Dans cette thèse, nous aborderons l'approximation de champ moyen pour des particules bosoniques. Pour un certain nombre d'états quantiques, la dérivation de la limite de champ moyen est connue, et il semble naturel d'étendre ces travaux à un cadre général d'états quantiques quelconques. L'approximation de champ moyen consiste à remplacer le problème à N corps quantique par un problème non linéaire, dit de Hartree, quand le nombre de particules est grand. Nous prouverons un résultat général pour un système de particules, confinées ou non, interagissant au travers d'un potentiel singulier. La méthode utilisée repose sur les mesures de Wigner. Notre contribution consiste en l'extension de la méthode des caractéristiques au cadre de champ de vitesse singulier associé à l'équation de Hartree. Cela complète les travaux d'Ammari et Nier et permet de prouver des résultats pour des potentiels critiques pour les équations de Hartree. En particulier, on s'intéressera à un système de bosons interagissant au travers d'un potentiel à plusieurs corps et nous démontrerons l'approximation de champ moyen sous une hypothèse de compacité forte sur ce dernier. Les résultats s’appuient en grande partie sur la flexibilité des mesures de Wigner, ce qui permet également de proposer une preuve alternative à l'approximation de champ moyen dans un cadre variationnel. / In this thesis, we justify the mean field approximation in a general framework for bosonic systems. The derivation of mean field dynamics is known for some specific quantum states. Therefore it is natural to expect the extension of these results for a general family of normal states. The mean field approximation for bosons consists in replacing the many-body quantum problem by a non linear one, so-called Hartree problem, when the number of particles tends to infinity. We establish a general result for bosons confined or not, interacting through a singular potential. The method used is based on Wigner measures. Our contribution consists in extending the characteristics method when the velocity field associated to the Hartree equation is subcritical or critical. It complements the work of Ammari and Nier and provides a result for critical potential for the Hartree equation. We also focus on bosonic systems interacting through a multi-body potential and we prove the mean field approximation under a strong assumption on this potential. All these results essentially rely on the flexibility of Wigner measures and we can give an alternative proof of the variational mean field approximation.

La théorie de champ moyen dynamique sur amas (CDMFT : cluster dynamical mean-field theory) est une méthode systématique qui permet de calculer le comportement des électrons dans un cristal tout en tenant compte de l’interaction de Coulomb écrantée entre les électrons, ainsi que de l’interaction d’échange effective à courte portée. Pour simuler l’effet d’un réseau infini, cette méthode nécessite une condition de périodicité, valable lorsqu’il y a invariance par translation. Lorsque l’invariance par translation n’est pas préservée, il faut relaxer cette contrainte. Nous présentons ici deux méthodes qui peuvent être employées en combinaison avec la CDMFT pour simuler numériquement des systèmes inhomogènes avec interactions électroniques. La première méthode est la théorie des couches dynamiques (DLT : dynamical layer theory). Elle permet d’analyser des interfaces de matériaux en couches fortement corrélés tels que les cuprates. Nous appliquons cette méthode à une jonction p-n d’isolants de Mott dopés et nous trouvons une phase nouvelle, soit une zone d’appauvrissement de Mott due à la redistribution de charges près de l’interface. La deuxième méthode est la CDMFT inhomogène (I-CDMFT). Elle est une extension naturelle de la CDMFT et permet de considérer des systèmes beaucoup plus gros en agençant plusieurs petits amas que nous pouvons résoudre en diagonalisation exacte. Nous appliquons cette méthode à l’étude du magnétisme émergeant près d’une impureté non magnétique dans le graphène. Nous trouvons une phase localement antiferromagnétique ayant un spin net de 1/2 dans la limite où le potentiel de l’impureté est fort. / Cluster dynamical mean-field theory (CDMFT) is a systematic method to study the behaviour of electrons in a crystal while taking into account the screened Coulomb interaction between electrons and the effective short-range exchange interactions. In order to correctly simulate the effect of an infinite lattice, this method relies on periodic boundary conditions, which is only valid when translational invariance is preserved. When translational invariance is not preserved, this constraint must be relaxed. We present here two methods that can be used along with CDMFT to simulate inhomogeneous systems with electron-electron interactions. The first method is the dynamical layer theory (DLT). It can correctly simulate interfaces of strongly correlated layered material like the cuprates. We apply this method to a p-n junction of doped Mott insulators and we find a Mott depletion layer near the interface caused by charge redistribution. The second method is inhomogeneous CDMFT (I-CDMFT). In this method, we tile different clusters that are small enough to be solved by exact diagonalization in order to simulate larger systems. We apply this method to the magnetism that appears around a non-magnetic impurity in graphene. We find a local antiferromagnetism with a total spin of 1/2 when the impurity potential is strong.

