Le présent travail se veut une contribution à l’extension du domaine des applications de la théorie des chemins rugueux à travers l’étude de la convergence des processus discrets, qui permet un nouveau regard sur plusieurs problèmes qui se posent dans le cadre du calcul stochastique classique. Nous étudions la convergence en topologie rugueuse, d’abord des chaînes de Markov sur graphes périodiques, ensuite des marches de Markov cachées, et ce changement de cadre permet d’apporter des informations supplémentaires sur la limite grâce à l’anomalie d’aire, invisible en topologie uniforme. Nous voulons montrer que l’utilité de cet objet dépasse le cadre des équations différentielles. Nous montrons également comment le cadre des chemins rugueux permet d’en- coder la manière dont on plonge un modèle discret dans l’espace des fonctions continues, et que les limites des différents plongements peuvent être différenciées précisément grâce à l’anomalie d’aire. Nous définissons ensuite les temps d’occupation itérés pour une chaîne de Markov et montrons, en utilisant les sommes itérées, qu’ils donnent une structure combinatoire aux marches de Markov cachées. Nous proposons une construction des chemins rugueux en passant par les sommes itérées et la comparons à la construction classique, faite par les intégrales itérées, pour trouver à la limite deux types de chemins rugueux différents, non-géométrique et géométrique respectivement. Pour finir, nous illustrons le calcul et la construction de l’anomalie d’aire et nous donnons quelques résultats supplémentaires sur la convergence des sommes et temps d’occupation itérés. / Through the present work, we hope to contribute to extending the domain of applications of rough paths theory by studying the convergence of discrete processes and thus allowing for a new point of view on several issues appearing in the setting of classical stochastic calculus. We study the convergence, first of Markov chains on periodic graphs, then of hidden Markov walks, in rough path topology, and we show that this change of setting allows to bring forward extra information on the limit using the area anomaly, which is invisible in the uniform topology. We want to show that the utility of this object goes beyond the setting of dierential equations. We also show how rough paths can be used to encode the way we embed a discrete process in the space of continuous functions, and that the limits of these embeddings dier precisely by the area anomaly term. We then define the iterated occupation times for a Markov chain and show using iterated sums that they form an underlying combinatorial structure for hidden Markov walks. We then construct rough paths using iterated sums and compare them to the classical construction, which uses iterated integrals, to get two dierent types of rough paths at the limit: the non-geometric and the geometric one respectively. Finally, we illustrate the computation and construction of the area anomaly and we give some extra results on the convergence of iterated sums and occupation times.

Ce travail, à la frontière de l’analyse et des probabilités, s’intéresse à l’étude de systèmes différentiels a priori mal posés. Nous cherchons, grâce à des techniques issues de la théorie des chemins rugueux et de l’étude trajectorielle des processus stochastiques, à donner un sens à de tels systèmes puis à les résoudre, tout en montrant que les notions proposées ici étendent bien les notions classiques de solutions. Cette thèse se décompose en trois chapitres. Le premier traite des systèmes différentiels ordinaires perturbés additivement par des processus irréguliers éventuellement stochastiques ainsi que des effets de régularisation de tels processus. Le deuxième chapitre concerne l’équation de transport linéaire perturbée multiplicativement par des chemins rugueux ; enfin, le dernier chapitre s’intéresse à une équation de la chaleur non linéaire perturbée par un bruit blanc espace-temps, l’équation de quantisation stochastique phi4 en dimension 3. / In this work we investigate a priori ill-posed differential systems from an analytic and probabilistic point of view. Thanks to technics inspired by the rough path theory and pathwise study of stochastic processes, we want to define those ill-posed systems and then study them. The first chapter of this thesis is related to ordinary differential equations perturbed by some irregular (stochastic) processes and the effects induced by the regularization of such processes. The second chapter deals with the linear transport equation multiplicatively perturbed by a rough path. Finally, in the last chapter we investigate the stochastic quantization equation Phi4 in three dimensions.

Nous étudions les propriétés métriques locales des ensembles de niveau des applicationshorizontalement différentiables entre des groupes de Carnot, c'est-à-dire différentiable par rapport à la structure sous-riemannienne intrinsèque.Nous considérons des applications dont la différentielle horizontale est surjective,et notre étude peut être vue comme une généralisation du théorème des fonctions implicites pour les groupes de Carnot.Tout d'abord, nous présentons deux notions de tangence dans les groupes de Carnot:la première basée sur la condition de platitude au sens de Reifenberg et la deuxième issue de l'analyse convexe classique.Nous montrons que dans les deux cas, l'espace tangent à un ensemble de niveau coïncide avec le noyau de la différentielle horizontale.Nous montrons que cette condition de tangence caractérise en fait les ensembles de niveaudits ‘co-abéliens', c'est-à-dire ceux pour lesquels l'espace d'arrivée est abélien, et qu'une telle caractérisation n'est pas vraie en général.Ce résultat sur les espaces tangents a plusieurs conséquences remarquables.La plus importante est que la dimension de Hausdorff des ensembles de niveau est celle à laquelle l'on s'attend.Nous montrons également la connectivité locale des ensembles de niveau, et le fait que les ensembles de niveau de dimension 1 sont topologiquement des arcs simples.Pour les ensembles de niveau de dimension 1 nous trouvons une formule de l'aire qui permet d'exprimer la mesure de Hausdorff en termes d'intégrales de Stieltjes généralisées.Ensuite, nous menons une étude approfondie du cas particulier des ensembles de niveau dans les groupes d'Heisenberg.Nous montrons que les ensembles de niveau sont topologiquement équivalents à leurs espaces tangents.Il s'avère que la mesure de Hausdorff des ensembles de niveau de codimension élevée est souvent irrégulière, étant, par exemple, localement nulle ou infinie.Nous présentons une condition simple de régularité supplémentaire pour une application pour assurer la régularité au sens d'Ahlfors des ses ensembles de niveau.Parmi d'autres résultats, nous obtenons une nouvelle caractérisation généraledes graphes Lipschitziens associés à une décomposition en produit semi-direct d'un groupe de Carnot.Nous traitons, en particulier, le cas des groupes de Carnot dont le nombre de stratesest plus grand que $2$.Cette caractérisation nous permet de déduire une nouvelle caractérisation des ensemblesde niveau co-abéliens qui admettent une représentation en tant que graphe. / