A crescente utilização de novas tecnologias, as quais necessitam de uma fonte de energia menor e mais eficiente, como os microssensores para monitoramento de sistemas e estruturas nas chamadas cidades inteligentes, torna a captura da energia do ambiente uma opção viável para alimentação de tais dispositivos. Como a energia cinética é uma fonte de energia facilmente encontrada no ambiente, os sistemas que a capturam e convertem em eletricidade têm sido amplamente estudados, especialmente os que utilizam transdutores piezoelétricos. Considerando estruturas aporticadas, como prédios, pontes etc., comumente encontradas nas cidades, este trabalho apresenta um novo modelo de sistema de captura de energia piezoelétrico com base em um pórtico não linear, sob uma excitação não ideal, por meio de uma fonte com potência limitada. Para modelar o acoplamento piezoelétrico, foram consideradas as não linearidades do material piezoelétrico. Por meio das simulações numéricas, pode-se verificar a eficiência e a viabilidade do modelo proposto. Devido ao fato de as vibrações do meio ambiente serem senoidais, aleatórias ou transitórias, surge uma dificuldade na captura de energia de forma eficiente e com um nível contínuo. A utilização de controles passivos pode melhorar a energia capturada, removendo o movimento caótico do sistema e mantendo a oscilação em uma órbita periódica estável. Assim, duas estratégias de controle passivo foram empregadas, a primeira utilizando uma subestrutura com características de absorvedor de energia não linear (NES) e a segunda pela introdução de um pêndulo. Em ambos os casos, as simulações demonstraram que o controle passivo foi eficiente em levar o sistema caótico para uma órbita periódica estável, otimizando a captura de energia do sistema. Uma análise considerando incertezas nos parâmetros foi realizada, para verificar a robustez da estratégia de controle, assim como a sensibilidade do sistema de controle a erros paramétricos. Os resultados mostraram a eficiência do controle passivo e o fenômeno do bombeamento de energia na supressão do comportamento caótico. A principal vantagem do controle passivo é não necessitar de componentes eletrônicos para controlar o sistema, sendo apenas um componente mecânico \"massa\", acoplado à estrutura principal. Uma análise wavelet foi realizada sobre o modelo, para identificar o comportamento oscilatório do sistema e permitir a visualização das frequências de vibração que capturam mais energia. / The increasing use of new technologies, which have the need for smaller and more energy efficient sources, such as micro-sensors for monitoring systems and structures of the so-called smart cities, assigns environmental energy harvesting a viable option to power such devices. As kinetic energy is a source easily found in the environment, the systems that harvest and convert this type of energy into electricity have been widely studied, especially those using piezoelectric transducers. Considering framed structures, such as buildings, bridges, etc., which are commonly found in the cities, this paper presents a new model of piezoelectric energy harvesting system based on a nonlinear portal frame, under a non-ideal excitation by a source with limited power. To model Piezoelectric couplings, they were considered nonlinearities of the piezoelectric material. Through numerical simulations, the effciency and viability of the proposed model can be verified. A difficulty arises in harvesting energy in an efficient manner, and with a continuous level, because the vibrations of the environment are sinusoidal, random or transient. However, the use of passive controls can improve the energy harvested by removing the chaotic motion of the system and maintaining the oscillation at a stable periodic orbit. Thus, two passive control strategies were employed, the first using a substructure with characteristics of nonlinear energy sink (NES), and the second by introducing a pendulum. In both cases, the simulations showed that the passive control was efficient in bringing the chaotic system to a stable periodic orbit, optimizing the energy harvest system. An analysis considering the uncertainties in the parameters was performed to verify the robustness of the control strategy, as well as the sensitivity of the control system of parametric errors. The results showed the efficiency of passive control and the energy pumping phenomenon in the suppression of the chaotic behavior. The main advantage of passive control is not to require any electronic components for controlling the system, only a mechanical component _mass_, attached to the main structure. A Wavelet Analysis was conducted on the model to identify the oscillatory behavior of the system and allowed the viewing of the vibration frequencies that harvest more energy.