L’étude des systèmes avec interactions gravitationnelles à l’aide des outils de la mécanique statistique repose jusqu’à présent sur l’utilisation d’une approximation de type champ moyen, qui néglige par construction les effets à courte portée de l’interaction. Pour commencer, je décris cette approximation dans son contexte historique, à savoir le modèle de la sphère isotherme. Puis, dans le cadre de la mécanique statistique du problème à N -corps, j’introduis un système de sphères dures massives, qui permet de s’affranchir de l’effondrement du système de points matériels. La validité de l’approche hydrostatique est discutée dans l’ensemble microcanonique, en introduisant une limite d’échelle adéquate.Cette étude permet de mettre en avant les critères de validité pour l’approche hydrostatique, et de constater qu’ils peuvent être mis en défaut dans les systèmes astrophysiques de type amas globulaire. Pour mieux les comprendre et les illustrer, je me concentre ensuite sur l’étude d’un modèle de bâtonnets durs massifs à une dimension, dont l’avantage est de permettre tous les calculs analytiques des différentes grandeurs statistiques. Ainsi, je mets en évidence comment l’approche de type champ moyen est mise en défaut pour certains états effondrés.Enfin, dans le but de tenter de décrire des amas globulaires, je développe un modèle comprenant des étoiles célibataires et des étoiles binaires. Ce modèle reproduit bien les effets qualitatifs attendus, et il constitue une première correction satisfaisante au modèle historique de la sphère isotherme. Je met aussi en évidence l’absence d’équilibre thermodynamique au sens strict pour les systèmes considérés. En conclusion, je réalise une discussion succincte de certains éléments dynamiques du problème. / The study of systems with gravitational interactions with the tools of mechanics statistics was based so far on the use of a mean-field approximation, which neglect by construction effects of the short-range interaction. To begin, I describe this approximation in its historical context, namely the model of isothermal sphere. Then, as part of statistical mechanics of many-body problem, I introduce a system of massive hard spheres, which overcomes the collapse of the point partcile system. The validity of the hydrostatic approach is discussed in the microcanonical ensemble, by introducing an appropriate scaling limit.This study helps to highlight conditions of validity of the the hydrostatic approach and show that those conditions may prove defective in astrophysical systems such globular clusters. To better understand and illustrate this point, I focus on the study of a model of massive hard sticks in one dimension, which has the advantage of allowing all analytical calculations of various statistical quantities. Thus, I highlight how the mean field type approach can be wrong for some collapsed states.Finally, in an attempt to describe globular clusters, I develop a model consisting of single stars and binaries stars systems. This model reproduces the expected qualitative effects, and is a good first correction of the historical model of the isothermal sphere. I also highlight the absence of thermodynamic equilibrium in the strict sense for the systems we study. In conclusion, I realize a brief discussion of some dynamical issues.

