Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This piece of work has as its main objective, verifying the possibility of insertion in high-school, of the intuitive ideas of Differential and Integral Calculus applied to the study of quadratic functions. Intuitive ideas of limits of a function, average variation rate, instantaneous variation and even the calculus of areas below the graph of positive functions, limited by the abscissa axis and by vertical lines, or even among positive functions in a determined interval of domain of those, e.g. are fairly simple concepts, which can be inserted in high-school. In order to facilitate the understanding of those ideas, coupled to the study of functions, one can make use of a computational resource such as Geogebra, software used as a learning tool on the activities suggested in the present piece of work. The activities proposed here are intended to first-year students of high-school, ally to the study of quadratic functions, because of the need to restrict the theme on this occasion; however the proposed material may be adapted and applied to other functions studied in this series. Is to highlight the importance of introduction of those ideas in high-school, in a way that stimulates the construction of more solid knowledge about the behavior of functions and many other related concepts, such as consequences and the very construction of numerical conjuncts, especially real numbers. This way the student can expand, for example, his views on the construction of graphs from the idea of continuity of a function which may be approached by simple propositions involving the limits of a function and its behavior, insofar as we take values from its domain each time bigger or smaller. It s believed that, this way, on the long range, the students who entered in college education in the subjects of calculus, will have better conditions to understand the necessary concepts and, thus, the rate of failure in those subjects and other related, may not be so high. We will see in the course of this work, that the cause to that high rate of failure may be related to a faulty forming of intuitive ideas of calculus in high-school. The following piece of work presents a proposal of activities about the teaching of those topics with the aid of the software Geogebra and the analyses of the results of the applying of those activities on an experimental class of first-year high-school students. It s been verified that it s possible opening the horizons in the sphere of learning and teaching of mathematics in high-school, for the intuitive ideas of calculus, making use of several tools, such as the use of adequate technologies and that it s even possible providing the students with new methodologies of teaching that can favor the learning of those and other mathematical concepts. / Este trabalho tem como objetivo principal verificar a possibilidade da inserção, no Ensino Médio, das ideias intuitivas do Cálculo Diferencial e Integral. Ideias intuitivas de limites de uma função, de taxa de variação média, variação instantânea e o cálculo de áreas abaixo do gráfico de funções positivas, limitadas pelo eixo das abscissas e por retas verticais, ou até mesmo entre funções positivas em um intervalo determinado pelo domínio das mesmas, por exemplo. São conceitos razoavelmente simples, que podem ser introduzidos no ensino médio. Para facilitar o entendimento dessas ideias, aliado ao estudo de funções, pode-se fazer o uso de um recurso computacional como o Geogebra, software utilizado como ferramenta de apoio a aprendizagem nas atividades sugeridas nesse trabalho. As atividades aqui propostas destinam-se a alunos do primeiro ano do ensino médio, aliado ao estudo de funções quadráticas. Pela necessidade de restrição do tema nessa ocasião, o material proposto pode ser adaptado e aplicado às demais funções estudadas nessa série. Destaca-se a importância da introdução dessas ideias no Ensino Médio, de modo a estimular a construção de conhecimentos mais sólidos sobre o comportamento de funções e muitos outros conceitos relacionados, tais como sequências e a própria construção dos conjuntos numéricos, especialmente os números reais. Dessa forma, o estudante pode ampliar sua visão sobre a construção de gráficos a partir da ideia de continuidade de uma função a qual pode ser abordada por problemas simples envolvendo os limites de uma função e seu comportamento, na medida em que tomamos valores de seu domínio cada vez maiores ou menores. Acredita-se que, assim, a longo prazo, os alunos que ingressarem no Ensino Superior nas disciplinas de Cálculo terão condições melhores de compreender os conceitos necessários e, então, os índices de não aprovação nessas disciplinas e outras relacionadas, poderão deixar de ser tão altos. Veremos no decorrer desse trabalho que a causa para esse índice elevado pode estar relacionada com uma formação deficiente das ideias intuitivas de cálculo no Ensino Médio. O trabalho a seguir apresenta uma proposta de atividades sobre o ensino desses tópicos com auxílio do software Geogebra e a análise dos resultados da aplicação dessas atividades a uma turma experimental de alunos do 1o ano do Ensino Médio. Verificou-se que é possível abrir os horizontes no âmbito do ensino e aprendizagem de Matemática no Ensino Médio, com as ideias intuitivas de Cálculo, fazendo o uso de ferramentas diversas, como a utilização de tecnologias apropriadas, e que assim, pode-se inclusive proporcionar aos estudantes novas técnicas de ensino que favoreçam a aprendizagem desses e demais conceitos matemáticos.

