Ce mémoire résume mes travaux dans 3 domaines reliés au "chaos quantique". J'y aborde tout d'abord les questions de répartition spatiale des fonctions propres de systèmes quantiques classiquement chaotiques. Dans une seconde partie, je résume mes travaux sur la distribution des résonances pour les systèmes de diffusion dont l'ensemble des trajectoires captées est fractal, et supporte une dynamique chaotique. Enfin, je mentionne des résultats obtenus sur les transformations chaotiques bruitées: l'étude du spectre, et de la relaxation vers l'équilibre de tels systèmes.

Les microlasers à base de polymères peuvent constituer un apport précieux pour le renouvellement des technologies et des fonctionnalités respectivement en amont et en aval de la photonique intégrée. Leur relative facilité de fabrication, leur compatibilité avec d'autres technologies (telle que celle des semi-conducteurs inorganiques), leur flexibilité structurelle à différentes échelles, de la molécules au sous-sytème, permettant d'élaborer plusieurs types d'émetteurs selon une grande diversité de cahiers des charges, ainsi que le faible indice de réfraction des matériaux qui facilite l'émission laser, prédestinent ces microlasers organiques à des applications potentielles allant des télécommunications optiques à la microdétection. Dans le présent travail, nous rapportons les résultats obtenus concernant la fabrication et la caractérisation des propriétés d'émission spectrales et spatiales de ces microlasers. La géométrie des cavités joue un rôle crucial dans ces dernières. Nous avons analysé quelques géométries standard telles que celle des polygones réguliers et avons identifié celles qui sont susceptibles d'exploitation dans la pratique. Nous avons ainsi étudié l'influence de la qualité de gravure sur des microlasers carrés dont la courbure des coins est contrôlée. Ces travaux nous ont permis de mettre en évidence la robustesse des résonances dans ce type de cavité et de préciser le rôle des coins sur le couplage externe. Une configuration assez originale a été proposée pour réaliser un microlaser unidirectionnel, combinant deux types de perturbation du disque : une déformation externe (en jouant sur la forme du contour) et une déformation interne (par introduction d'une ou plusieurs vacances circulaires). Cette étude a bénéficié de simulations numériques avec une modèle de rayons qui s'est révélé très prédictif et en bon accord avec les résultats expérimentaux. Quelques caractéristiques ayant trait plus spécifiquement à l'effet laser dans ces microrésonateurs organiques ont été également observées.

Reproduction de : Thèse de doctorat : Génie électrique : Reims : 2005. / Titre provenant de l'écran titre. Bibliogr. f. 143-152.

Dans cette thèse, on étudie deux paradigmes du chaos quantique: celui des symplectomorphismes linéaires du tore et celui du flot géodésique sur une variété riemannienne compacte. Dans les deux cas, on étudie le problème d'ergodicité quantique associé. Les résultats obtenus sont de deux sortes. D'une part, on obtient des bornes inférieures sur l'entropie des mesures semi-classiques en dimension 2. D'autre part, on obtient des résultats de type grandes déviations semi-classiques en toute dimension.

Le chaos quantique désigne l'étude de systèmes dont le prolongement classique est chaotique. Le modèle du pendule pulsé, qui en est un exemple paradigmatique, est réalisé expérimentalement en plaçant un échantillon d'atomes refroidis (MOT) dans une onde stationnaire pulsée formée par un faisceau laser retro-reflechi. L'étude de la dynamique s'appuie sur la mesure de la distribution d'impulsions des atomes. <br />Après avoir retrouvé expérimentalement le phénomène quantique de localisation dynamique, lié au caractère périodique de la séquence de pulses, la destruction de ce phénomène (délocalisation dynamique) par l'utilisation de séquences superposant deux séries de pulses de période (séquence bicolore) est étudiée puis expliquée par un modèle théorique. Cette analyse suggère que la délocalisation est, dans ce contexte, réversible. Il est ainsi montré expérimentalement qu'une séquence bicolore inversée conduit une délocalisation suivie d'une relocalisation.

Au cours de cette thèse, nous avons étudié deux problèmes spécifiques de chaos quantique. D'abord, nous avons confirmé le modèle de percolation critique pour décrire statistiquement les lignes nodales des fonctions d'onde de systèmes classiquement chaotiques. Dans ce but, les lignes ont été décrites à l'aide d'un processus de Schramm-Loewner et notre étude numérique concorde avec le récent théorème liant ce processus et la percolation au seuil critique. Dans une seconde partie nous avons généralisé les résultats connus en chaos quantique sur les billards fermés aux cavités diélectriques ouvertes. Nous avons donné des formules générales pour une légère pertubation d'une cavité circulaire et proposé une généralisation de formule de trace pour ces systèmes. En particulier nous donnons les premiers termes de la série de Weyl pour compter le nombre de résonances d'une cavité diélectrique. Ces résultats sont en accord avec les mesures expérimentales et nos calculs numériques. Ces deux études montrent le caractère fondamental et transversal des techniques du chaos quantique pour les problèmes actuels.