Les applications reliées à la génération d'énergie motivent la recherche de matériaux ayant un fort pouvoir thermoélectrique (S). De plus, S nous renseigne sur certaines propriétés fondamentales des matériaux, comme, par exemple, la transition entre l'état cohérent et incohérent des quasi-particules lorsque la température augmente. Empiriquement, la présence de fortes interactions électron-électron peut mener à un pouvoir thermoélectrique géant. Nous avons donc étudié le modèle le plus simple qui tient compte de ces fortes interactions, le modèle de Hubbard. La théorie du champ moyen dynamique (DMFT) est tout indiquée dans ce cas. Nous nous sommes concentrés sur un système tridimensionnel (3d) cubique à face centrée (fcc), et ce, pour plusieurs raisons. A) Ce type de cristal est très commun dans la nature. B) La DMFT donne de très bons résultats en 3d et donc ce choix sert aussi de preuve de principe de la méthode. C) Finalement, à cause de la frustration électronique intrinsèque au fcc, celui-ci ne présente pas de symétrie particule-trou, ce qui est très favorable à l'apparition d'une grande valeur de S. Ce travail démontre que lorsque le matériau est un isolant à demi-remplissage à cause des fortes interactions (isolant de Mott), il est possible d'obtenir de grands pouvoirs thermoélectriques en le dopant légèrement. C'est un résultat pratique important. Du point de vue méthodologique, nous avons montré comment la limite de fréquence infinie de S et l'approche dite de Kelvin, qui considère la limite de fréquence nulle avant la limite thermodynamique pour S, donnent des estimations fiables de la vraie limite continue (DC) dans les domaines de température appropriée. Ces deux approches facilitent grandement les calculs en court-circuitant la nécessité de recourir à de problématiques prolongements analytiques. Nous avons trouvé que la méthode de calcul à fréquence infinie fonctionne bien lorsque les échelles d'énergie sont relativement faibles. En d'autres termes, cette approche donne une bonne représentation de S lorsque le système devient cohérent. Les calculs montrent aussi que la formule Kelvin est précise lorsque la fonction spectrale des électrons devient incohérente, soit à plus haute température. Dans la limite Kelvin, S est essentiellement l'entropie par particule, tel que proposé il y a longtemps. Nos résultats démontrent ainsi que la vision purement entropique de S est la bonne dans le régime incohérent, alors que dans le régime cohérent, l'approche à fréquence infinie est meilleure. Nous avons utilisé une méthode à la fine pointe, soit le Monte-Carlo quantique en temps continu pour résoudre la DMFT. Pour permettre une exploration rapide du diagramme de phase, nous avons dû développer une nouvelle version de la méthode des perturbations itérées pour qu'elle soit applicable aussi à forte interaction au-delà de la valeur critique de la transition de Mott. Un autre sujet a aussi été abordé. L'effet orbital du champ magnétique dans les systèmes électroniques fortement corrélés est une question très importante et peu développée. Cela est d'autant plus essentiel depuis la découverte des oscillations quantiques dans les supraconducteurs à haute temperature (haut-T[indice inférieur c]). Par désir de développer une méthode la moins biaisée possible, nous avons dérivé la DMFT lorsqu'un champ se couplant à l'opérateur énergie cinétique par la substitution de Peierls est présent. Ce type d'approche est nécessaire pour comprendre entre autres l'effet de la physique de Mott sur des phénomènes tels que les oscillations quantiques. Nous avons obtenu un résultat très important en démontrant rigoureusement que la relation d'auto-cohérence de la DMFT et le système intermédiaire d'impureté quantique restent les mêmes. L'effet du champ peut être contenu dans la fonction de Green locale, ce qui constitue la grande différence avec le cas habituel. Ceci permet de continuer à utiliser les solutionneurs d'impuretés standards, qui sont de plus en plus puissants. Nous avons aussi développé la méthode pour le cas d'un empilement de plans bidimensionnels selon z, ce qui permet d'étudier l'effet orbital du champ dans des nanostructures et même dans les matériaux massifs, si le nombre de plans est suffisant pour obtenir la limite tridimensionnelle.

