Les travaux de recherche de ce mémoire porte sur l'étude d'une classe particulière de systèmes dynamiques hybrides (s.d.h.) à commutations autonomes, ces dernières étant engendrées par un phénomène d'hystérésis. Plus particulièrement, après avoir introduit le système mathématique étudié, une analyse de cette classe de s.d.h. est réalisée avec notamment une étude des cycles li- mites (équations qui les déterminent, stabilité, conditions d'existence) et des phénomènes de bifurcations (noeud selle, doublement de période). L'existence de propriétés caractéristiques des systèmes chaotiques comme la sensibilité aux conditions initiales est également mise en avant de façon graphique et calculatoire (exposants de Lyapunov). Enfin, une partie optimisation paramétrique a aussi été traitée dans le but d'améliorer certaines performances du système. Tous ces résultats théoriques sont appliqués à un système thermique (thermostat à résistance d'anticipation) et à un système électronique (convertisseur statique) à l'aide du calcul formel (Maple), de l'analyse par intervalles (Proj2D) et de simulations numériques (Matlab).

Le laser à cavité verticale émettant par la surface (VCSEL ou Vertical-Cavity Surface-Emitting Laser) comporte des avantages compétitifs par rapport aux lasers émettant par le côté. Notamment, l'émission par la surface permet la fabrication de matrices bidimensionnelles de VCSELs intéressants pour les réseaux d'interconnexion et le routage tout optique. Le VCSEL présente souvent deux modes polarisation linéaire orthogonaux avec des fréquences et des gains optiques presque identiques. Dès lors, de faibles perturbations telles que des modifications du courant d'injection ou de la température peuvent facilement induire des basculements de polarisation. Toutefois, en utilisant un schéma d'injection optique, il est possible de contrôler ces instabilités de polarisation.<br />Nous nous intéressons au contrôle du basculement de polarisation ainsi que la compétition des modes transverses d'un VCSEL soumis à injection optique de polarisation orthogonale. Nous montrons expérimentalement et théoriquement la dynamique de basculement de polarisation dans le plan des paramètres d'injection (puissance injectée et désaccord en fréquence entre le laser maître et le VCSEL) implique des dynamiques non linéaires telles le mélange d'ondes, les cycles limites ainsi qu'une route de doublement de période vers le chaos optique. L'analyse des bifurcations sous-jacentes nous a permet de dresser une cartographie de la dynamique de basculement de polarisation du VCSEL.<br />Dans notre thèse, nous étudions également la synchronisation du chaos de VCSELs dans un schéma de couplage unidirectionnel. Nous montrons que la compétition des modes de polarisation linéaire orthogonaux affecte la qualité de la synchronisation du chaos. Ces résultats sont intéressants dans le cadre du développement récent de liaisons de communication sécurisée par chaos optique.

Au cours de cette thèse, nous avons étudié deux problèmes spécifiques de chaos quantique. D'abord, nous avons confirmé le modèle de percolation critique pour décrire statistiquement les lignes nodales des fonctions d'onde de systèmes classiquement chaotiques. Dans ce but, les lignes ont été décrites à l'aide d'un processus de Schramm-Loewner et notre étude numérique concorde avec le récent théorème liant ce processus et la percolation au seuil critique. Dans une seconde partie nous avons généralisé les résultats connus en chaos quantique sur les billards fermés aux cavités diélectriques ouvertes. Nous avons donné des formules générales pour une légère pertubation d'une cavité circulaire et proposé une généralisation de formule de trace pour ces systèmes. En particulier nous donnons les premiers termes de la série de Weyl pour compter le nombre de résonances d'une cavité diélectrique. Ces résultats sont en accord avec les mesures expérimentales et nos calculs numériques. Ces deux études montrent le caractère fondamental et transversal des techniques du chaos quantique pour les problèmes actuels.

Cette thèse s'intéresse au contrôle des convertisseurs statiques d'interface entre une pile à combustible et sa charge<br />électrique.<br />Après avoir établi la caractéristique tension-courant des piles à combustible dont la forme justifie l'utilisation de<br />convertisseurs statiques, les structures à conversion continu-continu sont analysées en s'attardant sur la structure<br />élévatrice de base et sur la mise en parallèle de plusieurs d'entre elles. Cette dernière est une réponse satisfaisante<br />au caractère fort courant/basse tension des piles à combustible. Deux modes de réalisation des inductances du<br />convertisseur sont considérés. Pour le premier, les inductances sont indépendantes. Pour le deuxième, elles sont<br />réalisées sur le même circuit magnétique.<br />Un régulateur hybride de courant est ensuite proposé pour le contrôle du convertisseur continu-continu. Celui-ci<br />autorise une variation importante de la tension d'entrée comme c'est le cas en sortie d'une pile à combustible. Le<br />régulateur fonctionne à fréquence fixe et englobe les propriétés de trois modes de commande, la commande par<br />mode de glissement pour bénéficier de sa robustesse et les commandes de type commande à l'amorçage et au<br />blocage, afin de pouvoir assurer un fonctionnement correct du système, quelle que soit la valeur du rapport<br />cyclique. La stabilité du système au sens des valeurs moyennes basse et haute fréquences est considérée. Le<br />modèle moyen ne permettant pas d'étudier la nature exacte du cycle décrit par la trajectoire d'état du système, un<br />outil basé sur le calcul des multiplieurs de Floquet est élaboré. Il a permis de souligner la robustesse du régulateur<br />vis-à-vis de variations de l'inductance du convertisseur et de la tension d'alimentation de celui-ci.

