Dans une série de travaux Zied Ammari et Francis Nier ont développé des méthodes pour étudier la dynamique de champ moyen bosonique pour des états quantiques généraux pouvant présenter des corrélations. Ils ont obtenu des formules pour décrire la dynamique des corrélations, ou plus généralement des matrices densité réduites d'ordre arbitraire. Cette thématique a été largement développée ces dernières années. Norbert Mauser en a été un des contributeurs, ainsi que sur la notion de mesure de Wigner qui est la clé de l'analyse développée par Z. Ammari et F. Nier. En général, il est admis que l'asymptotique de champ moyen est une bonne approximation du problème à N particules quand N dépasse la dizaine. Cela concerne l'asymptotique de la matrice densité réduite à une particule qui ne décrit pas la dynamique des corrélations. Un objectif est de tester la validité de la dynamique de champ moyen pour les matrices densité réduites à 2-particules. Pour des tests numériques, les modèles discrets qui n'ont pas été vraiment traités en détail dans les travaux précédents de Z. Ammari et F. Nier semblent bien adaptés. La thèse comprendra donc plusieurs étapes: adapter les résultats précédents de Z. Ammari et F. Nier à des modèles discrets , développer des méthodes numériques pour des systèmes simples mais pertinents, permettant de valider l'approximation de champ moyen et les formules pour la dynamique des corrélations. Au niveau numérique, on utilise des schémas numériques symplectiques, développés spécifiquement ces dernières années pour la discrétisation des équations hamiltoniennes. Une dernière étape concerne la combinaison des deux asymptotiques, champ moyen et approximation des modèles continus par les modèles discrets. / In a serie of works Z. Ammari and F. Nier developed methods to study the dynamics of bosonic mean field for general quantum states which can present correlations. They obtained formulas to describe the dynamics of the correlations, or more generally reduced density matrices with an arbitrary order. This topic was widely developed these last years. N.J. Mauser was one of contributors, as well as on the notion of Wigner measure which is the key of the analysis developed by Z. Ammari and F. Nier. Generally, the mean field asymptotic is admitted is a good approximation of the N-body problem when N exceed about ten. It concerns the asymptotics of the reduced density matrices for one particle which does not describe the dynamics of the correlations. An objective is to test the validity of the mean field dynamics for reduced density matrices for 2 particles. For numerical tests, the discrete models which were not really handled in detail in the previous works of Z. Ammari and F. Nier seem adapted well. The thesis will thus include several steps: adapt the previous results from Z. Ammari and F. Nier to discrete models , develop numerical methods, for simple but relevant systems, allowing to validate the approximation of mean field and the formulas for the dynamics of the correlations. About numerics, symplectic numerical scheme are used, developed specifically these last years for the discretization of the hamiltonian equations. A last possible step concerns the combination of both asymptotics, that is mean field and approximation of the continuous models by the discrete models.

Ce manuscrit a pour objectif de présenter plusieurs résultats de restauration d’unicité et de sélection d’équilibres dans les jeux à champ moyen. La théorie des jeux à champ moyen a été initiée dans les années 2000 par deux groupes de chercheurs, Lasry et Lions en France, et Huang, Caines et Malhamé au Canada. L’objectif de cette théorie est de décrire les équilibres de Nash dans des jeux différentiels stochastiques incluant un grand nombre de joueurs interagissant les uns avec les autres à travers leur mesure empirique commune et présentant suffisamment de symétrie. Si l’existence d’équilibres dans les jeux à champ moyen est maintenant bien comprise, l’unicité reste connue dans un nombre très limité de cas. A cet égard, la condition la plus connue est celle dite de monotonie, due à Lasry et Lions. Dans cette thèse, nous démontrons, que pour une certaine classe de jeux à champ moyen, l’unicité peut être rétablie à l’aide d’un forçage aléatoire des dynamiques, communs à tous les joueurs. Un tel forçage est appelé “bruit commun”. Nous montrons également que, dans certains cas, il est possible de sélectionner des équilibres en l’absence de bruit commun en faisant tendre le bruit commun vers zéro. Enfin, nous montrons comment ces résultats s’appliquent à des problèmes de type “principal-agents”, avec un grand nombre d’agents en interaction. / The purpose of this thesis is to present several results on the restoration of uniqueness and selection of equilibria when uniqueness fails in mean field games. The theory of mean field games was initiated in the 2000s by two groups of researchers, Lasry and Lions in France, and Huang, Caines, and Malhamé in Canada. The aim of this theory is to describe the Nash equilibria in stochastic differential games involving a large number of players interacting with each other through their common empirical measure, under sufficient symmetry hypothesis. If the existence of equilibria in mean field games is now well understood, uniqueness remains known in a very limited number of cases. In this respect, the most well-known condition is the monotony hypothesis, due to Lasry and Lions. In this thesis, we demonstrate that for a certain class of mean field games, uniqueness can be restored by means of a random and common forcing, acting on all the players. Such a forcing is called “common noise”. We also show that in some cases it is possible to select equilibria in the absence of common noise by letting the common noise tend towards zero. Finally, we show how these results apply to “principal-agent” .problems, with a large number of interacting agents.