Dans une série de travaux Zied Ammari et Francis Nier ont développé des méthodes pour étudier la dynamique de champ moyen bosonique pour des états quantiques généraux pouvant présenter des corrélations. Ils ont obtenu des formules pour décrire la dynamique des corrélations, ou plus généralement des matrices densité réduites d'ordre arbitraire. Cette thématique a été largement développée ces dernières années. Norbert Mauser en a été un des contributeurs, ainsi que sur la notion de mesure de Wigner qui est la clé de l'analyse développée par Z. Ammari et F. Nier. En général, il est admis que l'asymptotique de champ moyen est une bonne approximation du problème à N particules quand N dépasse la dizaine. Cela concerne l'asymptotique de la matrice densité réduite à une particule qui ne décrit pas la dynamique des corrélations. Un objectif est de tester la validité de la dynamique de champ moyen pour les matrices densité réduites à 2-particules. Pour des tests numériques, les modèles discrets qui n'ont pas été vraiment traités en détail dans les travaux précédents de Z. Ammari et F. Nier semblent bien adaptés. La thèse comprendra donc plusieurs étapes: adapter les résultats précédents de Z. Ammari et F. Nier à des modèles discrets , développer des méthodes numériques pour des systèmes simples mais pertinents, permettant de valider l'approximation de champ moyen et les formules pour la dynamique des corrélations. Au niveau numérique, on utilise des schémas numériques symplectiques, développés spécifiquement ces dernières années pour la discrétisation des équations hamiltoniennes. Une dernière étape concerne la combinaison des deux asymptotiques, champ moyen et approximation des modèles continus par les modèles discrets. / In a serie of works Z. Ammari and F. Nier developed methods to study the dynamics of bosonic mean field for general quantum states which can present correlations. They obtained formulas to describe the dynamics of the correlations, or more generally reduced density matrices with an arbitrary order. This topic was widely developed these last years. N.J. Mauser was one of contributors, as well as on the notion of Wigner measure which is the key of the analysis developed by Z. Ammari and F. Nier. Generally, the mean field asymptotic is admitted is a good approximation of the N-body problem when N exceed about ten. It concerns the asymptotics of the reduced density matrices for one particle which does not describe the dynamics of the correlations. An objective is to test the validity of the mean field dynamics for reduced density matrices for 2 particles. For numerical tests, the discrete models which were not really handled in detail in the previous works of Z. Ammari and F. Nier seem adapted well. The thesis will thus include several steps: adapt the previous results from Z. Ammari and F. Nier to discrete models , develop numerical methods, for simple but relevant systems, allowing to validate the approximation of mean field and the formulas for the dynamics of the correlations. About numerics, symplectic numerical scheme are used, developed specifically these last years for the discretization of the hamiltonian equations. A last possible step concerns the combination of both asymptotics, that is mean field and approximation of the continuous models by the discrete models.

Les symétries géométriques en usage en physique nucléaire sont assez peu variées, essentiellement la symétrie de l’ellipsoïde triaxial. On propose donc une méthode rigoureuse permettant d’étudier l’évolution et la possibilité de l’existence de symétries nouvelles dont la symétrie tétraédrique. Le formalisme de l’équation de SCHRÖDINGER est replacé dans le cadre des espaces de RIEMANN. Ce formalisme est utilisé dans le contexte du noyau de l’atome où l’on applique la théorie du champ moyen alliée à l’approximation adiabatique. Le noyau est le siège de deux catégories de mouvements adiabatiquement séparés, le mouvement rapide des nucléons dans le champ moyen, et le mouvement collectif modifiant lentement le champ moyen. Le second est régi par une équation de SCHRÖDINGER collective qui prend place dans un espace dont la métrique est donnée par le tenseur de masse. L’étude de la géométrie du noyau est alors calculable à l’aide de deux grands programmes développés dans le cadre de la thèse. / The geometrical symmetries used in nuclear physics are not very diversified, essentially the symmetry of the triaxial ellipsoid. One proposes therefore a rigourous method allowing to study the temporal evolution and the possibility of the existence of new symmetries among them the tetrahedral symmetry. The formalism of SCHRÖDINGER equation is reformulated in the framework of RIEMANN’s spaces. This formalism is used in the context of the atomic nucleus where one applies the mean-field theory combined with the adiabatic approximation. The nucleus is the terrain of two types of motions adiabatically separated, the quick motion of the nucleons in the mean-field and the collective motion modifying slowly the meanfield. The second one is governed by a collective SCHRÖDINGER equation written down in a space whose metric is given by the mass tensor. The study of the nucleus geometry is then computable with the help of two big programs developped within the thesis.

Cette thèse porte sur le gaz de Bose à basse température. La première partie présente le lien mathématique entre la condensation de Bose-Einstein et le groupe des permutations. L'expression de la fonction de partition bosonique en intégrale de chemin fait apparaître la factorisation en produit de cycles des permutations. Pour un gaz de Bose idéal, l'existence d'un condensat de Bose-Einstein est équivalente à l'apparition de cycles de longueur infinie. La discussion s'étend ensuite aux gaz en interaction, et à l'étude de la superfluidité. La deuxième partie se concentre sur les gaz atomiques ultra-froids quasi-bidimensionnels, qui sont l'objet d'expériences récentes. L'approche du gaz de Bose en intégrale de chemin a permis de clarifier le rôle de l'excitation thermique résiduelle du mouvement vertical. Un modèle de champ moyen tenant compte de la troisième dimension est en accord avec les résultats numériques et expérimentaux, au-dessus de la température critique. Les déviations par rapport à la théorie de champ moyen sont étudiées au voisinage de la transition superfluide, où le gaz entre dans un régime dégénéré avec de forts effets de corrélations de paires.

