Ziel dieser Arbeit ist es die Fick-Jacobs Näherung, welche eine genaue Beschreibung zahlreiche Transporteigenschaften von Brownschen Teilchen in räumlich beschränkten Geometrien liefern kann, auf experimentell vorherrschende Gegebenheiten, z.B., sich stark ändernde Geometrien, komplizierte Kraftfelder, Teilchenausdehnung und endliche viskose Reibung, zu erweitern. Dazu wird zuerst die exakte Lösung für die stationäre Wahrscheinlichkeitsdichte mittels Entwicklung in einem geometrischen Parameter, der die Kanalmodulation misst, berechnet. Die höheren Entwicklungsterme ermöglichen die Berechnung von Korrekturen zu den Transportkoeffizienten für sich stark ändernde Geometrien. Ferner kann die Fick-Jacobs Näherung mittels der Entwicklungsmethode auf beliebige Kraftfelder verallgemeinert werden. Am Beispiel des mikrofluidischen Kanals zeigen wir, dass das Zusammenspiel von externen Kräften (skalare Potentiale) und Strömungen (Vektorpotentiale) zur effizienten Trennung von Objekten, mittels des Effektes des hydrodynamisch induzierten entropischen Einsperrens, genutzt werden kann. Da das effiziente Sortieren nach Größe eine der wichtigsten Ziele in der Grundlagenforschung ist, zeigen wir wie die Teilchenausdehnung in die Fick-Jacobs Näherung integriert werden kann. Abschließend wird der Einfluss der Mediumsviskosität auf den Teilchentransport untersucht. Wenn die Zeitskalen separieren, führt adiabatische Eliminierung auch für endliche Reibung zu einer Fick-Jacobs ähnlichen Beschreibung. Diese ist unweigerlich mit Energiegleichverteilung und mit verschwindender Geschwindigkeitskorrelation verbunden. Numerische Simulationen zeigen, dass diese Beschreibung für moderate bis starke Dämpfung und schwache externe Kräfte akkurat ist. Für starke Kräfte wird die angenommene Energiegleichverteilung infolge von Teilchen-Wand Kollisionen verletzt. Dies führt zu einer nichtlinearen Abhängigkeit der Teilchengeschwindigkeit und des effektiven Diffusionskoeffizienten von der Kraftstärke. / This work intends to show how experimentally relevant issues such as strong channel corrugation, sophisticated external force fields, particle size, and the solvent''s viscosity can be incorporated into the commonly used Fick-Jacobs approach which provides a powerful tool to capture many properties of Brownian particles'' transport in confined geometries. First, we derive exact solutions of the stationary probability distribution in terms of an expansion parameter specifying the channel corrugation. Thereby, the leading order is equivalent to the Fick-Jacobs approach. By means of higher expansion orders, which become significant for strong channel corrugation, we obtain corrections to the key particle transport quantities. Going one step further, we generalize the Fick-Jacobs approach to the most general forces. As an exemplary application, we consider microfluidic devices in which the interplay of conservative forces and pressure-driven flows (vector potentials) offers a unique opportunity to efficiently separate Brownian particles of the same size using the newly discovered effect of hydrodynamically enforced entropic trapping. Since separation and sorting by size is a main challenge in basic research, we demonstrate that within certain limits the analytic expressions for the key transport quantities, derived for point-like particles, can be applied to extended objects, too. Lastly, we study the impact of the solvent''s viscosity on particle transport. If the time scales separate, adiabatic elimination results in an effective description even for finite damping. The possibility of such description is intimately connected with equipartition and vanishing velocity correlation. Numerical simulations show that this approach is accurate for moderate to strong damping and for weak forces. For strong external forces, equipartition may break down due to reflections at the boundaries. This leads to a non-monotonic dependence of the particle mobility on the force strength.

