GOMES, Diego Eloi Misquita. O teorema espectral para operadores não-limitados e autoadjuntos. 2013. 58 f. Dissertação(Mestrado em Matemática) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2013. / Submitted by Erivan Almeida (eneiro@bol.com.br) on 2014-02-06T15:40:51Z No. of bitstreams: 1 2013_dis_demgomes.pdf: 456703 bytes, checksum: a555cc44e9bb626acdcf572e556fbef9 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2014-02-07T12:58:37Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2013_dis_demgomes.pdf: 456703 bytes, checksum: a555cc44e9bb626acdcf572e556fbef9 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-02-07T12:58:37Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2013_dis_demgomes.pdf: 456703 bytes, checksum: a555cc44e9bb626acdcf572e556fbef9 (MD5) Previous issue date: 2013 / The Spectral Theorem is one of the most famous theorems in Functional Analysis, particularly because of the large number of proofs given to it. There are versions for bounded operators, unbounded operators, self-adjoints operators, compacts, on finite-dimensional spaces, on finnite-dimensional spaces. The general version was proved by Stone and Weierstrass during the period 1929-1932, but another proofs emerged over the years. The proof in this monography was given by Edward Brian Davies(1994), which gives an explicity formula for the functional calculus f(H) (where H is an self-adjoint operator) and not only proof its existence. The main idea was originally given by Hel er and Strojand(1989) and in its proofs it used well-knows theorems like Stokes' Theorem,Cauchy's Integral Formula Generalized, Stone-Weierstrass, Liouville's Theorem, besides facts of the theory of linear operators on Hilbert spaces. / O Teorema Espectral é um dos teoremas mais famosos da Analise Funcional, principalmente pelo grande número de versões dadas ao mesmo. Existem versões para operadores limitados, ilimitados, autoadjuntos, compactos, em espaços de dimensão finita ou infinita. A versão geral do teorema foi provada independentemente por Stone e Neumann no período de 1929-1932, mas outras provas surgiram ao longo dos anos. A prova contida neste trabalho é de Edward Brian Davies(1994), o qual conseguiu, na prova da versão do teorema para cálculos funcionais, explicitar uma fórmula para f(H) (onde H é um operador não-limitado e autoadjunto) para uma grande classe de funções e não apenas mostrar a existência do mesmo. A principal idéia foi originalmente dada por Helffer e Strojand(1989) e utiliza em sua prova teoremas conhecidos como a Fórmula Integral de Cauchy Generalizada, Teorema da Divergência, Stone Weierstrass, Teorema de Liouville, além de fatos conhecidos da teoria dos operadores lineares em espaços de Hilbert.

O cálculo funcional de operadores em espaços de Banach tem uma longa história, sendo inicialmente desenvolvido por F. Riesz, N. Dunford entre outros. Em 1986, uma importante contribuição foi feita por Alan McIntosh, que definiu um cálculo funcional holomorfo de operadores setoriais e destacou uma importante classe de operadores setoriais desses operadores: a dos operadores com cálculo funcional holomorfo limitado (CFHL). Do ponto de vista de operadores diferenciais e pseudodiferenciais, alguns elementos envolvidos neste cálculo já estavam presentes nos trabalhos de R. T. Seeley sobre potências complexas de operadores diferenciais elípticos. Mais tarde mostrou-se que diversos operadores possuem CFHL. Um artigo recente nesta direção e base para esta dissertação foi publicado por Bilyj, Schrohe e Seiler. Neste trabalho mostraremos que certos operadores pseudodiferenciais, agindo em espaços de Banach apropriados, são setoriais e possuem CFHL. Para isso faremos o estudo da álgebra dos símbolos de ordem zero e utilizaremos uma construção para a parametriz do resolvente. A apresentação procura ser uma versão mais didática do artigo de Bilyj, Schrohe e Seiler. Além disso, fazemos certas adaptações nas demonstrações com o propósito de facilitar a compreensão dos argumentos. Também vamos apresentar aplicações do resultado obtido. / Functional calculus for operators acting on Banach Spaces has a long history. It was initially developed by F. Riesz, N. Dunford among others. In 1986, an important contribution was made by Alan McIntosh who defined a holomorphic functional calculus for sectorial operators and put on the scene an important class of sectorial operators, namely, operators with a bounded holomorphic functional calculus (BHFC). From the point of view of differential and pseudodifferential operators, some elements treated in this calculus were already in the works of R. T. Seeley about complex powers of elliptic differential operators. Later it was shown that several operators have BHFC. A recent paper in this direction, and the one on which this dissertation is based, was published by Bilyj, Schrohe and Seiler. In this work we show that certain pseudodifferential operators, acting on appropriate Banach spaces, are sectorial and have BHFC. For this we will study the algebra of symbols of order zero and use a construction for the parametrix. This presentation aims to explore and detail the paper of Bilyj, Schrohe and Seiler. Furthermore, we make adaptations in the proofs in order to clarify the argument. We also show applications of the obtained results.

Made available in DSpace on 2016-04-27T17:27:11Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Cassia Sampaio Sanctos.pdf: 875084 bytes, checksum: 3baa23ce43e41c748fa70bf983f30e20 (MD5) Previous issue date: 2015-05-11 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The thesis constitutes a critical review of Gödel´s doctoral dissertation which presents a proof for the completeness of first order logic. The introduction addresses the concepts of formalism, axiomatic method and completeness, thus the proof can be contextualized. The language for the restricted functional calculus is defined, with the corresponding syntax and semantics, and the original Gödel´s demonstration is updated. The appendix contains a translation of the referred dissertation, which is unprecedented in Portuguese / O trabalho constitui um comentário crítico da dissertação de doutorado de Gödel que apresenta uma prova de completude da lógica de primeira ordem. A introdução trata dos conceitos de formalismo, método axiomático e completude, para que seja possível contextualizar a prova. A linguagem para o cálculo funcional restrito é definida, com sua sintaxe e semântica, e a demonstração original de Gödel é atualizada. O apêndice contém a tradução da referida dissertação, que é inédita em língua portuguesa