Cette thèse présente quatre travaux de recherche mêlant probabilités et analyse, ayant en commun de s'appuyer sur l'intuition physique, tant dans la position des problèmes que dans leur résolution : 1. On borne les probabilités de transition des chaînes de Markov réversibles discrètes, améliorant la borne de Carne grâce à une démonstration alternative. 2. On démontre la convergence vers la limite de champ moyen dans une approche uniforme et non asymptotique pour un modèle de Boltzmann spatialement homogène. 3. On étudie le coefficient de rho-mélange entre deux tribus, montrant en particulier comment cette quantité peut être tensorisée dans un cadre général, ce qui implique des résultats de décorrélation entre groupes infinis de spins en physique statistique. 4. On s'intéresse, pour une équation de McKean-Vlasov, à la stabilité de l'équilibre homogène en fonction de la température, minorant notamment l'énergie d'activation.

L'objectif de cette thèse est de d'evelopper des modèles cinétiques pour la régénération des filtres à particules Diesel (FaP), basés sur la catalyse par des formulations du type platine-cérine-zircone (Pt/CexZr1−xO2). L'intérêt pratique de ce type de modèle est lié à son utilité dans le calcul de termes sources chimiques dans des modèles 3D, et à la possibilité d'étudier le mécanisme réactionnel de l'oxydation catalysée de la suie. Au coeur de cette analyse cinétique se situe l'estimation des paramètres d'Arrhenius pour un ensemble d'étapes réactionnelles, en ajustant les courbes théoriques (calculées) à celles obtenues expérimentalement. Ce faisant, l'objectif n'est pas seulement de comprendre le rôle des différents réactifs, mais aussi d'explorer l'efficacité et les limitations de la modélisation des réactions hétérogènes à l'interface des phases gazeuses et solides. Le défi principal de cette démarche est l'attribution de valeurs physiques pertinents à des paramètres individuels dans un mécanisme réactionnel complexe. Notre stratégie pour aborder ce problème consiste en un ajustement progressif de sous-ensembles des étapes réactionnelles. Pour illustrer cette procédure, nous avons développé trois configurations d'oxydation des suies : i) l'oxydation par O2, NO et/ou NO2, non catalysée ii) l'oxydation par NO2 en présence d'un catalyseur en cérine, et iii) l'oxydation catalysée par Pt/CexZr1−xO2. La cinétique de ces réactions n'a pas été exhaustivement étudiée auparavant, et nos résultats ont apporté une meilleure compréhension de ce phénomène. L'approche d'ajustement s'est démontré justifiée, car elle a permis la reproduction de profils d'espèces-clés dans un ensemble de conditions expérimentales. Les études cinétiques expérimentales ont été menées sous forme de tests en température programmée, dans un réacteur à lit fixe. Une partie de nos données expérimentales a été obtenue directement ainsi, les autres donnée provenant d''etudes publiées par d'autres groupes. Afin de déduire les paramètres cinétiques à partir de ces données, un modèle de réacteur décrivant l'écoulement de gaz à travers un empilement de particules a été construit. Ce modèle comprend un sous-modèle portant sur la surface chimique des suies et du catalyseur, basé sur l'approximation du champ moyen. L'impact de la structure graphitique des suies, la composition/structure de la cérine-zircone et du ratio suie/catalyseur dans la réaction ont été considérés. Les paramètres décrivant leurs effets ont été estimés.