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2016-05-10T13:42:23Z No. of bitstreams: 1 ariosvaldoandradesantos.pdf: 3775881 bytes, checksum: d960dc15077f4373a4fcc56b31c92b78 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2016-06-15T13:13:37Z (GMT) No. of bitstreams: 1 ariosvaldoandradesantos.pdf: 3775881 bytes, checksum: d960dc15077f4373a4fcc56b31c92b78 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-06-15T13:13:37Z (GMT). No. of bitstreams: 1 ariosvaldoandradesantos.pdf: 3775881 bytes, checksum: d960dc15077f4373a4fcc56b31c92b78 (MD5) Previous issue date: 2015-04-22 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Através deste trabalho venho defender a inclusão de conceitos básicos do Cálculo Diferencial e Integral no Ensino Médio, pois estes proporcionariam aos alunos uma melhor preparação e motivação para se submeterem às dificuldades inerentes a estes conteúdos no ensino superior. A inserção destes temas acarretaria ainda uma melhor assimilação dos conteúdos já abordados no Ensino médio, valorizando-os com abordagens multidisciplinares e melhores contextualizadas e tornando os alunos mais capazes de fazer reflexões sobre algo que está além do que seus olhos podem ver. Serão apresentadas propostas de atividades a serem utilizadas para abordar o conteúdo de integrais no Ensino Médio, por meio do calculo de áreas, pelo método da exaustão. Tais atividades visam uma assimilação natural de tais conceitos através da visualização do processo de cálculo e interpretação dos resultados. Para isto serão utilizados figuras e softwares específicos que valorizarão ainda mais tais atividades, já que a inserção de tecnologias no ensino do conteúdo didático de nossas escolas é um desafio e uma necessidade. / Through this work I come to defend the inclusion of basic concepts of Differential and Integral Calculus in high school, as this would provide students with a better preparation and motivation to undergo the difficulties inherent in such contents in higher education. The insertion of those topics would also lead the students to a better assimilation of the contents already covered in high school, valuing them with multidisciplinary and better-contextualized approaches and making the students more able to make reflections on something that is beyond what their eyes can see. The activities here proposed will be submitted to be used to address the contents of integral in high school, by calculating the areas of, by the method of exhaustion. The activities aim at a natural assimilation of these concepts through the visualization of the process of calculations and the interpretation of results. For this, figures and a specific software that value even more those activities will be used, since the integration of technology into teaching contents of our schools is a challenge and a necessity.