Cette thèse traite de plusieurs problèmes de théorie de la diffusion dans la limite semi-classique, c’est à dire des propriétés des fonctions propres généralisées d’un opérateur de Schrödinger à haute fréquence. Les fonctions propres généralisées d’un opérateur de Schrödinger sur l’espace euclidien, pour un potentiel lisse à support compact, peuvent toujours se décomposer comme la somme d’une partie entrante et d’une partie sortante, plus un terme négligeable à l’infini. La matrice de diffusion relie alors la partie entrante et la partie sortante de la fonction propre. Une première partie de ce travail concerne le spectre de la matrice de diffusion. On montre un résultat d’équidistribution des valeurs propres de la matrice de diffusion, sous l’hypothèse sans doute générique que les ensembles de points fixes de certaines applications définies à partir de la dynamique classique sont de mesure de Lebesgue nulle. Ce résultat était connu précédemment, sous l’hypothèse additionnelle que la dynamique classique est sans ensemble capté.Une seconde partie du travail concerne les ondes planes tordues, qui sont une famille particulière de fonctions propres généralisées d’un opérateur de Schrödinger, pouvant s'écrire comme la somme d'une onde plane et d'une partie purement sortante. Nous faisons l’hypothèse que la dynamique classique sous-jacente possède un ensemble capté hyperbolique, et qu’une certaine pression topologique est négative. Sous ces hypothèses, on obtient dans la limite semi-classique une description précise des ondes planes tordues comme une somme convergente d’états lagrangiens. On peut en particulier en déduire la mesure semi-classique associée aux ondes planes tordues. Si la variété est de courbure négative, et que le potentiel est nul, ces états lagrangiens sont associés à des lagrangiennes se projetant sans caustiques sur la variété de base. On peut alors en déduire des résultats sur les normes C^l et les ensembles nodaux des ondes planes tordues. Nous obtenons aussiune borne inférieure sur le nombre de domaine nodaux de la somme de deux ondes planes tordues de directions incidentes proches, pour une petite perturbation générique d’une métrique de courbure négative vérifiant la condition de pression topologique. / This thesis deals with several problems of scattering theory in the semi-classical limit, that is to say, with properties of the generalised eigenfunctions of a Schrödinger operator at high frequencies. The generalised eigenfunctions of a Schrödinger operator on the Euclidean space, with a compactly supported smooth potential, may always be written as the sum of an incoming wave and an outgoing wave, plus a term which is negligible at infinity. The scattering matrix relates the incoming part with the outgoing part. The first part of this work deals with the spectrum of the scattering matrix. We show an equidistribution result for the eigenvalues of the scattering matrix, under the hypothesis that the sets of fixed points of some maps defined from the classical dynamics has measure zero. This result was previously known under the additional assumption that the classical dynamics has an empty trapped set.A second part of this work deals with the distorted plane waves, which are a particular family of generalized eigenfunctions of a Schrödinger operator, which can be written as the sum of a plane wave and a purely outgoing part. We make the hypothesis that the underlying classical dynamics has a hyperbolic trapped set, and that a certain topological pressure is negative. Under these assumptions, we obtain in the semiclassical limit a precise description of distorted plane waves as a convergent sum of Lagrangian states. In particular, we can deduce from this the semiclassical measure associated to distorted plane waves. If we furthermore assume that the manifold has non-positive curvature, and that the potential is zero, these Lagrangian states project on the base manifold without caustics. We deduce from this results on the C^l norms and on the nodal sets of distorted plane waves. We also obtain a lower bound on the number of nodal domains of the sum of two distorted plane waves with close enough incoming directions , for a small generic perturbation of a metric of negative curvature satisfying the topological pressure assumption.

