We study a natural Dirac operator on a Lagrangian submanifold of a Kähler manifold. We first show that its square coincides with the Hodge - de Rham Laplacian provided the complex structure identifies the Spin structures of the tangent and normal bundles of the submanifold. We then give extrinsic estimates for the eigenvalues of that operator and discuss some examples.

In dieser Dissertation beschäftigen wir uns mit angepassten Zusammenhängen und ihren (horizontalen) Dirac-Operatoren auf strikt pseudokonvexen CR-Mannigfaltigkeiten. Einen Zusammenhang nennen wir dann angepasst, wenn er die relevanten Daten parallelisiert. Wir beschreiben den Raum der angepassten Zusammenhänge, indem wir ihre Torsionstensoren studieren, von denen gewisse Teile durch die Geometrie der Mannigfaltigkeit festgelegt sind, während andere frei wählbar sind. Als Anwendung betrachten wir die Eigenschaften der Dirac-Operatoren, die zu diesen Zusammenhängen gehören. Weiter betrachten wir horizontale Dirac-Operatoren, die nur in Richtung des horizontalen Bündels H ableiten. Diese Operatoren sind besser an die Sub-Riemannsche Struktur einer CR-Mannigfaltigkeit angepasst als die vollen Dirac-Operatoren. Wir diskutieren, wann diese Operatoren formal selbstadjungiert sind und beweisen eine Weitzenböck-Typ-Formel. Wir konzentrieren uns dann auf den horizontalen Dirac-Operator zum Tanaka-Webster-Zusammenhang. Dieser ändert sich konform kovariant, wenn wir die Kontaktform konform ändern. Für diesen Operator betrachten wir weiterhin zwei Beispiele: Wir betrachten S^1-Bündel über Kähler-Mannigfaltigkeiten, insbesondere berechnen wir für Sphären einen Teil des Spektrums. Außerdem betrachten wir kompakte Quotienten der Heisenberggruppe und berechnen hier in den Dimensionen 3 und 5 das volle Spektrum. Die horizontalen Dirac-Operatoren sind nicht mehr elliptisch, sondern „elliptisch in Richtung von H“. Mithilfe des Heisenbergkalküls stellen wir fest, dass die horizontalen Dirac-Operatoren nicht hypoelliptisch sind. Im Fall des Tanaka-Webster-Zusammenhangs lässt sich aber zeigen, dass der zugehörige Operator auf gewissen Teilen des Spinorbündels hypoelliptisch ist. Dies genügt, um zu beweisen, dass er (nun auf dem gesamten Spinorbündel) ein reines Punktspektrum hat und die Eigenräume, bis auf den Kern, endlich-dimensional sind und aus glatten Eigenspinoren bestehen. / In the present thesis, we study adapted connections and their (horizontal) Dirac operators on strictly pseudoconvex CR manifolds. An adapted connection is one that parallelises the relevant data. We describe the space of adapted connections through their torsion tensors, certain parts of which are determined by the geometry of the manifold, while others may be freely chosen. As an application, we study the properties of the Dirac operators induced by these connections. We further consider horizontal Dirac operators, which only derive in the direction of the horizontal bundle H. These operators are more adapted to the essentially sub-Riemannian structure of a CR manifold than the full Dirac operators. We discuss the question of their self-adjointness and prove a Weitzenböck type formula for these operators. Focusing on the horizontal Dirac operator associated with the Tanaka-Webster connection, we show that this operator changes in a covariant way if we change the contact form conformally. Moreover, for this operator we discuss two examples: On S^1-bundles over Kähler manifolds, we can compute part of the spectrum and for compact quotients of the Heisenberg group, we determine the whole spectrum in dimensions three and five. The horizontal Dirac operators are not elliptic, but rather "elliptic in some directions". We review the Heisenberg Calculus for such operators and find that in general, the horizontal Dirac operators are not hypoelliptic. However, in the case of the Tanaka-Webster connection, the associated horizontal Dirac operator is hypoelliptic on certain parts of the spinor bundle and this is enough to prove that its spectrum consists only of eigenvalues and except for the kernel, the corresponding eigenspaces are finite-dimensional spaces of smooth sections.

