Eine almost Einstein-Struktur (M,g,sigma) ist eine n-dimensionale zusammenhängende Mannigfaltigkeit M mit einer pseudo-riemannschen Metrik g und einer glatten Skalenfunktion sigma deren almost Einstein-Tensor A[g,sigma] (der spurfreie Anteil von Hess[g] sigma + sigma P[g], wobei P[g] den Schouten-Tensor bezeichnet) verschwindet. Sie verallgemeinert die Idee einer Einsteinmannigfaltigkeit in dem Sinne, dass die konform geänderte Metrik 1/sigma^2 g außerhalb der Nullstellenmenge Sigma = sigma^(-1)(0) eine Einstein-Metrik ist. Ziel dieser Doktorarbeit ist es, ein detailiertes Bild von Sigma in Lorentzsignatur (-+...+) zu erhalten. Teil dieser Arbeit ist zudem eine indexfreie Darstellung ausgewählter Resultate für konform kompaktifizierbare Einsteinmannigfaltigkeiten in Lorentzsignatur im Rahmen von almost Einstein-Strukturen. Diese Umformulierung wird dann benutzt, um eine Verallgemeinerung der konformen Wellengleichungen für beliebige gerade Dimensionen n = 2m > 4 vorzuschlagen. / An almost Einstein structure (M,g,sigma) is an n-dimensional connected manifold M equipped with a pseudo-Riemannian metric g and a scale factor sigma in C^infty(M) such that the almost Einstein tensor A[g,sigma] (the trace-free part of Hess[g] sigma + sigma P[g], with Schouten tensor P[g]) vanishes. It generalises the idea of an Einstein manifold in the way that 1/sigma^2 g is an Einstein metric away from the singularity set Sigma = sigma^(-1)(0). The purpose of this thesis is to get a detailed picture of Sigma in Lorentzian signature (-+...+). Part of this thesis is also an index-free survey of selected results on conformally compact Einstein manifolds in Lorentzian signature in the framework of almost Einstein structures. This reformulation is used to suggest a generalisation of the conformal wave equations to arbitrary even dimensions n = 2m > 4.

Konforme Potenzen des Dirac Operators einer semi Riemannschen Spin-Mannigfaltigkeit werden untersucht. Wir präsentieren einen neuen Beweis, basierend auf dem Traktor Kalkül, für die Existenz von konformen ungeraden Potenzen des Dirac Operators auf semi Riemannschen Spin-Mannigfaltigkeiten. Desweiteren konstruieren wir eine neue Familie von konform kovarianten linearen Differentialoperatoren auf dem standard spin Traktor Bündel. Weiterhin verallgemeinern wir den Existenzbeweis für konforme ungerade Potenzen des Dirac Operators auf semi Riemannsche Spin-Mannigfaltigkeiten. Da die Existenzbeweise konstruktive sind, erhalten wir explizite Formeln für die konforme dritte und fünfte Potenz des Dirac Operators. Basierend auf den expliziten Formeln zeigen wir, dass die konforme dritte und fünfte Potenz des Dirac Operators formal selbstadjungiert (anti selbstadjungiert) bezüglich des L2-Skalarproduktes auf dem Spinorbündel ist. Abschliessend präsentieren wir neue Strukturen der konformen ersten, dritten und fünften Potenz des Dirac Operators: Es existieren lineare Differentialoperatoren auf dem Spinorbündel der Ordnung kleiner gleich eins, so dass die konforme erste, dritte und fünfte Potenz des Dirac Operators ein Polynom in jenen Operatoren ist. / Conformal powers of the Dirac operator on semi Riemannian spin manifolds are investigated. We give a new proof of the existence of conformal odd powers of the Dirac operator on semi Riemannian spin manifolds using the tractor machinery. We will also present a new family of conformally covariant linear differential operators on the standard spin tractor bundle. Furthermore, we generalize the known existence proof of conformal power of the Dirac operator on Riemannian spin manifolds to semi Riemannian spin manifolds. Both proofs concering the existence of conformal odd powers of the Dirac operator are constructive, hence we also derive an explicit formula for a conformal third- and fifth power of the Dirac operator. Due to explicit formulas, we show that the conformal third- and fifth power of the Dirac operator is formally self-adjoint (anti self-adjoint), with respect to the L2-scalar product on the spinor bundle. Finally, we present a new structure of the conformal first-, third- and fifth power of the Dirac operator: There exist linear differential operators on the spinor bundle of order less or equal one, such that the conformal first-, third- and fifth power of the Dirac operator is a polynomial in these operators.