Das Konzept von aktiven Brownschen Teilchen kann benutzt werden, um das Verhalten einfacher biologischer Organismen oder künstlicher Objekte, welche die Möglichkeit besitzen sich von selbst fortzubewegen zu beschreiben. Als Bewegungsgleichungen für aktive Brownsche Teilchen kommen Langevin Gleichungen zum Einsatz. In dieser Arbeit werden aktive Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit diskutiert. Im ersten Teil der Arbeit wirkt auf die Bewegungsrichtung des Teilchen weißes alpha-stabiles Rauschen. Es werden die mittlere quadratische Verschiebung und der effektive Diffusionskoeffizient bestimmt. Eine überdampfte Beschreibung, gültig für Zeiten groß gegenüber der Relaxationszeit wird hergleitet. Als experimentell zugängliche Meßgröße, welche als Unterscheidungsmerkmal für die unterschiedlichen Rauscharten herangezogen werden kann, wird die Kurtose berechnet. Neben weißem Rauschen wird noch der Fall eines Ornstein-Uhlenbeck Prozesses angetrieben von Cauchy verteiltem Rauschen diskutiert. Während eine normale Diffusion mit zu weißem Rauschen identischem Diffusionskoeffizienten bestimmt wird, kann die beobachtete Verteilung der Verschiebungen Nicht-Gaußförmig sein. Die Zeit für den Übergang zur Gaußverteilung kann deutlich größer als die Zeitskale Relaxationszeit und die Zeitskale des Ornstein-Uhlenbeck Prozesses sein. Eine Grenze der benötigten Zeit wird durch eine Näherung der Kurtosis ermittelt. Weiterhin werden die Grundlagen eines stochastischen Modells für lokale Suche gelegt. Lokale Suche ist die Suche in der näheren Umgebung eines bestimmten Punktes, welcher Haus genannt wird. Abermals diskutieren wir ein aktives Teilchen mit unveränderlichem Absolutbetrag der Geschwindigkeit und weißen alpha-stabilem Rauschen in der Bewegungsrichtungsdynamik. Die deterministische Bewegung des Teilchens wird analysiert bevor die Situation mit Rauschen betrachtet wird. Die stationäre Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichtefunktion wird bestimmt. Es wird eine optimale Rauschstärke für die lokale Suche, das heißt für das Auffinden eines neuen Ortes in kleinstmöglicher Zeit festgestellt. Die kleinstmögliche Zeit wird kaum von der Rauschart abhängen. Wir werden jedoch feststellen, dass die Rauschart deutlichen Einfluß auf die Rückkehrwahrscheinlichkeit zum Haus hat, wenn die Richtung des zu Hauses fehlerbehaftet ist. Weiterhin wird das Model durch eine an das Haus abstandsabhängige Kopplung erweitert werden. Zum Abschluß betrachten wir eine Gruppe von Suchern. / Active Brownian particles described by Langevin equations are used to model the behavior of simple biological organisms or artificial objects that are able to perform self propulsion. In this thesis we discuss active particles with constant speed. In the first part, we consider angular driving by white Levy-stable noise and we discuss the mean squared displacement and diffusion coefficients. We derive an overdamped description for those particles that is valid at time scales larger the relaxation time. In order to provide an experimentally accessible property that distinguishes between the considered noise types, we derive an analytical expression for the kurtosis. Afterwards, we consider an Ornstein-Uhlenbeck process driven by Cauchy noise in the angular dynamics of the particle. While, we find normal diffusion with the diffusion coefficient identical to the white noise case we observe a Non-Gaussian displacement at time scales that can be considerable larger than the relaxation time and the time scale provided by the Ornstein-Uhlenbeck process. In order to provide a limit for the time needed for the transition to a Gaussian displacement, we approximate the kurtosis. Afterwards, we lay the foundation for a stochastic model for local search. Local search is concerned with the neighborhood of a given spot called home. We consider an active particle with constant speed and alpha-stable noise in the dynamics of the direction of motion. The deterministic motion will be discussed before considering the noise to be present. An analytical result for the steady state spatial density will be given. We will find an optimal noise strength for the local search and only a weak dependence on the considered noise types. Several extensions to the introduced model will then be considered. One extension includes a distance dependent coupling towards the home and thus the model becomes more general. Another extension concerned with an erroneous understanding by the particle of the direction of the home leads to the result that the return probability to the home depends on the noise type. Finally we consider a group of searchers.