In this thesis, a 2D CHebyshev spectral domain decomposition method is developed for simulating the generation and propagation of internal waves over a topography. While the problem of stratified flow over topography is by no means a new one, many aspects of internal wave generation and breaking are still poorly understood. This thesis aims to reproduce certain observed features of internal waves by using a Chebyshev collation method in both spatial directions. The numerical model solves the inviscid, incomprehensible, fully non-linear, non-hydrostatic Boussinesq equations in the vorticity-streamfunction formulation. A number of important features of internal waves over topography are captured with the present model, including the onset of wave-breaking at sub-critical Froude numbers, up to the point of overturning of the pycnoclines. Density contours and wave spectra are presented for different combinations of Froude numbers, stratifications and topographic slope. / by Arjun Jagannathan. / Thesis (M.S.C.S.)--Florida Atlantic University, 2012. / Includes bibliography. / Mode of access: World Wide Web. / System requirements: Adobe Reader.

Neural networks, control and systems theory and techniques are utilized in this work to improve the accuracy of measurement instruments. Contributions can be classified by subject under the major field they belong to. One contributions is the mathematical formulation of instruments based on system approach; it permits the global treatment of the measurements system without particularizing parts or having to specify the cause of the problems. Therefore, it guarantees that the advantages of systems approach are reached. Another contribution is the utilization of neural networks as estimators or as neurocontrollers. The neural estimators of measurement system functions are called emulator herein. Within this context the second method of Lyapunov is employed to study the stability and tracking of the system, resulting in a compensating measurement system with self adjustment. Another contribution is a basic procedure to building neural networks in a way that their capability to universal approximation to continuous functions is taken advantage of. Methodologies used in neural networks are reviewed, they are used to choosing the topology of the neural network and the number of hidden neurons. The innovation of this procedure is the utilization of polynomial interpolation theory, more specifically the Chebyshev theorem. It determines the size of the training set and indicates the elements of this training set to achieve the desired accuracy.

La première partie de cette thèse traite de la manipulation des séries de polynômes orthogonaux classiques par le calcul formel. Grâce à l'approche hypergéométrique, nous obtenons de manière synthétique et constructive des opérateurs aux différences qui définissent les opérations élémentaires sur les séries de polynômes orthogonaux classiques telles que le produit par un polynôme, la dérivation ou l'évaluation des séries partielles. Ces opérations élémentaires sont implémentées en Maple sous forme de primitives à partir desquelles des opérations plus complexes sont construites : application d'un opérateur différentiel, produits de séries et surtout la résolution de problèmes différentiels au moyen de tau-méthodes. Dans le cas des séries de Chebyshev, les résultats de la premiére partie permettent de construire une équation récurrente, dite récurrence de Chebyshev, vérifiée par les coefficients de Chebyshev de toute fonction solution d'une équation différentielle holonome donnée. Divers problèmes relatifs à la construction et à la structure de la récurrence de Chebyshev sont traités. Parallèlement, les solutions de la récurrence de Chebyshev conduisent à la notion de série de Chebyshev formelle solution d'une équation différentielle. Un théorème décrit le comportement asympotique des coefficients d'une telle série qui peut être divergente. Dans certains cas, le lien entre une série de Chebyshev divergente et une fonction toutes deux solutions de la même equation differentielle peut être établi soit par des méthodes de resommation soit par une suite d'intégrales dans le champ complexe.

Je définis tout d'abord les polynômes vectoriels orthogonaux relativement à une matrice r x s de mesures ou de poids et je rappelle les propriétés habituelles : la récurrence à r+s+1 termes, le théorème de Shohat-Favard ou l'égalité de Christoffel-Darboux. Ces polynômes permettent, par l'utilisation d'approximants de Padé, de caractériser l'ensemble résolvant de l'opérateur aux différences associé aux récurrences. Cette caractérisation a déjà été donnée par Duren mais la démonstration utilisée ici est novatrice. Je définis ensuite des fonctions homographiques sur l'ensemble des matrices $r\times s$. J'uniformise ainsi tous les cas connus de fractions continues: scalaire, vectoriel ou matriciel. Elles permettent aussi de démontrer un théorème d'accélération de convergence de fractions continues matricielles, généralisation d'un théorème similaire pour les fractions généralisées donné par de Bruin et Jacobsen. J'utilise alors les polynômes vectoriels pour calculer les coefficients de récurrence d'autres polynômes par l'algorithme de Chebyshev modifié vectoriel, généralisation du cas scalaire pour lequel nous démontrons des critères de stabilité. Finalement, l'algorithme de Chebyshev modifié est utilisé pour étudier l'évolution temporelle du système dynamique semi-infini de Toda-Langmuir. Dans ce système, les particules sont sur le semi-axe réel et elles interagissent suivant une loi exponentielle décroissante. L'approche utilisée pour résoudre le problème est, encore une fois, innovante. En effet, j'étudie seulement les n premières particules et je m'intéresse à l'erreur commise sur l'évolution lorsque l'on tronque le système à N>>n quantités c'est-à-dire que l'on travaille avec un système fini. Je présente l'étude théorique de l'erreur, où je réutilise nos résultats sur la stabilité de l'algorithme de Chebyshev modifié, ainsi que des exemples numériques.

