This thesis is concerned with the theory of invariant bilinear differential pairings on parabolic geometries. It introduces the concept formally with the help of the jet bundle formalism and provides a detailed analysis. More precisely, after introducing the most important notations and definitions, we first of all give an algebraic description for pairings on homogeneous spaces and obtain a first existence theorem. Next, a classification of first order invariant bilinear differential pairings is given under exclusion of certain degenerate cases that are related to the existence of invariant linear differential operators. Furthermore, a concrete formula for a large class of invariant bilinear differential pairings of arbitrary order is given and many examples are computed. The general theory of higher order invariant bilinear differential pairings turns out to be much more intricate and a general construction is only possible under exclusion of finitely many degenerate cases whose significance in general remains elusive (although a result for projective geometry is included). The construction relies on so-called splitting operators examples of which are described for projective geometry, conformal geometry and CR geometry in the last chapter. / http://proxy.library.adelaide.edu.au/login?url= http://library.adelaide.edu.au/cgi-bin/Pwebrecon.cgi?BBID=1339548 / Thesis (Ph.D.) - University of Adelaide, School of Mathematical Sciences, 2008

La géométrie de Cauchy-Riemann, CR en abrégé, est la géométrie naturelle des hypersurfaces réelles pseudoconvexes de $C^{n+1}$, lorsque $ngeq 1$. Nous considérons le cas générique où les variétés CR considérées sont de contact. La géométrie CR présente de nombreuses similarités avec la géométrie conforme ; les invariants mis au jour et les techniques éprouvées en géométrie conforme peuvent donc être adaptées dans ce contexte. Nous nous intéressons dans cette thèse à deux invariants de ce type. Dans une première partie, en utilisant la géométrie asymptotiquement hyperbolique complexe, nous introduisons un opérateur différentiel CR covariant agissant sur les applications allant d'une variété CR vers une variété riemannienne, égal pour les fonctions à l'opérateur de Paneitz CR. Dans une seconde partie, nous proposons un invariant de Yamabe pour les variétés de contact admettant une structure CR, et nous étudions son comportement sous somme connexe. / Cauchy-Riemann geometry, CR for short, is the natural geometry of real pseudoconvex hypersurfaces of $C^{n+1}$ for $ngeq 1$. We consider the generic case when CR manifolds are contact manifolds. CR geometry presents strong analogies with conformal geometry; hence, known invariants and techniques of conformal geometry can be transported to that context. We focus in this thesis on two such invariants. In a first part, using asymptotically complex hyperbolic geometry, we introduce a CR covariant differential operator on maps from a CR manifold to a Riemannian manifold, which coincides on functions with the CR Paneitz operator. In a second part, we propose a Yamabe invariant for contact manifolds which admit a CR structure, and we study its behaviour under connected sum.

Title: Symmetries of the CR sub-Laplacian Author: Zuzana Vlasáková Department: Charles University Institute of Mathematics Supervisor: Prof. RNDr. Vladimír Souček, DrSc. Author's e-mail address: zuzana.kasarova@email.cz Supervisor's e-mail address: soucek@karlin.mff.cuni.cz Abstract: The aim of this work is to characterize the vector space of symme- try operators of the CR sub-Laplacian. To do this, we define a CR structure on some distinguished submanifold of Cn+1 (it is in fact the big cell in the CR sphere) and write down the CR sub-Laplacian on it. We also define the symmetries of the CR sub-Laplacian in general and using the ambient con- struction, which we introduce in the sequel, we construct all of them. Keywords: CR geometry, CR sub-Laplacian, symmetries of differential op- erator. 1

Cette thèse étudie l'utilisation de certains invariants asymptotiques en géométrie conforme et géométrie CR.La première partie est consacrée à la géométrie conforme. Nous calculons les premiers termes du développement asymptotique de la fonction de Green des opérateurs GJMS au voisinage de la diagonale, pour un facteur conforme normal au sens de Lee et Parker. Nous montrons que le terme constant de ce développement est covariant sous un changement de facteur conforme normal. Nous le rattachons à un invariant à l'infini de type masse ADM d'une métrique non compacte obtenue par projection stéréographique.La deuxième partie est consacrée à la géométrie CR. Nous calculons les premiers termes du développement asymptotique de la fonction de Green de l'opérateur de Yamabe CR au voisinage de sa singularité,dans le cas CR sphérique, et en dimension 3 dans une carte CR-normale au sens de Jerison et Lee, lorsque la constante de Yamabe-CR est strictement positive. Nous montrons la covariance pseudo-conforme du terme constant sous les changements de cartes respectivement CR-sphériques et CR-normales.La troisième partie donne une explication formelle à une annulation algébrique sur laquelle repose la définition de plusieurs invariants à l'infini de type masse ADM, qui n'avait pu jusqu'à présent qu'être constatée par un calcul direct. / In this thesis we study the use of some asymptotic invariants in conformal and CR geometry.The first chapter is devoted to conformal geometry. We compute an asymptotic expansion ofthe Green function of GJMS operators near the diagonal, for a normal conformal factorin the sense of Lee and Parker. We show that the constant term in this expansion is covariant through achange of normal conformal factor. We relate it to an invariant at infinity of the type of the ADM massof a non-compact metric obtained by some kind of stereographic projection.In the second chapter we study CR geometry. We compute the first terms of the asymptotic expansion of the Greenfunction of the Yamabe-CR operator near its singularity, when the Yamabe-CR constant is positive, in the CR-sphericalcase, and in dimension 3 in a CR-normal chart in the sense of Jerison and Lee.We show the pseudo-conformal covariance of the constant term in this asymptotic expansion through a change of spherical chart andof CR-normal chart respectively.In the third chapter we give a formal explanation to an algebraic cancellationon which the defintion of some invariants at infinity such as the ADM mass relies.