This thesis investigates the gradient flow of Dirac-harmonic maps. Dirac-harmonic maps are critical points of an energy functional that is motivated from supersymmetric field theories. The critical points of this energy functional couple the equation for harmonic maps with spinor fields. At present, many analytical properties of Dirac-harmonic maps are known, but a general existence result is still missing. In this thesis the existence question is studied using the evolution equations for a regularized version of Dirac-harmonic maps. Since the energy functional for Dirac-harmonic maps is unbounded from below the method of the gradient flow cannot be applied directly. Thus, we first of all consider a regularization prescription for Dirac-harmonic maps and then study the gradient flow. Chapter 1 gives some background material on harmonic maps/harmonic spinors and summarizes the current known results about Dirac-harmonic maps. Chapter 2 introduces the notion of Dirac-harmonic maps in detail and presents a regularization prescription for Dirac-harmonic maps. In Chapter 3 the evolution equations for regularized Dirac-harmonic maps are introduced. In addition, the evolution of certain energies is discussed. Moreover, the existence of a short-time solution to the evolution equations is established. Chapter 4 analyzes the evolution equations in the case that the domain manifold is a closed curve. Here, the existence of a smooth long-time solution is proven. Moreover, for the regularization being large enough, it is shown that the evolution equations converge to a regularized Dirac-harmonic map. Finally, it is discussed in which sense the regularization can be removed. In Chapter 5 the evolution equations are studied when the domain manifold is a closed Riemmannian spin surface. For the regularization being large enough, the existence of a global weak solution, which is smooth away from finitely many singularities is proven. It is shown that the evolution equations converge weakly to a regularized Dirac-harmonic map. In addition, it is discussed if the regularization can be removed in this case. / Die vorliegende Dissertation untersucht den Gradientenfluss von Dirac-harmonischen Abbildungen. Dirac-harmonische Abbildungen sind kritische Punkte eines Energiefunktionals, welches aus supersymmetrischen Feldtheorien motiviert ist. Die kritischen Punkte dieses Energiefunktionals koppeln die Gleichung für harmonische Abbildungen mit Spinorfeldern. Viele analytische Eigenschaften von Dirac-harmonischen Abbildungen sind bereits bekannt, ein allgemeines Existenzresultat wurde aber noch nicht erzielt. Diese Dissertation untersucht das Existenzproblem, indem der Gradientenfluss von einer regularisierten Version Dirac-harmonischer Abbildungen untersucht wird. Die Methode des Gradientenflusses kann nicht direkt angewendet werden, da das Energiefunktional für Dirac-harmonische Abbildungen nach unten unbeschränkt ist. Daher wird zunächst eine Regularisierungsvorschrift für Dirac-harmonische Abbildungen eingeführt und dann der Gradientenfluss betrachtet. Kapitel 1 stellt für die Arbeit wichtige Resultate über harmonische Abbildungen/harmonische Spinoren zusammen. Außerdem werden die zur Zeit bekannten Resultate über Dirac-harmonische Abbildungen zusammengefasst. In Kapitel 2 werden Dirac-harmonische Abbildungen im Detail eingeführt, außerdem wird eine Regularisierungsvorschrift präsentiert. Kapitel 3 führt die Evolutionsgleichungen für regularisierte Dirac-harmonische Abbildungen ein. Zusätzlich wird die Evolution von verschiedenen Energien diskutiert. Schließlich wird die Existenz einer Kurzzeitlösung bewiesen. In Kapitel 4 werden die Evolutionsgleichungen für den Fall analysiert, dass die Ursprungsmannigfaltigkeit eine geschlossene Kurve ist. Die Existenz einer Langzeitlösung der Evolutionsgleichungen wird bewiesen. Es wird außerdem gezeigt, dass die Evolutionsgleichungen konvergieren, falls die Regularisierung groß genug gewählt wurde. Schließlich wird diskutiert, ob die Regularisierung wieder entfernt werden kann. Kapitel 5 schlussendlich untersucht die Evolutionsgleichungen für den Fall, dass die Ursprungsmannigfaltigkeit eine geschlossene Riemannsche Spin Fläche ist. Es wird die Existenz einer global schwachen Lösung bewiesen, welche bis auf endlich viele Singularitäten glatt ist. Die Lösung konvergiert im schwachen Sinne gegen eine regularisierte Dirac-harmonische Abbildung. Auch hier wird schließlich untersucht, ob die Regularisierung wieder entfernt werden kann.