Movité par des questions posées par F. Santambrogio, cette thèse est dédiée à l'étude de jeux à champ moyen et des modèles impliquant le transport optimal avec contraintes de densité. A fin d'étudier des modèles de MFG d'ordre deux dans l'esprit des travaux de F. Santambrogio, on introduit en tant que brique élementaire un modèle diffusif de mouvement de foule avec contraintes de densité (en généralisant dans une sense les travaux de Maury et al.). Le modèle est décrit par l'évolutions de la densité de la foule, qui peut être vu comme une courbe dans l'espace de Wasserstein. Du point de vu EDP, ça correspond à une équation de Fokker-Planck modifiée, avec un terme supplémentaire, le gradient d'une pression (seulement dans la zone saturée) dans le drift. En passant par l'équation duale et en utilisant des estimations paraboliques bien connues, on démontre l'unicité du pair densité et pression. Motivé initialement par l'algorithm de splitting (utilisé dans le résultat d'existence ci-dessus), on étudie des propriétés fines de la projection de Wasserstein en dessous d'un seuil donné. Intégrant cette question dans une classe plus grande de problèmes impliquant le transport optimal, on démontre des estimations BV pour les optimiseurs. D'autres applications possibles (en transport partiel, optimisation de forme et problèmes paraboliques dégénérés) de ces estimations BV sont également discutées.En changeant le point de vu, on étudie également des modèles de MFG variationnels avec contraintes de densité. Dans ce sens, les systèmes de MFG sont obtenus comme conditions d'optimalité de premier ordre pour deux problèmes convexes en dualité. Dans ces systèmes un terme additionnel apparaît, interpreté comme un prix à payer quand les agents passent dans des zones saturées. Premièrement, en profitant des résultats de régularité elliptique, on montre l'existence et la caractérisation de solutions des MFG de deuxième ordre stationnaires avec contraintes de densité. Comme résultat additionnel, on caractérise le sous-différentiel d'une fonctionnelle introduite par Benamou-Brenier pour donner une formulation dynamique du problème de transport optimal. Deuxièmement, (basé sur une technique de pénalisation) on montre qu'une classe de systèmes de MFG de premier ordre avec contraintes de densité est bien posée. Une connexion inattendu avec les équations d'Euler incompressible à la Brenier est égalment donnée. / Motivated by some questions raised by F. Santambrogio, this thesis is devoted to the study of Mean Field Games and models involving optimal transport with density constraints. To study second order MFG models in the spirit of the work of F. Santambrogio, as a possible first step we introduce and show the well-posedness of a diffusive crowd motion model with density constraints (generalizing in some sense the works by B. Maury et al.). The model is described by the evolution of the people's density, that can be seen as a curve in the Wasserstein space. From the PDE point of view, this corresponds to a modified Fokker-Planck equation, with an additional gradient of a pressure (only living in the saturated zone) in the drift. We provide a uniqueness result for the pair density and pressure by passing through the dual equation and using some well-known parabolic estimates. Initially motivated by the splitting algorithm (used for the above existence result), we study some fine properties of the Wasserstein projection below a given threshold. Embedding this question into a larger class of variational problems involving optimal transport, we show BV estimates for the optimizers. Other possible applications (for partial optimal transport, shape optimization and degenerate parabolic problems) of these BV estimates are also discussed.Changing the point of view, we also study variational Mean Field Game models with density constraints. In this sense, the MFG systems are obtained as first order optimality conditions of two convex problems in duality. In these systems an additional term appears, interpreted as a price to be paid when agents pass through saturated zones. Firstly, profiting from the regularity results of elliptic PDEs, we give the existence and characterization of the solutions of stationary second order MFGs with density constraints. As a byproduct we characterize the subdifferential of a convex functional introduced initially by Benamou-Brenier to give a dynamic formulation of the optimal transport problem. Secondly, (based on a penalization technique) we prove the well-posedness of a class of first order evolutive MFG systems with density constraints. An unexpected connection with the incompressible Euler's equations à la Brenier is also given

Les symétries géométriques en usage en physique nucléaire sont assez peu variées, essentiellement la symétrie de l’ellipsoïde triaxial. On propose donc une méthode rigoureuse permettant d’étudier l’évolution et la possibilité de l’existence de symétries nouvelles dont la symétrie tétraédrique. Le formalisme de l’équation de SCHRÖDINGER est replacé dans le cadre des espaces de RIEMANN. Ce formalisme est utilisé dans le contexte du noyau de l’atome où l’on applique la théorie du champ moyen alliée à l’approximation adiabatique. Le noyau est le siège de deux catégories de mouvements adiabatiquement séparés, le mouvement rapide des nucléons dans le champ moyen, et le mouvement collectif modifiant lentement le champ moyen. Le second est régi par une équation de SCHRÖDINGER collective qui prend place dans un espace dont la métrique est donnée par le tenseur de masse. L’étude de la géométrie du noyau est alors calculable à l’aide de deux grands programmes développés dans le cadre de la thèse. / The geometrical symmetries used in nuclear physics are not very diversified, essentially the symmetry of the triaxial ellipsoid. One proposes therefore a rigourous method allowing to study the temporal evolution and the possibility of the existence of new symmetries among them the tetrahedral symmetry. The formalism of SCHRÖDINGER equation is reformulated in the framework of RIEMANN’s spaces. This formalism is used in the context of the atomic nucleus where one applies the mean-field theory combined with the adiabatic approximation. The nucleus is the terrain of two types of motions adiabatically separated, the quick motion of the nucleons in the mean-field and the collective motion modifying slowly the meanfield. The second one is governed by a collective SCHRÖDINGER equation written down in a space whose metric is given by the mass tensor. The study of the nucleus geometry is then computable with the help of two big programs developped within the thesis.