Ce travail porte sur l'étude théorique et numérique des splines de Chebyshev. Ces fonctions généralisent les splines polynomiales tout en préservant l'essentiel de leurs propriétés. Elles offrent de plus un intérêt particulier pour le design géométrique grâce aux paramètres de forme qu'elles fournissent. Dans un premier temps, nous étudions les splines basées sur un espace de Chebyshev invariant par translations, et les propriétés de la B-spline correspondante. Dans un deuxième temps, nous montrons, sous certaines hypothèses, que la base des B-splines de Chebyshev est orthonormale dans un espace de Sobolev pondéré par une suite unique de nombres positifs. La meilleure approximation dans l'espace de splines de Chebyshev au sens de la norme associé au produit scalaire précédent est alors un projecteur local. Enfin, pour l'implémentation numérique des résultats précédents, nous utilisons une méthode de quadratures adaptées. Quelques exemples illustrant les effets de forme obtenus sont présentés. Ces résultats généralisent un résultat prouvé récemment par Ulrich Reif dans le cas particulier des splines polynomiales.

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Many problems in fluid mechanics and material sciences deal with liquid-vapour flows. In these flows, the ideal gas assumption is not accurate and the van der Waals equation of state is usually used. This equation of state is non-convex and causes the solution domain to have two hyperbolic regions separated by an elliptic region. Therefore, the governing equations of these flows have a mixed elliptic-hyperbolic nature. Numerical oscillations usually appear with standard finite-difference space discretization schemes, and they persist when the order of accuracy of the semi-discrete scheme is increased. In this study, we propose to use a Chebyshev pseudospectral method for solving the governing equations. A comparison of the results of this method with very high-order (up to tenth-order accurate) finite difference schemes is presented, which shows that the proposed method leads to a lower level of numerical oscillations than other high-order finite difference schemes, and also does not exhibit fast-traveling packages of short waves which are usually observed in high-order finite difference methods. The proposed method can thus successfully capture various complex regimes of waves and phase transitions in both elliptic and hyperbolic regimes

Many problems in fluid mechanics and material sciences deal with liquid-vapour flows. In these flows, the ideal gas assumption is not accurate and the van der Waals equation of state is usually used. This equation of state is non-convex and causes the solution domain to have two hyperbolic regions separated by an elliptic region. Therefore, the governing equations of these flows have a mixed elliptic-hyperbolic nature. Numerical oscillations usually appear with standard finite-difference space discretization schemes, and they persist when the order of accuracy of the semi-discrete scheme is increased. In this study, we propose to use a Chebyshev pseudospectral method for solving the governing equations. A comparison of the results of this method with very high-order (up to tenth-order accurate) finite difference schemes is presented, which shows that the proposed method leads to a lower level of numerical oscillations than other high-order finite difference schemes, and also does not exhibit fast-traveling packages of short waves which are usually observed in high-order finite difference methods. The proposed method can thus successfully capture various complex regimes of waves and phase transitions in both elliptic and hyperbolic regimes

The solution of initial value problems (IVPs) provides the evolution of dynamic system state history for given initial conditions. Solving boundary value problems (BVPs) requires finding the system behavior where elements of the states are defined at different times. This dissertation presents a unified framework that applies modified Chebyshev-Picard iteration (MCPI) methods for solving both IVPs and BVPs. Existing methods for solving IVPs and BVPs have not been very successful in exploiting parallel computation architectures. One important reason is that most of the integration methods implemented on parallel machines are only modified versions of forward integration approaches, which are typically poorly suited for parallel computation. The proposed MCPI methods are inherently parallel algorithms. Using Chebyshev polynomials, it is straightforward to distribute the computation of force functions and polynomial coefficients to different processors. Combining Chebyshev polynomials with Picard iteration, MCPI methods iteratively refine estimates of the solutions until the iteration converges. The developed vector-matrix form makes MCPI methods computationally efficient. The power of MCPI methods for solving IVPs is illustrated through a small perturbation from the sinusoid motion problem and satellite motion propagation problems. Compared with a Runge-Kutta 4-5 forward integration method implemented in MATLAB, MCPI methods generate solutions with better accuracy as well as orders of magnitude speedups, prior to parallel implementation. Modifying the algorithm to do double integration for second order systems, and using orthogonal polynomials to approximate position states lead to additional speedups. Finally, introducing perturbation motions relative to a reference motion results in further speedups. The advantages of using MCPI methods to solve BVPs are demonstrated by addressing the classical Lambert’s problem and an optimal trajectory design problem. MCPI methods generate solutions that satisfy both dynamic equation constraints and boundary conditions with high accuracy. Although the convergence of MCPI methods in solving BVPs is not guaranteed, using the proposed nonlinear transformations, linearization approach, or correction control methods enlarge the convergence domain. Parallel realization of MCPI methods is implemented using a graphics card that provides a parallel computation architecture. The benefit from the parallel implementation is demonstrated using several example problems. Larger speedups are achieved when either force functions become more complicated or higher order polynomials are used to approximate the solutions.

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