Neste trabalho foi realizado um mapeamento de ferramentas analíticas para representação e tratamento computacional de Sistemas Fuzzy. Este mapeamento evidenciou a existência de relações e a adequação do uso da Teoria Fuzzy na construção de modelos para a solução de problemas envolvendo Sistemas Dinâmicos e, em particular, de Sistemas Dinâmicos Caóticos. Propôs-se uma diferenciação entre dois tipos de Sistemas Dinâmicos Fuzzy (SDF\'s) - os Sistemas Dinâmicos Fuzzy Intrínsecos (SDFI\'s) e os Sistemas Dinâmicos Fuzzy Extrínsecos (SDFE\'s). Foram utilizados SDFE\'s na modelagem Fuzzy para a solução de problemas de fixação de trajetórias em sistemas caóticos. Foram desenvolvidos Estudos de Caso que permitiram verificar, por meio de simulações em bilhares e testes em circuito de Chua (este último implementado em protótipo físico) a adequação do uso desta técnica na solução destes problemas. No desenvolvimento da Tese foram obtidas as seguintes realizações relacionadas ao circuito de Chua (CCH): Tratamento computacional sobre circuito real; Utilização de um conversor analógico-digital de oito bits seguido por filtro passa-baixas para compensar a baixa resolução na leitura dos sinais; Utilização de circuito girador para implementar o indutor do CCH; Proposta e realização de um circuito inédito para definir o resistor de controle, via porta paralela do PC, de modo simples e de fácil reprodução. Com relação aos bilhares foram obtidas as seguintes realizações: Definição de um novo tipo de bilhar (Bilhar Newtoniano de Garms & Andrade); Desenvolvimento da análise detalhada das equações de simulação dos bilhares empregados nos Estudos de Caso. Ao rediscutir-se a Lógica Seqüencial Fuzzy definiu-se e desenvolveu-se, por meio da aplicação de realimentação em Circuitos Seqüenciais Fuzzy nos Sistemas Dinâmicos, um Astável Fuzzy (oscilações não-periódicas), o qual exemplifica um SDFI. Finalmente realizaram-se algumas interpretações da Física pela Teoria Fuzzy, utilizando-se o conceito de SDFI\'s. / A mapping of analytical tools for representation and computational treatment of Fuzzy Systems was made in this thesis. This mapping evidenced the existence of relations and the adequacy of the use of the Fuzzy Theory in the models construction for the problems solution involving dynamic systems e, in particular, of chaotic systems. A differentiation was considered about two types of Fuzzy Dynamic Systems - the Intrinsic Fuzzy Dynamic Systems (IFDS) and the Extrinsic Fuzzy Dynamic Systems (EFDS). The EFDS in the Fuzzy modeling is used for the problems solution of trajectories setting in chaotic systems. Case Studies had been developed that allow to verify, by means of simulation in billiards and tests in circuit of Chua (implemented in physical prototype), the adequacy of the use of this strategy in the solution of these problems. Related with Chua circuit, can be mentioned the following achievements: Computational treatment on real circuit; Use of a 8-bits AD converter followed by lowpass filter to compensate this low resolution signals reading; Use of gyrator circuit to implement the inductor used in this circuit; Proposal and accomplishment of a circuit to define the control resistor, via PC parallel port, of simple reproduction. Related with billiards, the following achievements are mentioned: Definition of a new billiard - Garms & Andrade Newtonian Billiard; Development of detailed equations of the simulations billiards analysis. When discussing again the Sequential Logic Fuzzy, is defined and developed, by means of the application of feedback in Sequential Circuits Fuzzy in the Dynamic Systems, an Astable Fuzzy (non-periodic oscillations), which exemplifies an IFDS. Finally, some interpretations of the Physics for the Fuzzy Theory are also presented with the use of the IFDS concept.