Cette thèse porte sur l'étude d'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman associées à des problèmes de contrôle optimal et de jeux à champ moyen avec la particularité qu'on se place sur un réseau (c'est-à-dire, des ensembles constitués d'arêtes connectées par des jonctions) dans les deux problèmes, pour lesquels on autorise différentes dynamiques et différents coûts dans chaque bord d'un réseau. Dans la première partie de cette thèse, on considère un problème de contrôle optimal sur les réseaux dans l'esprit des travaux d'Achdou, Camilli, Cutrì & Tchou (2013) et Imbert, Moneau & Zidani (2013). La principale nouveauté est qu'on rajoute des coûts d'entrée (ou de sortie) aux sommets du réseau conduisant à une éventuelle discontinuité de la fonction valeur. Celle-ci est caractérisée comme l'unique solution de viscosité d'une équation Hamilton-Jacobi pour laquelle une condition de jonction adéquate est établie. L'unicité est une conséquence d'un principe de comparaison pour lequel nous donnons deux preuves différentes, l'une avec des arguments tirés de la théorie du contrôle optimal, inspirée par Achdou, Oudet & Tchou (2015) et l'autre basée sur les équations aux dérivées partielles, d'après Lions & Souganidis (2017). La deuxième partie concerne les jeux à champ moyen stochastiques sur les réseaux. Dans le cas ergodique, ils sont décrits par un système couplant une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman et une équation de Fokker- Planck, dont les inconnues sont la densité m de la mesure invariante qui représente la distribution des joueurs, la fonction valeur v qui provient d'un problème de contrôle optimal "moyen" et la constante ergodique ρ. La fonction valeur v est continue et satisfait dans notre problème des conditions de Kirchhoff aux sommets très générales. La fonction m satisfait deux conditions de transmission aux sommets. En particulier, due à la généralité des conditions de Kirchhoff, m est en général discontinue aux sommets. L'existence et l'unicité d'une solution faible sont prouvées pour des Hamiltoniens sous-quadratiques et des hypothèses très générales sur le couplage. Enfin, dans la dernière partie, nous étudions les jeux à champ moyen stochastiques non stationnaires sur les réseaux. Les conditions de transition pour la fonction de valeur v et la densité m sont similaires à celles données dans la deuxième partie. Là aussi, nous prouvons l'existence et l'unicité d'une solution faible pour des Hamiltoniens sous-linéaires et des couplages et dans le cas d'un couplage non-local régularisant et borné inférieurement. La principale difficulté supplémentaire par rapport au cas stationnaire, qui nous impose des hypothèses plus restrictives, est d'établir la régularité des solutions du système posé sur un réseau. Notre approche consiste à étudier la solution de l'équation de Hamilton-Jacobi dérivée pour gagner de la régularité sur la solution de l'équation initiale. / The dissertation focuses on the study of Hamilton-Jacobi-Bellman equations associated with optimal control problems and mean field games problems in the case when the state space is a network. Different dynamics and running costs are allowed in each edge of the network. In the first part of this thesis, we consider an optimal control on networks in the spirit of the works of Achdou, Camilli, Cutrì & Tchou (2013) and Imbert, Monneau & Zidani (2013). The main new feature is that there are entry (or exit) costs at the edges of the network leading to a possible discontinuous value function. The value function is characterized as the unique viscosity solution of a Hamilton-Jacobi equation for which an adequate junction condition is established. The uniqueness is a consequence of a comparison principle for which we give two different proofs. One uses some arguments from the theory of optimal control and is inspired by Achdou, Oudet & Tchou (2015). The other one is based on partial differential equations techniques and is inspired by a recent work of Lions & Souganidis (2017). The second part is about stochastic mean field games for which the state space is a network. In the ergodic case, they are described by a system coupling a Hamilton- Jacobi-Bellman equation and a Fokker-Planck equation, whose unknowns are the density m of the invariant measure which represents the distribution of the players, the value function v which comes from an "average" optimal control problem and the ergodic constant ρ. The function v is continuous and satisfies general Kirchhoff conditions at the vertices. The density m satisfies dual transmission conditions. In particular, due to the generality of Kirchhoff’s conditions, m is in general discontinuous at the vertices. Existence and uniqueness are proven for subquadratic Hamiltonian and very general assumptions about the coupling term. Finally, in the last part, we study non-stationary stochastic mean field games on networks. The transition conditions for value function v and the density m are similar to the ones given in second part. Here again, we prove the existence and uniqueness of a weak solution for sublinear Hamiltonian and bounded non-local regularizing coupling term. The main additional difficulty compared to the stationary case, which imposes us more restrictive hypotheses, is to establish the regularity of the solutions of the system placed on a network. Our approach is to study the solution of the derived Hamilton-Jacobi equation to gain regularity over the initial equation.