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2016-03-04T11:06:59Z No. of bitstreams: 1 leozartdasilvamatos.pdf: 3656628 bytes, checksum: 2566a15b7d9fd0f2945b842289a7bd23 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2016-04-24T01:50:11Z (GMT) No. of bitstreams: 1 leozartdasilvamatos.pdf: 3656628 bytes, checksum: 2566a15b7d9fd0f2945b842289a7bd23 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-04-24T01:50:11Z (GMT). No. of bitstreams: 1 leozartdasilvamatos.pdf: 3656628 bytes, checksum: 2566a15b7d9fd0f2945b842289a7bd23 (MD5) Previous issue date: 2013-12-12 / O presente estudo teve como objetivo investigar compreensões dos conceitos de Derivadas e Integral construído por um grupo de alunos de terceiro ano do Ensino Médio de uma escola particular brasileira em um ambiente informatizado com o CAS on-line WolframAlpha e applets gerados pelo Geogebra. Embora a literatura sobre o ensino e aprendizagem de Cálculo seja bastante extensa, por outro lado, particularmente no Brasil, ela é quase sempre restrita a cenários do Ensino Superior. O estudo propôs uma nova abordagem para a compreensão dos conceitos de Derivada e de Integral, enfraquecendo manipulações algébricas procedurais, típicas das aulas de Cálculo em nível de graduação. Para este fim, nós exploramos o conceito de derivada como taxa instantânea de variação e a integral como função acumulação e área líquida sob uma curva. Os participantes trabalharam em pares com o CAS on-line WolframAlpha como uma ferramenta para toda a manipulação algébrica e algorítmica considerado necessário durante as atividades propostas. Metodologicamente, o estudo foi realizado como um experimento de ensino com o quadro teórico baseado nas ideias de Imagem de Conceito e Definição de Conceito. Os dados sugeriram que os participantes foram capazes de lidar com a CAS WolframAlpha com relativa facilidade, em parte devido à sua sintaxe bastante flexível. Também tiveram uma dificuldade inicial em termos de pensamento comparativo, o que levou a outra dificuldade inicial com a ideia de taxa instantânea de variação. Os participantes tiveram uma boa compreensão da integral como a área líquida sob uma curva, mas detectamos algumas dificuldades com a função de acumulação. Apesar destes problemas iniciais, os dados sugerem que a taxa de variação funcionou como raiz cognitiva para o conceito de derivada. Finalmente, a pesquisa sugere que ambos os conceitos de derivada e integral, bem como a sua conexão via Teorema Fundamental do Cálculo podem ser explorados conceitualmente de forma significativa para estudantes do ensino médio em contextos similares sob a abordagem proposta. / The present study aimed to investigate understandings of the concepts of Derivative and Integral constructed by a group of third-year students of a Brazilian private high school in digital environment with the CAS online WolframAlpha and applets generated by the Geogebra. Although the literature on teaching and learning Calculus is quite extensive, on the other hand, particularly in Brazil, it is almost always restricted to Higher Education settings. The study proposed a new approach to the concepts of Derivative and Integral with focus on conceptual understanding as well as weakening procedural algebraic manipulations typical in Calculus classes in undergraduate level. For this reason, we explored the concept of derivative as instantaneous rate of change and the integral as accumulation function and net area under a curve. Participants worked in pairs with the CAS online WolframAlpha as a tool for all algebraic and algorithmic manipulations deemed as necessary during the proposed activities. Methodologically, the study was conducted as a teaching experiment with the theoretical framework based on the ideas of Concept Image and Concept Definition. Data have suggested that the participants were able to deal the CAS WolframAlpha to some extent with ease, partially due to its quite flexible syntax. They also had an initial difficulty in terms of comparative thinking, which led to an initial difficulty with the idea of instantaneous rate of change. The participants had a good understanding of the integral as the net area under a curve, but we detected some difficulties with the accumulation function. Despite these initial problems, data suggest that the rate of change had a role as a cognitive root for the concept of derivative. Finally, the research suggests that both concepts of derivative and integral, as well as their connection via Fundamental Theorem of Calculus, can be explored conceptually in a significant way for high school students in similar settings under the proposed approach.