Nas últimas décadas, vários sistemas de comunicação baseados em sincronismo caótico têm sido propostos na literatura como alternativa a sistemas de espalhamento espectral que melhoram o nível de privacidade na transmissão da mensagem. No entanto, devido à falta de robustez do sincronismo caótico, um pequeno nível de ruído ou uma simples imperfeição no canal é suficiente para impedir a comunicação. Neste trabalho, equalizadores adaptativos são utilizados para permitir a comunicação em um sistema de comunicação baseado em caos quando a resposta em frequência do canal não é ideal. São propostos algoritmos de equalização baseados em versões modificadas do algoritmo normalized least-mean-squares para a versão de tempo discreto do sistema de comunicação baseado no modelo de sincronismo de Wu e Chua. Para esses algoritmos, é calculado o intervalo para a escolha do passo de adaptação para evitar a divergência. Como geradores de sinais caóticos (GSC), são utilizados os mapas de Hénon e de Ikeda e, para a codificação da mensagem, são consideradas duas funções, sendo uma baseada na multiplicação da mensagem por um dos estados do GSC e a outra baseada na soma da mensagem com um dos estados do GSC. Os resultados de simulação indicam que os algoritmos propostos são capazes de equalizar o canal de comunicação e permitir o sincronismo caótico em diferente cenários. / In the last decades, many communication systems applying synchronism of chaotic systems have been proposed as an alternative spread spectrum modulation that improves the level of privacy in data transmission. However, due to the lack of robustness of chaos synchronization, even a low level of noise or minor channel imperfections are enough to hinder communication. In this work, adaptive equalizers are used to enable chaotic synchronization when the communication channel is not ideal. Adaptive equalization algorithms are proposed based on a modified version of the normalized least-mean-squares algorithm, considering the discrete-time version of the communication system based on Wu and Chuas synchronization model. For these algorithms, the interval for the choice of the step-size is computed, in order to avoid divergence. The Hénon and the Ikeda maps are used as chaotic signal generators (CSG) and two functions are considered to encode the message, one based on the multiplication of the message by one of the states of the CSG and the other based on the addition of the message to one of the states of the CSG. Simulation results show that the proposed algorithms can successfully equalize the channel in different scenarios.

Neste trabalho investiga-se o emprego de técnicas de estimação em sistemas de modulação digital que utilizam sinais caóticos. Inicialmente, aspectos básicos das teorias de sistemas não-lineares e de modulações digitais são revisitados seguidos de técnicas recentemente propostas de modulações digitais caóticas com receptores por correlação coerente, não-coerente e diferencial: o CSK (Chaos Shift Keying), o DCSK (Differential Chaos Shift Keying) e algumas de suas variantes, em especial o FM-DCSK (Frequency Modulated DCSK). Nessa descrição, utiliza-se a notação de equivalente passa-baixas de tempo discreto para facilitar a comparação com modulações digitais convencionais. Deduz-se o limite de Cramér-Rao para a estimação da condição inicial de órbitas caóticas em função de propriedades estatísticas do mapa que as gerou e descrevem-se dois estimadores para elas: o MLE (Maximum Likelihood Estimator) que se aplica a mapas com densidade invariante uniforme e o algoritmo de Viterbi para o qual se apresenta uma generalização a fim de aplicá-lo a uma classe maior de mapas. Por apresentar ganho de estimação maior na faixa de relação sinal-ruído de interesse, este último é utilizado em propostas de sistemas de modulação digital que utilizam estimação de órbitas para detectar o símbolo enviado: o ML-CSK (Maximum Likelihood CSK) modificado para poder usar mapas com densidade invariante não-uniforme, empregando um ou dois mapas e o ML-DCSK (Maximum Likelihood DCSK). Por simulação, avaliou-se o desempenho em termos de taxa de erro desses sistemas sob ruído branco aditivo gaussiano. / In this work, we investigate the use of estimation techniques to digital modulation systems that use chaotic signals. Initially, basic aspects of nonlinear systems and digital modulation theory are reviewed followed by currently proposed techniques of chaotic digital modulation with coherent, noncoherent and differential correlation receivers: CSK (Chaos Shift Keying), DCSK (Differential Chaos Shift Keying) and some of its variants in special FM-DCSK (Frequency Modulated DCSK). These systems are described using a discrete-time lowpass equivalent model to facilitate comparison with conventional digital modulation systems. We derive Cramér-Rao lower bounds for the estimation of the initial condition of chaotic orbits as a function of the statistical properties of the chaos generating map and describe two chaotic orbits estimators: the MLE (Maximum Likelihood Estimator) that applies only to maps with uniform invariant density and the Viterbi algorithm for which a generalization is presented that allows its application to a broader class of maps. Because of the larger estimation gains attained in the signal-to-noise ratio range of interest, the latter is used in proposed digital modulation systems that use orbit estimation to detect the transmitted symbol: ML-CSK (Maximum Likelihood CSK) modified to allow maps with nonuniform invariant density using one map or two maps and ML-DCSK (Maximum Likelihood DCSK). The performance of these systems in terms of symbol error rate is accessed via simulation under additive white gaussian noise perturbations.