The symplectic Dirac and the symplectic twistor operators are sym- plectic analogues of classical Dirac and twistor operators appearing in spin- Riemannian geometry. Our work concerns basic aspects of these two ope- rators. Namely, we determine the solution space of the symplectic twistor operator on the symplectic vector space of dimension 2n. It turns out that the solution space is a symplectic counterpart of the orthogonal situation. Moreover, we demonstrate on the example of 2n-dimensional tori the effect of dependence of the solution spaces of the symplectic Dirac and the symplectic twistor operators on the choice of the metaplectic structure. We construct a symplectic generalization of classical theta functions for the symplectic Dirac operator as well. We study several basic aspects of the symplectic version of Clifford analysis associated to the symplectic Dirac operator. Focusing mostly on the symplectic vector space of the real dimension 2, this amounts to the study of first order symmetry operators of the symplectic Dirac ope- rator, symplectic Clifford-Fourier transform and the reproducing kernel for the symplectic Fischer product including the construction of bases for the symplectic monogenics of the symplectic Dirac operator in real dimension 2 and their extension to symplectic spaces...

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la géométrie non-commutative - aux triplets spectraux en particulier - comme moyen d'unifier gravitation et modèle standard de la physique des particules. Des triplets spectraux permettant une telle unification on déjà été construits dans le cas des variétés riemanniennes. Il s'agit donc ici de généraliser au cas des variétés semi-riemanniennes, et d'appliquer ensuite au cas lorentzien, qui est d'une importance particulière en physique. C'est ce que nous faisons dans la première partie de la thèse, ou le passage du cas riemannien au cas semi-riemannien nous oblige à nous intéresser à des espaces vectoriels de signatures indéfinies (et non définies positives), dits espaces de Krein. Ceci est une conséquence de notre étude des algèbres de Clifford indéfinies et des structures Spin sur variétés semi-riemanniennes. Nous généralisons ensuite les triplets spectraux en triplets dits indéfinis en conséquence de cela. Dans la deuxième partie de la thèse, nous appliquons le formalisme des formes différentielles non-commutatives à nos triplets indéfinis pour formuler des théories de jauge non-commutatives sur espace-temps lorentzien. Nous montrons ensuite comment obtenir le modèle standard. / The subject of this thesis is noncommutative geometry - more specifically spectral triples - and how it can be used to unify General Relativity with the Standard Model of particle physics. This unification has already been achieved with spectral triples for Riemannian manifolds. The main concern of this thesis is to generalize this construction to semi-Riemannian manifolds generally, and Lorentzian manifolds in particular. The first half of this thesis will thus be dedicated to the transition from Riemannian to semi-Riemannian manifolds. This entails a study of Clifford algebras for indefinite vector spaces and Spin structures on semi-Riemannian manifolds. An important consequence of this is the introduction of complex vector spaces of indefinite signature. These are the so-called Krein spaces, which will enable us to generalize spectral triples to indefinite spectral triples. In the second half of this thesis, we will apply the formalism of noncommutative differential forms to indefinite spectral triples to construct noncommutative gauge theories on Lorentzian spacetimes. We will then demonstrate how to recover the Standard Model.