Ce mémoire a pour objectif d'étudier la stabilité de systèmes dynamiques chaotiques à partir de la structure géométrique de leurs attracteurs dont une partie s'appuie sur une variété appelée variété lente. Dans ce but, une nouvelle approche basée sur certains aspects du formalisme de la Mécanique du Point et de la Géométrie Différentielle a été développée et a conduit à une interprétation géométrique et cinématique de l'évolution des courbes trajectoires, intégrales de ces systèmes dynamiques au voisinage de la variété lente.<br /><br />L'utilisation du formalisme de la Mécanique du Point a permis, grâce à l'emploi des vecteurs, vitesse et accélération instantanées attachées à un point courant de la courbe trajectoire, de discriminer le domaine lent du domaine rapide et de situer la position de la variété lente à l'intérieur de l'espace des phases. <br /><br />Certaines notions de Géométrie Différentielle, comme la courbure, la torsion et le plan osculateur, ont fourni une équation analytique de la variété lente indépendante des vecteurs propres lents du système linéaire tangent, donc définie sur un plus grand domaine de l'espace des phases. <br /><br />La variété lente a alors été envisagée comme le lieu des points où la courbure des courbes trajectoires, intégrales de ces systèmes dynamiques, est minimum (en dimension deux ce minimum devient égal à zéro). Le signe de la torsion a permis, de caractériser son attractivité et, de discriminer la partie attractive de la partie répulsive de la variété lente et de statuer sur la stabilité de ces courbes trajectoires.<br /><br />Ainsi, la présence dans l'espace des phases d'une variété lente attractive qui contraint les courbes trajectoires, intégrales du système dynamique à visiter son voisinage permet d'étudier la structure de l'attracteur.<br /><br />Cette approche basée sur certains aspects du formalisme de la Mécanique du Point et de la Géométrie Différentielle et qui s'est accompagnée de l'élaboration de programmes numériques a permis de constituer un nouvel outil d'investigation des systèmes dynamiques chaotiques.<br /><br />Son application à des modèles de référence comme celui de B. Van der Pol, de L.O. Chua ou d'E.N. Lorenz a permis d'obtenir plus directement et avec précision l'équation analytique de leur variété lente. De plus, une étude détaillée des modèles de type prédateur-proie comme celui de Rosenzweig-MacArthur ou d'Hastings-Powell, a conduit d'une part à la détermination de leur variété lente et d'autre part à la conception d'un nouveau modèle de type prédateur-proie à trois espèces appelé Volterra-Gause dont l'attracteur chaotique a la forme d'un escargot (chaotic snail shell).

La dynamique quantique dans un potentiel périodique a fait l'objet de nombreuses études depuis les travaux de Bloch, dans les années 30, portant sur la dynamique des électrons dans un solide cristalisé. Cette dynamique est expérimentalement observable à l'aide d'atomes refroidis. L'utilisation de potentiels optiques permet de synthétiser, de façon très souple, des formes variées de potentiels, périodique, stationnaire ou dépendant du temps. Outre la grande variété de potentiels accessibles, l'atout majeur présenté par ces systémes est l'absence de dissipation et de processus de décohérence. Le travail présenté s'inscrit dans cette perspective et propose une description théorique, simple et analytique, de la dynamique quantique dans un potentiel périodique dépendant du temps. Il est connu depuis les travaux de Zener (1934), que la dynamique quantique dans un potentiel périodique en escalier, contrairement à l'intuition classique, est un mouvement d'oscillations nommé Oscillations de Bloch. Nous montrons que lors d'une modulation harmonique du potentiel des phénomènes de résonance apparaissent entre la fréquence de modulation et la fréquence des oscillations de Bloch et engendrent un transport de la particule dans le réseau. Cette dynamique est alors interprétée comme une interférence quantique mettant ainsi en exergue le role fondamental des cohérences quantiques de l'état initial. La réalisation expérimentale récente (1995) de la condensation de Bose Einstein d'un gaz atomique permet d'obtenir un état quantique cohérent mésoscopique. Récemment, des oscillations de Bloch ont été observées à l'aide de tels Ètats. Nous montrons que, outre ces oscillations, le condensat dans un potentiel périodique en escalier présente des régimes dynamiques chaotiques. Notre description introduit une base d'états adaptée et nous pouvons alors décrire la dynamique comme une évolution hamiltonienne classique portant sur les amplitudes et phases des états introduits. Les couplages non-linÈaires entre les différents états engendrent, pour certains états initiaux, des dynamiques chaotiques au sens classique bien que le condensat de Bose Einstein soit un objet quantique.