Este trabalho consiste do estudo das propriedades de transporte de sistemas dinâmicos caóticos por meio do uso de técnicas de operadores de projeção. Tais sistemas podem exibir difusão determinística e relaxação para o equilíbrio. Mostramos que esse comportamento difusivo pode ser visto como uma propriedade espectral do operador de Perron-Frobenius associado. Em particular, a ressonância dominante de Policott-Ruelle é calculada analiticamente para uma classe geral de mapas que preservam área. Sua dependência do número de onda determina os coeficientes de transporte normais. Calculamos uma fórmula geral exata para o coeficiente de difusão, obtida sem qualquer aproximação de alta estocasticidade, e um novo efeito emergiu: a evolução angular pode induzir modos rápidos ou lentos de difusão mesmo no regime de alta estocasticidade. Os aspectos não-Gaussianos do transporte caótico são também investigados para esses sistemas. O estudo é realizado por meio de uma relação entre a curtose, o coeficiente de difusão e o coeficiente de Burnett de quarta ordem, os quais são calculados analiticamente. Uma escala de tempo característica que delimita os regimes Gaussiano e Markoviano para a função densidade foi estabelecida. À parte os modos acelerados, cujas propriedades cinéticas são anômalas, todo os resultados estão em excelente acordo com as simulações numéricas / This work consists in the study of the transport properties of chaotic Hamiltonian systems by using projection operator techniques. Such systems can exhibit deterministic diffusion and display an approach to equilibrium. We show that this diffusive behavior can be viewd as a spectral property of the associated Perron-Frobenius operator. In particular, the leading Pollicott-Ruelle resonance is calculated analytically for a general class of two-dimensional area-preserving maps. Its wavenumber dependence determines the normal transport coefficients. We calculate a general exact formula for the diffusion coefficient, derived without any high stochasticity approximation and a new effect emerges: the angular evolution can induce fast or slow modes of diffusion even in the high stochasticity regime. The non-Gaussian aspects of the chaotic transport are also investigated for this systems. This study is done by means of a relationship between kurtosis and diffusion coefficient and fourth order Burnett coefficient, which are calculated analytically. A characteristic time scale which delimits the Markovian and Gaussian regimes for the density function was established. Despite the accelerator modes, whose kinetics properties are anomalous, all theoretical results are in excellent agreement with the numerical simulations

Investigaremos algumas propriedades dinâmicas e de transporte para um conjunto de partículas clássicas não interagentes em diversos sistemas físicos. Os sistemas descritos aqui, em sua maioria, apresentam estrutura mista no espaço de fase no sentido de que curvas invariantes do tipo spanning, mares de caos e ilhas periódicas estão presentes. A descrição de cada sistema será feita utilizando mapeamentos discretos não lineares. Detalharemos a forma de obter os mapeamentos assim como discutiremos algumas de suas propriedades dinâmicas. Expoentes de Lyapunov serão utilizados para caracterizar a região de caos nos sistemas. Hipóteses de escala são usadas para provar que certos observáveis, por exemplo