Nesta dissertação estudamos algumas aplicações da teoria das bases de Gröbner, visando principalmente a utilização dessas técnicas na teoria de códigos. Apresentamos um algoritmo para obter a base de Gröbner reduzida do ideal de um conjunto finito de pontos, e descrevemos um método para encontrar aproximações de Padé de polinômios multivariados. Terminamos apresentando o procedimento desenvolvido por J. Farr e S. Gao para a construção e decodificação de códigos lineares via bases de Gröbner. / In this master thesis we study some applications of Grobner bases theory, aiming using these techniques in coding theory. We present an algorithm for computing the reduced Grobner basis of the vanishing ideal of a finite set of points, and describe a method for finding Padé approximations of multivariate polynomials. We finish presenting the procedure developed by J. Farr and S. Gao for construction and decoding of linear codes via Gröbner bases.

Nesta dissertação estudamos algumas aplicações da teoria das bases de Gröbner, visando principalmente a utilização dessas técnicas na teoria de códigos. Apresentamos um algoritmo para obter a base de Gröbner reduzida do ideal de um conjunto finito de pontos, e descrevemos um método para encontrar aproximações de Padé de polinômios multivariados. Terminamos apresentando o procedimento desenvolvido por J. Farr e S. Gao para a construção e decodificação de códigos lineares via bases de Gröbner. / In this master thesis we study some applications of Grobner bases theory, aiming using these techniques in coding theory. We present an algorithm for computing the reduced Grobner basis of the vanishing ideal of a finite set of points, and describe a method for finding Padé approximations of multivariate polynomials. We finish presenting the procedure developed by J. Farr and S. Gao for construction and decoding of linear codes via Gröbner bases.

Nesta dissertação estudamos algumas aplicações da teoria das bases de Gröbner, visando principalmente a utilização dessas técnicas na teoria de códigos. Apresentamos um algoritmo para obter a base de Gröbner reduzida do ideal de um conjunto finito de pontos, e descrevemos um método para encontrar aproximações de Padé de polinômios multivariados. Terminamos apresentando o procedimento desenvolvido por J. Farr e S. Gao para a construção e decodificação de códigos lineares via bases de Gröbner. / In this master thesis we study some applications of Grobner bases theory, aiming using these techniques in coding theory. We present an algorithm for computing the reduced Grobner basis of the vanishing ideal of a finite set of points, and describe a method for finding Padé approximations of multivariate polynomials. We finish presenting the procedure developed by J. Farr and S. Gao for construction and decoding of linear codes via Gröbner bases.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-07-09T18:02:46Z No. of bitstreams: 1 LINO MARCOS DA SILVA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2006..pdf: 606293 bytes, checksum: f6729428e1a4d16d1b38704fe9b418a4 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-09T18:02:46Z (GMT). No. of bitstreams: 1 LINO MARCOS DA SILVA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2006..pdf: 606293 bytes, checksum: f6729428e1a4d16d1b38704fe9b418a4 (MD5) Previous issue date: 2006-03 / Capes / Neste trabalho apresentamos algumas relações entre matróides e códigos lineares. Estudamos vários invariantes numéricos de matróides e vemos que este é um dos muitos aspectos de teoria das matróides que tiveram origem em teoria dos grafos. Analisamos uma classe especial de tais invariantes: os invariantes Tutte-Grothendieck. Mostramos que o polinômio de Tutte é o invariante T-Guniversal (Brilawski,1972) e o relacionamos à teoria dos códigos mostrando que a distribuição de pesos de palavras-código em um código linear é um invariante T-G generalizado (Greene,1976). / In this work we present a relation between matroid and linear codes. Numericals invariants for matroids is one the many topics of matroid theory having its origins graph theory. The Tutte Polynomial of the matroid play a role very important in various problems concerned with such invariants. In 1972 Brylawski showed that the Tutte Polynomial is a T-G invariant. In 1976, Greene established a relation among linear codes and the Tutte Polynomial showing that the distribuition of codeweigths in a linear codes is a generalized T-G invariant.

Made available in DSpace on 2014-07-29T16:02:21Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertacao Aline.pdf: 730328 bytes, checksum: 01d446325586d61a96fd84af4b10cdb5 (MD5) Previous issue date: 2007-12-18 / In this work we present some linear codes and we discuss about parameters of cyclic codes families that lead to the characterization of the Goppa codes, which we describe minimum distance bounds when it is given for an affine variety. When this code is defined like this, we say that it is an improved geometric Goppa code. The first bounds mentioned in this work was given by Feng and Rao in [6] (Feng-Rao bound), later improved by Miura in [18],[19] (weakly Feng-Rao bound), that in its turn has been improved by G. Salazar, D. Dunn and S. B. Graham in [22] (advisory bound and strong advisory estimate). This work was based in this last article. We finishing the dissertation showing families of codes for which we verified the veracity of the improvement of bounds. / Nesta dissertação apresentamos alguns códigos lineares e tratamos de parâmetros de famílias de cóodigos clicos que conduzem á caracterização dos códigos de Goppa, para o qual descrevemos cotas para a distância mínima quando este é dado sobre uma variedade afm. Quando tal código é assim defnido, dizemos que ele é um código geométrico de Goppa melhorado. A primeira das cotas mencionada neste trabalho foi dada por Feng e Rao em [6] (cota de Feng-Rao), posteriormente melhorada por Miura em [18],[19] (cota fraca de Feng-Rao), que por sua vez foi melhorada por G. Salazar, D. Dunn e S. B. Graham em [22] (cota indicativa e estimativa indicativa forte), sendo que neste último artigo está fundamentada esta dissertação. Encerramos nosso trabalho exibindo famílias de códigos para as quais verificamos a veracidade das melhoras das cotas.