In dieser Dissertation beschäftigen wir uns mit angepassten Zusammenhängen und ihren (horizontalen) Dirac-Operatoren auf strikt pseudokonvexen CR-Mannigfaltigkeiten. Einen Zusammenhang nennen wir dann angepasst, wenn er die relevanten Daten parallelisiert. Wir beschreiben den Raum der angepassten Zusammenhänge, indem wir ihre Torsionstensoren studieren, von denen gewisse Teile durch die Geometrie der Mannigfaltigkeit festgelegt sind, während andere frei wählbar sind. Als Anwendung betrachten wir die Eigenschaften der Dirac-Operatoren, die zu diesen Zusammenhängen gehören. Weiter betrachten wir horizontale Dirac-Operatoren, die nur in Richtung des horizontalen Bündels H ableiten. Diese Operatoren sind besser an die Sub-Riemannsche Struktur einer CR-Mannigfaltigkeit angepasst als die vollen Dirac-Operatoren. Wir diskutieren, wann diese Operatoren formal selbstadjungiert sind und beweisen eine Weitzenböck-Typ-Formel. Wir konzentrieren uns dann auf den horizontalen Dirac-Operator zum Tanaka-Webster-Zusammenhang. Dieser ändert sich konform kovariant, wenn wir die Kontaktform konform ändern. Für diesen Operator betrachten wir weiterhin zwei Beispiele: Wir betrachten S^1-Bündel über Kähler-Mannigfaltigkeiten, insbesondere berechnen wir für Sphären einen Teil des Spektrums. Außerdem betrachten wir kompakte Quotienten der Heisenberggruppe und berechnen hier in den Dimensionen 3 und 5 das volle Spektrum. Die horizontalen Dirac-Operatoren sind nicht mehr elliptisch, sondern „elliptisch in Richtung von H“. Mithilfe des Heisenbergkalküls stellen wir fest, dass die horizontalen Dirac-Operatoren nicht hypoelliptisch sind. Im Fall des Tanaka-Webster-Zusammenhangs lässt sich aber zeigen, dass der zugehörige Operator auf gewissen Teilen des Spinorbündels hypoelliptisch ist. Dies genügt, um zu beweisen, dass er (nun auf dem gesamten Spinorbündel) ein reines Punktspektrum hat und die Eigenräume, bis auf den Kern, endlich-dimensional sind und aus glatten Eigenspinoren bestehen. / In the present thesis, we study adapted connections and their (horizontal) Dirac operators on strictly pseudoconvex CR manifolds. An adapted connection is one that parallelises the relevant data. We describe the space of adapted connections through their torsion tensors, certain parts of which are determined by the geometry of the manifold, while others may be freely chosen. As an application, we study the properties of the Dirac operators induced by these connections. We further consider horizontal Dirac operators, which only derive in the direction of the horizontal bundle H. These operators are more adapted to the essentially sub-Riemannian structure of a CR manifold than the full Dirac operators. We discuss the question of their self-adjointness and prove a Weitzenböck type formula for these operators. Focusing on the horizontal Dirac operator associated with the Tanaka-Webster connection, we show that this operator changes in a covariant way if we change the contact form conformally. Moreover, for this operator we discuss two examples: On S^1-bundles over Kähler manifolds, we can compute part of the spectrum and for compact quotients of the Heisenberg group, we determine the whole spectrum in dimensions three and five. The horizontal Dirac operators are not elliptic, but rather "elliptic in some directions". We review the Heisenberg Calculus for such operators and find that in general, the horizontal Dirac operators are not hypoelliptic. However, in the case of the Tanaka-Webster connection, the associated horizontal Dirac operator is hypoelliptic on certain parts of the spinor bundle and this is enough to prove that its spectrum consists only of eigenvalues and except for the kernel, the corresponding eigenspaces are finite-dimensional spaces of smooth sections.

La première partie présente des calculs explicites de terminaison effective de l'algorithme de Kohn proposée par Siu. Dans la deuxième partie, nous étudions la géométrie des hypersurfaces réelles dans Cⁿ, et nous calculons des invariants explicites avec la méthode d'équivalences de Cartan pour déterminer les lieux CR-ombilics. / The first part of the thesis consists of calculations around Siu's effective termination of Kohn's algorithm. The second part of the thesis studies the CR real hypersurfaces in complex spaces and calculates various explicit invariants using Cartan's equivalence method to study CR-umbilical points.