Nous suggérons qu'une matrice d'observables classiques, mesurées le long de trajectoires correspondants à un ensemble de points limites, en conjonction avec des outils statistiques de la théorie des matrices aléatoires, peut être utilisée en mécanique classique pour distinguer des systèmes chaotiques de systèmes intégrables. Nous considérons, comme exemples de systèmes chaotiques, des billards planaires : en stade, de Sinai et en cardioïde, en utilisant la longueur des trajectoires comme observables. Nous considérons aussi un exemple de billard optique en stade avec indice de réfraction variable, en utilisant le temps de propagation des rayons optiques comme observables. Nous trouvons que les résultats obtenus dans ces cas complètement chaotiques sont en accord avec les prédictions de la théorie des matrices aléatoires pour l'ensemble orthogonal gaussien (EOG), ce qui peut être expliqué à l'aide de théorèmes limites, tels que le théorème de la limite centrale. Nous considérons aussi les systèmes intégrables 2D du billard circulaire et du billard rectangulaire. Nous observons un comportement spectral très rigide avec des valeurs propres fortement corrélées, tel que pour un peigne de Dirac. Finalement, nous investiguons, toujours en 2D, la limite presque intégrable du billard en stade et de la famille des billards de Robnik, qui donnent des résultats près du comportement de Poisson observé en mécanique quantique pour la plupart des systèmes intégrables. Nos observations fournissent une très forte indication à l'effet que l'universalité dans les fluctuations spectrales tient aussi pour les systèmes classiques intégrables et les systèmes classiques complètement chaotiques. Alors que le comportement EOG dans les systèmes classiques chaotiques correspond au comportement EOG en chaos quantique, le comportement fortement corrélé en peigne de Dirac dans les systèmes classiques intégrables contraste avec le comportement poissonien non-corrélé typique des systèmes quantiques, mais demeure distinct du comportement EOG. / We suggest that a matrix of classical observables, measured along trajectories corresponding to a set of boundary points, in conjunction with statistical tools from random matrix theory can be used to distinguish chaotic from integrable systems. As examples of chaotic systems we consider planar billiards : stadium, Sinai and cardioid ; using length of trajectories as observables. We also consider an example of stadium optical billiard with varying index of refraction, using the time of travel of optical rays as observables. In the fully chaotic case we found agreement with predictions from random matrix theory for the Gaussian orthogonal ensemble (GOE) which can be understood in terms of limit theorems such as the Central Limit Theorem. We also consider the 2-D circular billiard and rectangular billiard integrable systems. We find a very rigid spectral behavior with strongly correlated eigenvalues as for a Dirac comb. Finally, we investigate the almost integrable limit of the stadium and Robnik's billiards, which show results close to the Poissonian behavior generally observed in quantum mechanics for regular systems. Our findings present evidence for universality in spectral fluctuations also to hold in classically integrable systems and in classically fully chaotic systems. While the GOE behavior in classically chaotic systems corresponds to GOE behavior in quantum chaos, the fully correlated Dirac comb behavior in classically integrable systems contrasts the typical uncorrelated Poissonian behavior in quantum systems, but still remains clearly distinct from GOE's.

Cette thèse est consacrée à des problèmes liés à l'étude de la limite semi-classique en mécanique quantique. Le premier chapitre présente une formulation géométrique qui est équivalente au principe variationnel. Elle consiste à concevoir la dynamique classique comme une projection orthogonale de la dynamique quantique sur la famille des états cohérents. L'angle de la projection nous renseigne sur la validité de l'approximation obtenue. Ces résultats sont illustrés par un exemple numérique. Le deuxième chapitre s'attache à la mécanique quantique sur le tore en tant qu'espace de phase, et en particulier à l'étude des dégénérécences dans le spectre de modèles du type Harper, ou Harper pulsé qui manifestent du chaos classique. Ce type de modèles trouve ses applications essentiellement en physique du solide, notamment pour l'effet Hall quantique. Cette étude se fait d'une part à l'aide de l'indice de Chern qui caractérise de fa¸con topologique la local- isation des fonctions d'ondes lorsque des conditions de périodicité sont changées, et d'autre part par la distribution de Husimi permet de représenter un état quantique dans l'espace de phase. Nous discutons le rˆole joué par les états associés à une séparatrice, par l'effet tunnel et par la nature chaotique de la dynamique.

En dimension trois, les états propres d'une particule quantique soumise à un potentiel désordonné présentent une transition, appelée transition d'Anderson, entre un régime délocalisé à faible désordre et un régime localisé à fort désordre. Cette localisation étant due aux interférences, elle est facilement perturbée par des effets de décohérence ou d'interaction entre particules, et est donc délicate à observer. Dans ce mémoire, nous rapportons nos travaux théoriques ayant permis la première observation expérimentale de la transition d'Anderson avec des ondes de matière atomiques.<br /><br />Un nuage d'atomes froids soumis à une onde stationnaire pulsée de façon quasi-périodique réalise une variante du Kicked Rotor (paradigme du chaos quantique) analogue à un modèle d'Anderson 3D. Cependant, la limite thermodynamique n'est pas accessible expérimentalement. Interprétant ces contraintes comme similaires à des effets de taille finie, nous construisons une méthode de ``finite-time scaling'' permettant de caractériser la transition expérimentalement, de donner la première détermination expérimentale non-ambigüe de l'exposant critique $\nu$ de la transition, et de confirmer que le Kicked Rotor quasi-périodique appartient à la même classe d'universalité que le modèle d'Anderson. À partir de la théorie auto-cohérente de la localisation, nous calculons l'état critique du système, prédiction trouvée en très bon accord avec les données expérimentales et numériques.