / Using the Finite-Element-Method with linear piezoelectric problems leads to a linear system of the structure \[\left( \begin{array}{lr} C & B \\ B^T & -K \end{array} \right)\] with symmetric positive definite matrix blocks C and K. The Bramble--Pasciak--CG is a possible solver for indefinite linear systems of equations with this special symmetric block structure. Essential for fast solving are good preconditioners for the block C as well as for an inexact Schur complement. In the following, the Schur complement is examined to spectral equivalence with the matrix K. For K quite good preconditioners are known.

Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die numerische Simulation piezoelektrischen Materialverhaltens, sowie spezieller Probleme aus der Mechanik (inkompressibles Materialverhalten) unter Anwendung der Methode der finiten Elemente. Hierbei wird die Strategie der adaptiven Netzsteuerung angewendet, welche mit Hilfe einer lokalisierten a-posteriori Fehlerschätzung erlaubt, den lokalen Feinheitsgrad der Diskretisierung den Besonderheiten der Aufgabenstellung anzupassen. Beide betrachteten Problemklassen führen nach der Diskretisierung und FEM auf Gleichungssysteme in spezieller Blockstruktur, die insgesamt symmetrisch, aber nicht positiv definit ist. Als Löser kann nicht der gewöhnliche CG verwendet werden, stattdessen wird eine Variante des Bramble-Pasciak-CGs benutzt, welcher als Speziallöser die Matrizenstruktur ausnutzt. Für diesen Löser wird eine Strategie zur Parameterwahl vorgeschlagen sowie die Wirksamkeit einer Vorkonditionierung im piezoelektrischen Fall theoretisch nachgewiesen. Weiterhin wird die FEM einschließlich Adaptivität für Piezomaterialien auf rotationssymmetrische Probleme erweitert, so daß diese spezielle Problemklasse zweidimensional gerechnet werden kann. Numerische Vergleiche mit echter 3D-Rechnung illustrieren enorme Vorteile in Genauigkeit und Rechenaufwand. Im letzten Kapitel werden in piezoelektrische Materialien hineinwachsende Risse betrachtet und entsprechende Anpassungen vorgenommen. Mit Wahl geeigneter Datenstrukturen und einer passenden Vorkonditionierung ist es möglich, eine Simulationssoftware bereitzustellen welche als Grundlage zum Test von Bruchkriterien verwendet werden kann. Die beschriebenen numerischen Methoden wurden in ein bestehendes adaptives 2D-FEM-Programm implementiert, und an ausgewählten Beispielen ein Vergleich mit einer analytischen Lösung durchgeführt sowie die Effektivität der Rechnung getestet.

La sélection naturelle constitue un processus clé de l’adaptation des populations à leur environnement, favorisant les variants présentant les meilleures valeurs sélectives. Les champignons présentent généralement des traits biologiques (diversité des modes de reproduction, grandes tailles de populations, fortes capacités de dispersion, entre autres) qui favorisent leur adaptation à des environnements variés. La compréhension des mécanismes qui sous-tendent l’évolution de leurs populations sous les contraintes, naturelles et anthropiques, qu’elles subissent constituent donc un enjeu majeur pour la protection des plantes, en particulier dans le contexte actuel de durabilité des méthodes de lutte. Dans cette thèse, nous avons décrit la structure et la diversité des populations Botrytis cinerea à l’aide de marqueurs neutres et sélectionnés et d’un échantillonnage emboîté, et avons proposé des mécanismes pouvant expliquer les résultats observés. Puis nous avons analysé la réponse adaptative des populations de B. cinerea en Champagne, aux applications de fongicides. Premièrement, nous avons montré que la pourriture grise était causée par un complexe de deux espèces cryptiques, vivant en sympatrie sur des hôtes communs. De plus, les populations françaises de B. cinerea sont structurées en cinq dèmes, caractérisés par le système de culture (sélection directionnelle), la plante-hôte (adaptation écologique), et dans une moindre mesure, par la géographie. Sur vigne, nous avons mis en évidence une entité dont l’isolement génétique semble lié à un isolement temporel. Par ailleurs, nous avons montré que l’application de fongicides conduit à la sélection de phénotypes résistants spécifiquement à quasiment tous les modes d’action homologués, selon des proportions variant suivant les vignobles et les usages. Plus particulièrement, la résistance aux fongicides inhibiteurs de la succinate déshydrogénase (SDHI) est causée par au moins sept mutations affectant les gènes encodant la protéine cible de ces fongicides, déterminant ainsi une grande variété de phénotypes. Enfin, nous avons montré que les fongicides ne modifiaient pas la structure neutre des populations mais qu’ils pouvaient conduire à une perte de richesse allélique dans les populations traitées ainsi qu’à un équilibre sélection-migration détectable dans certaines situations sous forme de clines au loci sous pression de sélection contemporaine tels que ceux déterminant la résistance multidrogues. La modélisation de l’évolution des fréquences de résistance hivernale a permis d’estimer le coût de la résistance pour quatre loci déterminant la résistance aux fongicides. Cette thèse a permis d’appréhender le fonctionnement des populations de B. cinerea et de comprendre et quantifier partiellement les mécanismes sélectifs opérant in natura. Ces informations seront utilisées pour raisonner des stratégies anti-résistance adaptées localement et durables. / Natural selection is the most powerful force driving population adaptation to their environment, favoring the variants with the best fitness. Fungi generally exhibit biological traits (diversity of reproduction modes, large population sizes, and intense dispersion) that favor their adaptation to changing environments. Therefore, disentangling the mechanisms that explain their evolution under natural and anthropic constraints constitute a major challenge for plant protection, especially in the actual context of agriculture sustainability. In this thesis, we described Botrytis cinerea population structure and diversity, using neutral and selected markers and a hierarchical sampling, and proposed mechanisms that may explain these observations. We then analyzed the adaptive answer of this species towards fungicide applications. First, we showed that grey mold populations were caused by a complex of two cryptic species, living sympatrically on the same hosts. Second, B. cinerea populations are divided into five demes, according to the cropping system (directional selection), the host-plant (ecological adaptation), and to a lesser extent, by geography. On grapevine, we identified a specific populations exhibiting temporal isolation, as an evidence of extreme exploration of the viticultural conditions. Moreover, fungicide applications select resistance towards all unisite modes of action, with few exceptions, but at varying proportions according to vineyards and fungicide use. More specifically, resistance to succinate dehydrogenase inhibitors (SDHIs) is caused by at least seven mutations altering the target genes of these fungicides, and determines a large variety of phenotypes in the field. At last, we showed that fungicides did not shape population structure but that they could decrease allele richness in treated areas and lead to migration-selection equilibrium, detectable in some situation and for loci under contemporary selective pressures as clines. Modeling the evolution of resistance during winter allowed estimating fitness cost of four loci involved in contemporary fungicide resistance, such as multidrug resistance. As a conclusion, this thesis helped to understand how B. cinerea populations evolve and to detect and quantify selective mechanisms at work in natura. This information will be useful to deign sustainable and locally-adapted anti-resistance strategies.