Le sujet de la thèse se situe dans le cadre de l'étude des équations différentielles ordinaires et des systèmes dynamiques non linéaires. La thèse présente une étude des attracteurs des systèmes dynamiques dissipatifs. En particulier, l'attracteur chaotique de Lorenz et les cycles limites des systèmes de Liénard. La première partie est dédiée au système de Lorenz. Ce système est obtenu par simplication des équations de Boussinesq fourmulées dans la cadre de la convection de Rayleigh-Bénard. Le système de Lorenz est important car il est le premier à avoir exhibé un comportement chaotique. On utilise des sections transverses (courbes ou surfaces qui ne sont traversées par le flot que dans un seul sens sur toute leur étendue) pour acquerir de l'information sur l'attracteur chaotique du système. Pour cela, on utilise les formes algébriques des intégrales du mouvement pour trouver des équations de sections tranverses. L'existance des ces sections transverses pour des plages de valeurs des paramètres nous permet de donner des limites algébriques à l'attracteur chaotique du systeme quand celui ci existe mais aussi de donner des plages de valeur des paramètres pour lesquelles il n'y a pas de comportement chaotique possible. La deuxième partie de la thèse présente un algorithme formel qui donne accès au nombre de cycles limites des systèmes de Liénard. En plus du nombre, on obtient une approximation algébrique de l'equation ainsi que la multiplicité de chacun de ces cycles. Le grand intérêt de cet algorithme est qu'il ne repose pas sur l'existence d'un petit paramètre (l'algorithme n'est pas perturbatif) et qu'il change le problème initial de résoudre une équation differentielle nonlinéaire en un problème algébrique de compter les racines d'un polynôme à une variable. On obtient aussi grâce à cet algorithme des approximations algébriques des courbes de bifurcations (de Hopf, saddle-node, hétérocline) des systèmes de Liénard.

Ce travail porte sur l'tude de l'coulement d'une phase lamellaire lyotrope et plus particulirement d'une transition de texture induite par le cisaillement. Au voisinage de cette transition, des comportements dynamiques sont observs : une contrainte fixe, la structure du fluide ainsi que le taux de cisaillement oscillent en phase sur des priodes de temps extrmement longues (environ 10 minutes). Ces comportements temporels appels "rhochaos" ont t analyss l'aide de la thorie des systmes dynamiques. Cette tude montre que les phnomnes observs ne correspondent pas du chaos dterministe de basse dimensionnalit. Ce rsultat est ensuite confirm par l'tude locale de l'coulement au voisinage de la transition l'aide d'une technique de vlocimtrie locale : la diffusion dynamique de la lumire en gomtrie htrodyne. Nous montrons alors que les dynamiques temporelles du taux de cisaillement rsultent d'une structuration spatio-temporelle de l'coulement.

Nous étudions des équations aux dérivées partielles non linéaires du type McKean-Vlasov. Nous leur associons des systèmes de particules en interaction de type champ moyen pour lesquels nous établissons des inégalités de Sobolev logarithmiques à temps fini. Grâce à un résultat supplémentaire de propagation du chaos, nous déduisons, dans certains cas, le comportement en temps long de l'équation non linéaire en fonction de celui du système de particules. Enfin, nous établissons des intervalles de confiance exacts pour la convergence de méthodes de Monte-Carlo pour les schémas d'Euler explicites et implicites associés à des processus de diffusion. Ces résultats s'appliquent notamment pour les systèmes de particules cités plus haut.

Dans cette thèse nous nous concentrons sur l'établissement de certains théorèmes limite et l'approximations probabilistes. Un théorème limite est un résultat indiquant que la structure à grande échelle de certains systèmes aléatoires peut être véritablement approchée par une distribution de probabilité typique. Les exemples classiques sont le Théorème Central Limite , le principe d'invariance de Donsker, etc. D'autre part, nous appelons approximation probabiliste toute formalation mathématique permettant d'évaluer des distances entre les lois de deux éléments aléatoires. Lorsque l'une des distributions est gaussienne, on parle d'approximation normale. Le TCL et l'approximation normale associée sont l'un des thèmes récurrents de toute la théorie des probabilités. Au cours des cinq dernières années, I. Nourdin, G. Peccati et d'autres auteurs ont développé une nouvelle théorie d'approximations normales et non normales pour des variables aléatoires sur l'espace de Wiener, qui est basée sur l'utilisation d'un calcul de variations de dimension infinie, connu sous le nom de ''calcul de Malliavin'', ainsi que la célèbre ''méthode de Stein'' pour les approximations probabilistes. Leur travail généralise les résultats précédents par D. Nualart et G. Peccati à propos de théorèmes limite portant sur les chaos de Wiener. Après cela, G. Peccati, J. L. Solé, M.S. Taqqu et F. Utzet ont étendu cette méthode pour obtenir des approximations normales sur l'espace de Poisson. L'objectif de cette thèse est d'obtenir des TCLs multi-dimensionnels sur l'espace de Poisson, ainsi que plusieurs extensions.