a energia média ao longo de mares de caos, são invariantes de escala. Consideraremos também que quando uma partícula, ou de forma equivalente um conjunto delas atinge uma determinada altura no espaço de fases, ela pode escapar. Ao estudar o escape de partículas, vemos que o histograma do número de partículas que atingem uma certa altura (ou energia) h no espaço de fases em uma dada iterada n, ao qual observamos ser invariante de escala, cresce rapidamente até atingir um máximo e então tende à zero para n grande. Quando a altura h varia proporcionalmente a posição da primeira curva invariante spanning, podemos confirmar uma invariância de escala do histograma de frequências. O mesmo ocorre para a probabilidade de sobrevivência da partícula à dinâmica. Neste contexto, abordaremos os seguintes problemas: (1) Um guia de ondas senoidalmente corrugado; (2) Uma família de mapas Hamiltonianos bidimensionais que recupera diversos modelos; (3) Partículas confinadas em uma caixa com potenciais infinitos nas bordas e contendo em seu interior um poço de potencial dependente periodicamente do tempo; (4) Analisaremos um bilhar ovóide com dependência temporal introduzida através de giro, onde para certas condições observamos que este não apresenta um aparente crescimento ilimitado de energia (aceleração de Fermi), desta forma sendo um possível contra-exemplo da conjectura LRA. Esta tese é um resumo de 8 artigos que foram publicados em revistas internacionais. / We investigate some dynamical and transport properties for a set of non-interacting classical particles. The systems here described, for the most part, present mixed structure in the phase space in the sense that invariant spanning curves, chaotic seas and periodic islands are present. The dynamics of each model is described by using non-linear mappings. We show all the details to construct the mappings and discuss some of their dynamical properties including fixed points stability among others. Lyapunov exponents will be obtained to characterize the chaotic dynamics observed in the phase space. Moreover some scaling hypotheses are used to prove that certain observables, including the average energy, are scaling invariant. We consider also that when a particle or an ensemble of them reach a certain portion of the phase space, they can escape. When studying the escape, we see that the histogram for the number of particles that reach certain height (or energy) h in the phase space for the iteration n, for which we observe to be scaling invariant, grows quickly until reaching a maximum and then goes towards zero for large enough n. When changing the height h proportionally to the position of the first invariant spanning curve, we can confirm the scaling invariance. The same happens for the survival probability for a particle in the chaotic dynamics. In this way, we will discuss the following problems: (1) A corrugated waveguide; (2) A family of two-dimensional Hamiltonian mappings which can reproduce different scaling exponents; (3) Particles confined to bounce in the interior of a time-dependent potential well; (4) We will analyse a rotating oval billiard, where for certain conditions we observed that this system does not present the unbounded energy growth (Fermi acceleration), in this way it is a possible counterexample of the LRA conjecture. This thesis is as summary of eight papers already published.