Cette thèse porte sur le gaz de Bose à basse température. La première partie présente le lien mathématique entre la condensation de Bose-Einstein et le groupe des permutations. L'expression de la fonction de partition bosonique en intégrale de chemin fait apparaître la factorisation en produit de cycles des permutations. Pour un gaz de Bose idéal, l'existence d'un condensat de Bose-Einstein est équivalente à l'apparition de cycles de longueur infinie. La discussion s'étend ensuite aux gaz en interaction, et à l'étude de la superfluidité. La deuxième partie se concentre sur les gaz atomiques ultra-froids quasi-bidimensionnels, qui sont l'objet d'expériences récentes. L'approche du gaz de Bose en intégrale de chemin a permis de clarifier le rôle de l'excitation thermique résiduelle du mouvement vertical. Un modèle de champ moyen tenant compte de la troisième dimension est en accord avec les résultats numériques et expérimentaux, au-dessus de la température critique. Les déviations par rapport à la théorie de champ moyen sont étudiées au voisinage de la transition superfluide, où le gaz entre dans un régime dégénéré avec de forts effets de corrélations de paires.

La structure nucléaire connaît une véritable renaissance liée au développement des faisceaux d'ions radioactifs (tels les faisceaux SPIRAL 1 et 2 au GANIL). Les méthodes de champ moyen et/ou de fonctionnelle de la densité sont parmi les outils les plus généraux et les mieux adaptés pour étudier les noyaux qui sont produits auprès de tels instruments. Le but du travail présenté est de montrer comment les fonctionnelles existantes peuvent être améliorées afin d'avoir un meilleur pouvoir prédictif dans les régions encore peu explorées de la carte des noyaux. Il est en particulier proposé de mieux modéliser la dépendance en isospin de l'interaction effective, et l'intérêt d'y ajouter un couplage de type tensoriel est étudié. Nous mesurons également l'apport de calculs au-delà de l'approximation du champ moyen lors de la construction de la fonctionnelle. Finalement, nous tentons d'établir le lien avec l'interaction nue entre nucléons pour la description de l'appariement, participant ainsi au développement d'une fonctionnelle non-empirique.

Il est admis aujourd'hui que les nucléons sont constitués de quarks et de gluons, dont les interactions sont décrites par la Chromodynamique Quantique (QCD). Du fait du caractère non-perturbatif de QCD à l'échelle d'énergie de la physique nucléaire, une description du noyau atomique directement à partir des quarks et des gluons reste inaccessible à l'heure actuelle. Une alternative possible est d'utiliser des théories effectives hadroniques contraintes par QCD. Dans ce cadre, nous avons développé deux descriptions de la matière nucléaire infinie dans des théories de champ moyen relativistes prenant en compte la structure en quarks des hadrons. Dans une première approche, la modification dans le milieu des propriétés des mésons est obtenue dynamiquement dans un modèle de quarks de Nambu-Jona-Lasinio (NJL). Cette modification est prise en compte dans un modèle de champ moyen relativiste basé sur une interaction par échanges de mésons entre nucléons. L'évolution de la masse des mésons dans le milieu, et les propriétés de la matière nucléaire infinie ainsi obtenues, ont été étudiées. Dans une deuxième approche, les contributions de courte et logue portée à la modification du nucléon dans le milieu sont déterminées. La partie de courte portée est obtenue en construisant le nucléon à l'aide du modèle de quarks de NJL. La partie de longue portée, liée aux échanges de pions entre nucléons, a quant à elle été obtenue à l'aide de la théorie des perturbations chirales. Ces modifications ont été utilisées pour contraindre les couplages d'un modèle de champ moyen relativiste à couplages ponctuels. Une description réaliste des propriétés de saturation de la matière nucléaire est alors obtenue.