Este trabalho traz uma proposta de atividades, a serem desenvolvidas em sala de aula, com o objetivo de introduzir o conceito de derivadas para os alunos da primeira série do Ensino Médio. Antes das atividades, estão presentes algumas breves pesquisas. O histórico da presença de tópicos do Cálculo Diferencial e Integral no Ensino Médio no Brasil, assim como a análise de alguns livros didáticos, serve para mostrar como o assunto já foi e está sendo tratado no país. Também são exibidos aspectos sobre o Ensino Médio na Alemanha e nos Estados Unidos, países onde o cálculo está presente na Escola Secundária, embora de formas bastante diferentes. Um capítulo sobre a preparação adequada para as aulas também foi incluído, uma vez que a simples inserção da derivada poderia causar problemas de tempo para o cumprimento do cronograma e não trazer os resultados esperados. São necessários algum grau de adequação dos conteúdos ministrados e de cooperação com professores de Física. As atividades visando o ensino dos conceitos iniciais de derivada são motivadas por um problema físico de movimento. O foco é dado na intuição e na visualização de gráficos, para que haja uma melhor compreensão dos conceitos envolvidos. A utilização de um software de geometria dinâmica é requerida em boa parte do tempo, como importante ferramenta de apoio pedagógico / This paper presents a proposal of activities to be developed in the classroom, with the goal of introducing the concept of derivative for students in the first grade of secondary school. Before the activities, some brief researches are presented. The historical presence of the topics of Differential and Integral Calculus in brazilian High Schools, as well as the analysis of some textbooks, serves to show how it has been and is being treated in the country. Aspects of the High School are also shown in Germany and the United States, countries where the calculus is present in High School, though in quite different ways. A chapter about the proper preparation for these classes was also included, since the simple insertion of the derivative could cause problems for meeting the schedule and could not bring the expected results. Some degree of adequacy of the contents and cooperation with Physics teachers are needed. The activities aiming at teaching the initial concepts of derivatives are motivated by a physical problem of motion. The focus is given on intuition and visualization of graphs, so there is a better understanding of the concepts involved. The use of a dynamic geometry software is required for much of the time, as an important tool for pedagogical support

Este trabalho traz uma proposta de atividades, a serem desenvolvidas em sala de aula, com o objetivo de introduzir o conceito de derivadas para os alunos da primeira série do Ensino Médio. Antes das atividades, estão presentes algumas breves pesquisas. O histórico da presença de tópicos do Cálculo Diferencial e Integral no Ensino Médio no Brasil, assim como a análise de alguns livros didáticos, serve para mostrar como o assunto já foi e está sendo tratado no país. Também são exibidos aspectos sobre o Ensino Médio na Alemanha e nos Estados Unidos, países onde o cálculo está presente na Escola Secundária, embora de formas bastante diferentes. Um capítulo sobre a preparação adequada para as aulas também foi incluído, uma vez que a simples inserção da derivada poderia causar problemas de tempo para o cumprimento do cronograma e não trazer os resultados esperados. São necessários algum grau de adequação dos conteúdos ministrados e de cooperação com professores de Física. As atividades visando o ensino dos conceitos iniciais de derivada são motivadas por um problema físico de movimento. O foco é dado na intuição e na visualização de gráficos, para que haja uma melhor compreensão dos conceitos envolvidos. A utilização de um software de geometria dinâmica é requerida em boa parte do tempo, como importante ferramenta de apoio pedagógico / This paper presents a proposal of activities to be developed in the classroom, with the goal of introducing the concept of derivative for students in the first grade of secondary school. Before the activities, some brief researches are presented. The historical presence of the topics of Differential and Integral Calculus in brazilian High Schools, as well as the analysis of some textbooks, serves to show how it has been and is being treated in the country. Aspects of the High School are also shown in Germany and the United States, countries where the calculus is present in High School, though in quite different ways. A chapter about the proper preparation for these classes was also included, since the simple insertion of the derivative could cause problems for meeting the schedule and could not bring the expected results. Some degree of adequacy of the contents and cooperation with Physics teachers are needed. The activities aiming at teaching the initial concepts of derivatives are motivated by a physical problem of motion. The focus is given on intuition and visualization of graphs, so there is a better understanding of the concepts involved. The use of a dynamic geometry software is required for much of the time, as an important tool for pedagogical support