Este trabalho apresenta um estudo acerca dos principais parâmetros que caracterizam o fenômeno da biestabilidade em dois tubos dispostos lado a lado submetidos a escoamento cruzado turbulento. A técnica experimental da anemometria de fio quente em canal aerodinâmico é aplicada na medição das flutuações de velocidade do escoamento após os tubos. As séries temporais obtidas são utilizadas como dados de entrada para determinação das funções densidade de probabilidade (PDF) usando um modelo de mistura finita, de acordo com uma função t de Student assimétrica e com o auxílio do método de Monte Carlo. Transformadas de ondaletas discretas e contínuas são aplicadas na filtragem das séries temporais para determinadas bandas de frequências e na análise do conteúdo de energia destes sinais. Através de conceitos de sistemas caóticos, é realizada a reconstrução do atrator do problema pelo método dos atrasos temporais, a partir das séries experimentais de velocidade, permitindo a determinação da dimensão de imersão e o cálculo do maior expoente de Lyapunov. Os resultados mostram a existência de dois patamares distintos de velocidade média nas séries temporais, correspondentes aos dois modos do escoamento, cada qual com números de Strouhal e funções densidade de probabilidade distintas. Uma análise conjunta das componentes axial e transversal do escoamento e suas PDF indicam as regiões no plano de medições onde o fenômeno se manifesta, sendo que reconstruções da trajetória filtrada das séries temporais para determinadas bandas de frequências apresentam características caóticodeterminísticas. O maior expoente de Lyapunov das séries experimentais é positivo, o que é um indício de comportamento caótico. / This work presents a study of the main parameters that characterize the phenomenon of bistability in two tubes placed side by side submitted to turbulent crossflow. The experimental technique of hot wire anemometry in aerodynamic channel is applied in the measurement of velocity fluctuations of the flow after the tubes. The time series obtained are used as input data for determining the probability density functions (PDF) using a finite mixture model, according to an asymmetric Student t function and with the aid of a Monte Carlo method. Wavelet transforms are applied in discrete and continuous filtering of time series for certain frequency bands and in the analysis of the energy content of these signals. By means of chaotic systems concepts, the attractor reconstruction of the problem is performed using the method of time delays from the experimental series of velocity, allowing the determination of the embedding dimension and calculating the largest Lyapunov exponent. The results show the existence of two different levels of mean velocity in time series, corresponding to two flow modes, each one with different Strouhal numbers and probability density functions. A joint analysis of axial and transverse components of flow and its PDF indicate the regions in the measurement plan where the phenomenon is manifested, and reconstructions of the trajectory of the filtered time series for certain frequency bands have chaotic-deterministic characteristics. The largest Lyapunov exponent of experimental series is positive, which is an indication of chaotic behavior.

A caracterização estática dos sistemas caóticos clássicos dissipativos tem sido realizada através do cálculo das dimensões generalizadas \'D IND. q\' e do espectro de singularidades f(alfa). Os métodos mais comuns de cálculo numérico dessas funções utilizam algoritmos de contagem de caixa. Porém, esses algoritmos produzem um erro sistemático através de \'caixas espúrias\', levando a resultados distorcidos. Por essa razão, estudamos métodos numéricos que não utilizam o algoritmo de contagem de caixa, verificando em que casos eles podem ser aplicados eficazmente e propusemos um novo algoritmo de contagem de caixa que reduz o número de \'caixas espúrias\', obtendo melhores resultados. / The static caracterization of classical dissipative chaotical systems has been achieved by the calculation of the generalized dimensions \'D IND. q\' and the spectrum of singularities f(alfa). The most used numerical methods of evaluating these functions are based on box counting algorithms. The results obtained by those methods are distorced by the presence of \'spurious boxes\' generated intrinsecally by these algorithms. For this reason, we have studied numerical methods that don\'t use box counting algorithms, and we have tried to verify in which kind of sets they give best results. We also have proposed a new box counting algorithm that reduces the number of \'spurious boxes\', and led to better results.