Cette thèse s'intéresse à l'interaction entre le couplage spin-orbite et les corrélations électroniques dans la matière condensée. En effet, de plus en plus de matériaux - tels que les isolants topologiques ou les oxydes de métaux de transition 5d à base d'iridium - présentent des propriétés pour lesquels l'interaction spin-orbite joue un rôle essentiel. Parmi eux, l'iridate de strontium (Sr2IrO4) a récemment été décrit comme un "isolant de Mott régi par les effets spin-orbite": dans cette image, l'interaction de Coulomb entre les électrons et le couplage spin-orbite se combinent pour rendre le composé isolant. Nous avons étudié la phase isolante paramagnétique de ce matériau avec l'approche LDA+DMFT, une méthode qui combine la théorie de la fonctionnelle de la densité dans l'approximation de la densité locale (LDA) avec la théorie du champ moyen dynamique (DMFT). Sr2IrO4 s'est avéré être un isolant de Mott pour une valeur raisonnable des corrélations électroniques une fois que le couplage spin-orbite et les distorsions structurales du cristal ont été pris en compte. En outre, nos résultats mettent en évidence les rôles respectifs joués par ces deux éléments dans l'obtention d'un état isolant et montrent que seule leur action conjointe permet d'ouvrir un gap de Mott dans un tel composé. Afin de réaliser cette étude, le couplage spin-orbite a dû être inclus au sein du formalisme LDA+DMFT. L'intérêt d'un tel développement technique dépasse le cas de Sr2IrO4, cette implémentation, dite "LDA+SO+DMFT", pouvant être aussi utilisée pour prendre en compte les corrélations électroniques dans d'autres oxydes de métaux de transition 5d ou même au sein des isolants topologiques.

Le cortex cérébral des mammifères est constitué de larges et complexes réseaux de neurones. La tâche de ces assemblées de cellules est d’encoder et de traiter, le plus précisément possible, l'information sensorielle issue de notre environnement extérieur. De façon surprenante, les enregistrements électrophysiologiques effectués sur des animaux en comportement ont montré que l’activité corticale est excessivement irrégulière. Les motifs temporels d’activité ainsi que les taux de décharge moyens des cellules varient considérablement d’une expérience à l’autre, et ce malgré des conditions expérimentales soigneusement maintenues à l’identique. Une hypothèse communément répandue suggère qu'une partie importante de cette variabilité émerge de la connectivité récurrente des réseaux. Cette hypothèse se fonde sur la modélisation des réseaux fortement couplés. Une étude classique [Sompolinsky et al, 1988] a en effet montré qu'un réseau de cellules aux connections aléatoires exhibe une transition de phase : l’activité passe d'un point fixe ou le réseau est inactif, à un régime chaotique, où les taux de décharge des cellules fluctuent au cours du temps et d’une cellule à l’autre. Ces analyses soulèvent néanmoins de nombreuse questions : de telles fluctuations sont-elles encore visibles dans des réseaux corticaux aux architectures plus réalistes? De quelle façon cette variabilité intrinsèque dépend-elle des paramètres biophysiques des cellules et de leurs constantes de temps ? Dans quelle mesure de tels réseaux chaotiques peuvent-ils sous-tendre des computations ? Dans cette thèse, on étudiera la dynamique et les propriétés computationnelles de modèles de circuits de neurones à l’activité hétérogène et variable. Pour ce faire, les outils mathématiques proviendront en grande partie des systèmes dynamiques et des matrices aléatoires. Ces approches seront couplées aux méthodes statistiques des champs moyens développées pour la physique des systèmes désordonnées. Dans la première partie de cette thèse, on étudiera le rôle de nouvelles contraintes biophysiques dans l'apparition d’une activité irrégulière dans des réseaux de neurones aux connections aléatoires. Dans la deuxième et la troisième partie, on analysera les caractéristiques de cette variabilité intrinsèque dans des réseaux partiellement structurées supportant des calculs simples comme la prise de décision ou la création de motifs temporels. Enfin, inspirés des récents progrès dans le domaine de l’apprentissage statistique, nous analyserons l’interaction entre une architecture aléatoire et une structure de basse dimension dans la dynamique des réseaux non-linéaires. Comme nous le verrons, les modèles ainsi obtenus reproduisent naturellement un phénomène communément observé dans des enregistrements électrophysiologiques : une dynamique de population de basse dimension combinée avec représentations neuronales irrégulières, à haute dimension, et mixtes. / The mammalian cortex consists of large and intricate networks of spiking neurons. The task of these complex recurrent assemblies is to encode and process with high precision the sensory information which flows in from the external environment. Perhaps surprisingly, electrophysiological recordings from behaving animals have pointed out a high degree of irregularity in cortical activity. The patterns of spikes and the average firing rates change dramatically when recorded in different trials, even if the experimental conditions and the encoded sensory stimuli are carefully kept fixed. 