Este trabalho, elaborado por meio de pesquisa bibliográfica, apresenta um apanhado sobre os dígitos verificadores presentes no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF), no código de barras, e no sistema ISBN; faz uma introdução sobre a métrica de Hamming e os códigos corretores de erros; cita a classe de códigos mais utilizada, que são os códigos lineares, e deixa a sugestão de uma proposta pedagógica para professores de matemática aplicarem no Ensino Fundamental, podendo ser ajustada também para o Ensino Médio. No apêndice A, são propostos alguns exercícios que podem ser trabalhados com os alunos em sala de aula. / This work, based on the attached references, presents an overview of the check digits that appear in the Brazilian document CPF, in the bar code and the ISBN system. Moreover, it makes an introduction to the Hamming metric and error-correcting codes. In particular, some considerations about linear codes are done and it makes a suggestion of a pedagogical approach to apply it in middle school and can also be adjusted to high school. In the Appendix A are proposed some exercises to students.

Neste trabalho calculamos o peso e a dimensão de todos os códigos cíclicos de comprimento pn na álgebra de grupo FqCpn, onde p é um número primo e Fq é um corpo finito de característica q. Também calculamos o peso do código dado pela soma de dois códigos abelianos minimais em Fq(Cp × Cp), dessa forma foi possível fazer uma breve comparação entre códigos cíclicos e abelianos não cíclicos de comprimento p2. / In this work we compute the weight and the dimension of all cyclic codes of length pn in the group algebra FqCpn, where p is a prime number and Fq is a finite field of characteristic q. Furthermore, we compute the weight of codes which are given by the sum of two minimal abelian codes in Fq(Cp × Cp). In this way, it was possible to compare briefly cyclic codes and non-cyclic abelian codes of length p2.

Este trabalho, elaborado por meio de pesquisa bibliográfica, apresenta um apanhado sobre os dígitos verificadores presentes no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF), no código de barras, e no sistema ISBN; faz uma introdução sobre a métrica de Hamming e os códigos corretores de erros; cita a classe de códigos mais utilizada, que são os códigos lineares, e deixa a sugestão de uma proposta pedagógica para professores de matemática aplicarem no Ensino Fundamental, podendo ser ajustada também para o Ensino Médio. No apêndice A, são propostos alguns exercícios que podem ser trabalhados com os alunos em sala de aula. / This work, based on the attached references, presents an overview of the check digits that appear in the Brazilian document CPF, in the bar code and the ISBN system. Moreover, it makes an introduction to the Hamming metric and error-correcting codes. In particular, some considerations about linear codes are done and it makes a suggestion of a pedagogical approach to apply it in middle school and can also be adjusted to high school. In the Appendix A are proposed some exercises to students.

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:45:58Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 634504 bytes, checksum: ce035cc957832598c53dda96372e7cb7 (MD5) Previous issue date: 2011-02-24 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work, based on algebraic function fields, we give constructions of disjoint linear codes. In addition,we study the asymptotic behavior of disjoint linear codes from our constructions. / Neste trabalho, baseados em corpos de funções algébricas, forneceremos construções de códigos lineares disjuntos. Além disso, nós estudaremos comportamentos assintóticos de códigos lineares disjuntos a partir da nossa construção.

Orientador: Prof. Dr. Armando Caputi / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT, Santo André, 2018. / Nesta dissertação, apresentamos os dígitos que verificam erros em códigos numéricos e os códigos que identificam e corrigem erros em informações transmitidas ou armazenadas. Em relação aos dígitos que verificam erros, enfocamos os sistemas modulares, os principais erros que podem ser cometidos na digitação de sequências numéricas e a eficiência do dígito para detectar sua presença. Já em códigos corretores de erros, denotamos os conceitos de um código e sua utilidade em um sistema de comunicação, mostramos como codificar uma informação e depois como decodificá-la corrigindo erros, caso existam. Finalmente, explicitamos algumas aplicações dos dígitos verificadores e códigos corretores de erros para o Ensino Fundamental e Médio. / In this dissertation, we present the digits that verify errors in numerical codes and the codes that identify and correct errors in transmitted or stored information. Regarding the digits that verify errors, we focus on the modular systems, the main errors that can be presented during the typing of numerical sequences and the efficiency of the digit to detect their presence. As for theerror-correcting codes, we denote the concepts of a code and its use in a communication system, we show how to code pieces of information and then how to decode it correcting errors, in case they exist. Finally, we described in details some applications of the verifier digits and error correction codes for Elementary and Middle School.