Processos aleatórios de corrosão e fadiga reduzem lentamente a resistência de estruturas e componentes estruturais, provocando um aumento gradual nas probabilidades de falha. A gestão do risco de falha de componentes sujeitos a corrosão e/ou fadiga é feita através de políticas de inspeção, manutenção e substituição, atividades que implicam em custos, mas visam manter a confiabilidade em níveis aceitáveis, enquanto o componente permanecer em operação. Aparentemente, os objetivos economia e segurança competem entre si, no entanto, a redução de recursos para inspeção e manutenção pode levar a maiores e crescentes probabilidades de falha, implicando em maiores custos esperados de falha, ou seja, maior risco. A otimização de risco estrutural é uma formulação que permite equacionar este problema, através do chamado custo esperado total. Nesta Tese, a otimização de risco é utilizada no intuito de encontrar políticas ótimas de inspeção e manutenção, isto é, quantidades de recursos a serem alocadas nestas atividades que levem ao menor custo esperado total possível. Os processos de corrosão e fadiga são representados através de modelos em polinômios de caos, construídos de maneira inédita, com base em dados experimentais ou observados da literatura. Com base nestes modelos, os problemas de otimização de risco envolvendo processos de fadiga e corrosão são resolvidos para diferentes configurações de custos de falha e de inspeções. Verifica-se que as políticas ótimas de inspeção, manutenção e substituição podem ser bastante diferentes para configurações de custo distintas, e que a determinação destas políticas é bastante desafiadora, devido, dentre outros fatores, à grande quantidade de mínimos locais do problema de otimização em questão, causadas por descontinuidades e oscilações da função custo esperado total. / Random corrosion and fatigue processes reduce slowly but gradually the resistance of structures and mechanical components, leading to gradual increase in failure probabilities. Risk management for mechanical components subject to corrosion and fatigue is made by means of policies of inspection, maintenance and substitution. These activities imply costs, but are made to maintain the reliability at acceptable levels, while the component remains in operation. Apparently, economy and safety are competing objectives; however, reduction in inspection and maintenance spending may lead to larger failure probabilities, increasing expected costs of failure (risk). Risk optimization allows one to solve this problem, by means of the so-called total expected cost. In this Thesis, risk optimization is used in order to find the best inspection and maintenance policy, i.e., the proper amount of resources to allocate to such activities in order to obtain minimum total expected cost. Corrosion and fatigue are modeled by means of polynomial chaos expansions, using a novel approach developed herein and experimental or observed data obtained from the literature. These models are employed within two risk optimization problems, solved for different failure and inspection cost configurations. Results show that the optimal policies of inspection, maintenance and replacements can be very different, for different cost configurations, and that the solution of the associated risk optimization problems is a very challenging task, due to the large number of local minima, caused by discontinuities and fluctuations in the total expected costs.

The primary objective of this study is to develop new computational methods for solving a general random eigenvalue problem (REP) commonly encountered in modeling and simulation of high-dimensional, complex dynamic systems. Four major research directions, all anchored in polynomial dimensional decomposition (PDD), have been defined to meet the objective. They involve: (1) a rigorous comparison of accuracy, efficiency, and convergence properties of the polynomial chaos expansion (PCE) and PDD methods; (2) development of two novel multiplicative PDD methods for addressing multiplicative structures in REPs; (3) development of a new hybrid PDD method to account for the combined effects of the multiplicative and additive structures in REPs; and (4) development of adaptive and sparse algorithms in conjunction with the PDD methods. The major findings are as follows. First, a rigorous comparison of the PCE and PDD methods indicates that the infinite series from the two expansions are equivalent but their truncations endow contrasting dimensional structures, creating significant difference between the two approximations. When the cooperative effects of input variables on an eigenvalue attenuate rapidly or vanish altogether, the PDD approximation commits smaller error than does the PCE approximation for identical expansion orders. Numerical analysis reveal higher convergence rates and significantly higher efficiency of the PDD approximation than the PCE approximation. Second, two novel multiplicative PDD methods, factorized PDD and logarithmic PDD, were developed to exploit the hidden multiplicative structure of an REP, if it exists. Since a multiplicative PDD recycles the same component functions of the additive PDD, no additional cost is incurred. Numerical results show that indeed both the multiplicative PDD methods are capable of effectively utilizing the multiplicative structure of a random response. Third, a new hybrid PDD method was constructed for uncertainty quantification of high-dimensional complex systems. The method is based on a linear combination of an additive and a multiplicative PDD approximation. Numerical results indicate that the univariate hybrid PDD method, which is slightly more expensive than the univariate additive or multiplicative PDD approximations, yields more accurate stochastic solutions than the latter two methods. Last, two novel adaptive-sparse PDD methods were developed that entail global sensitivity analysis for defining the relevant pruning criteria. Compared with the past developments, the adaptive-sparse PDD methods do not require its truncation parameter(s) to be assigned a priori or arbitrarily. Numerical results reveal that an adaptive-sparse PDD method achieves a desired level of accuracy with considerably fewer coefficients compared with existing PDD approximations.