One current hypothesis suggests that a substantial fraction of that variability emerges intrinsically because of the recurrent circuitry, as it has been observed in network models of strongly interconnected units. In particular, a classical study [Sompolinsky et al, 1988] has shown that networks of randomly coupled rate units can exhibit a transition from a fixed point, where the network is silent, to chaotic activity, where firing rates fluctuate in time and across units. Such analysis left a large number of questions unsolved: can fluctuating activity be observed in realistic cortical architectures? How does variability depend on the biophysical parameters and time scales? How can reliable information transmission and manipulation be implemented with such a noisy code? 
In this thesis, we study the spontaneous dynamics and the computational properties of realistic models of large neural circuits which intrinsically produce highly variable and heterogeneous activity. The mathematical tools of our analysis are inherited from dynamical systems and random matrix theory, and they are combined with the mean field statistical approaches developed for the study of physical disordered systems. 
In the first part of the dissertation, we study how strong rate irregularities can emerge in random networks of rate units which obey some among the biophysical constraints that real cortical neurons are subject to. In the second and third part of the dissertation, we investigate how variability is characterized in partially structured models which can support simple computations like pattern generation and decision making. To this aim, inspired by recent advances in networks training techniques, we address how random connectivity and low-dimensional structure interact in the non-linear network dynamics. The network models that we derive naturally capture the ubiquitous experimental observations that the population dynamics is low-dimensional, while neural representations are irregular, high-dimensional and mixed.

Les matériaux corrélés offrent une richesse de nouveaux phénomènes, dont beaucoup ne sont pas encore - ou seulement partiellement - compris. Au centre de cette thèse sont des modèles multi-orbitalaires que j'etudie à travers une palette de méthodes, dont la théorie du champ moyen dynamique. Dans le modèle de Hubbard multi-orbitalaire proche de la transition de Mott, je mets en évidence un régime de mauvais métal induit par le couplage de Hund. Les propriétés de la transition de Mott dans ce système sont analysées. Dans un deuxèime temps, je traite un modèle élargi pour inclure des degrés de liberté des ligands dans les oxydes. Plus spécifiquement, cette thèse étudie les effets des interactions inter-couches entre orbitales corrélés d'un atome de métal de transition et les orbitales p des ligands. Une partie du travail est dédiée au développement de nouvelles méthodes dont une approche de rotateurs esclaves à ce problème. Le dernier chapitre concerne le domaine de la spintronique moléculaire, où j'étudie la physique du "spin-state switching" en fonction de l'hybridation d'un ion de métal de transition avec ses ligands dans les molecules organométalliques du type porphyrine de nickel. / The physics of correlated materials offers a wealth of new phenomena, many of which are not yet - or only partially - understood. In this thesis, we focus on multi-orbital models, which we study using various methods, including dynamical mean-field theory. We show that in the multi-orbital Hubbard model close to the Mott transition, Hund's coupling gives rise to a bad metal regime the properties of which we analyze. Furthermore, we consider a more general class of models that include oxygen ligands. More specifically, we study the effect of inter-shell interactions between correlated metal- and ligand p-orbitals. In this context, we develop and test a new slave-rotor approach to treat such interactions in an effective manner. The final chapter constitutes an excursion to the field of molecular spintronics, where we study the physics of the hybridization-induced spin-state switching in organometallic nickel porphyrin molecules.