Konforme Potenzen des Dirac Operators einer semi Riemannschen Spin-Mannigfaltigkeit werden untersucht. Wir präsentieren einen neuen Beweis, basierend auf dem Traktor Kalkül, für die Existenz von konformen ungeraden Potenzen des Dirac Operators auf semi Riemannschen Spin-Mannigfaltigkeiten. Desweiteren konstruieren wir eine neue Familie von konform kovarianten linearen Differentialoperatoren auf dem standard spin Traktor Bündel. Weiterhin verallgemeinern wir den Existenzbeweis für konforme ungerade Potenzen des Dirac Operators auf semi Riemannsche Spin-Mannigfaltigkeiten. Da die Existenzbeweise konstruktive sind, erhalten wir explizite Formeln für die konforme dritte und fünfte Potenz des Dirac Operators. Basierend auf den expliziten Formeln zeigen wir, dass die konforme dritte und fünfte Potenz des Dirac Operators formal selbstadjungiert (anti selbstadjungiert) bezüglich des L2-Skalarproduktes auf dem Spinorbündel ist. Abschliessend präsentieren wir neue Strukturen der konformen ersten, dritten und fünften Potenz des Dirac Operators: Es existieren lineare Differentialoperatoren auf dem Spinorbündel der Ordnung kleiner gleich eins, so dass die konforme erste, dritte und fünfte Potenz des Dirac Operators ein Polynom in jenen Operatoren ist. / Conformal powers of the Dirac operator on semi Riemannian spin manifolds are investigated. We give a new proof of the existence of conformal odd powers of the Dirac operator on semi Riemannian spin manifolds using the tractor machinery. We will also present a new family of conformally covariant linear differential operators on the standard spin tractor bundle. Furthermore, we generalize the known existence proof of conformal power of the Dirac operator on Riemannian spin manifolds to semi Riemannian spin manifolds. Both proofs concering the existence of conformal odd powers of the Dirac operator are constructive, hence we also derive an explicit formula for a conformal third- and fifth power of the Dirac operator. Due to explicit formulas, we show that the conformal third- and fifth power of the Dirac operator is formally self-adjoint (anti self-adjoint), with respect to the L2-scalar product on the spinor bundle. Finally, we present a new structure of the conformal first-, third- and fifth power of the Dirac operator: There exist linear differential operators on the spinor bundle of order less or equal one, such that the conformal first-, third- and fifth power of the Dirac operator is a polynomial in these operators.

Les travaux présentés dans cette thèse portent sur le rôle que peuvent jouer les différentes courbures extrinsèques d’une hypersurface dans l’étude de sa géométrie, en particulier dans le cas des variétés spinorielles. Dans un premier temps, nous nous intéressons au cas de la courbure moyenne et construisons une nouvelle famille de surfaces minimales non simplement connexes dans le groupe de Lie Sol3, en adaptant une méthode déjà utilisée par Daniel et Hauswirth dans Nil3 et utilisant les propriétés de l’application de Gauss d’une surface. Ensuite, nous démontrons le Théorème d’Alexandrov généralisé aux Hr-courbures dans l’espace euclidien Rn+1 et dans l’espace hyperbolique Hn+1 en testant un spineur adéquat dans des inégalités de type holographiques établies récemment par Hijazi, Montiel et Raulot. Grâce à ces inégalités, nous démontrons également l'Inégalité de Heintze-Karcher dans l'espace euclidien. Enfin, nous donnons des majorations extrinsèques de la première valeur propre de l’opérateur de Dirac des surfaces de S2 x S1(r) et des sphères de Berger Sb3 (τ) grâce aux restrictions de spineurs ambiants construits par Roth, et nous en caractérisons les cas d’égalité. / In this thesis we are interested in the role played by the extrinsic curvatures of a hypersurface in the study of its geometry, especially in the case of spin manifolds. First, we focus our attention on the mean curvature and construct a new family of non simply connected minimal surfaces in the Lie group Sol3, by adapting a method used by Daniel and Hauswirth in Nil3 based on the properties of the Gauss map of a surface. Then we give a new spinorial proof of the Alexandrov Theorem extended to all Hr-curvatures in the euclidean space Rn+1 and in the hyperbolic space Hn+1, using a well-chosen test-spinor in the holographic inequalities recently obtained by Hijazi, Montiel and Raulot. These inequalities lead to a new proof of the Heintze-Karcher Inequality as well. Finally we use restrictions of particular ambient spinor fields constructed by Roth to give some extrinsic upper bounds for the first nonnegative eigenvalue of the Dirac operator of surfaces immersed into S2 x S1(r) and into the Berger spheres Sb3 (τ), and we describe the equality cases.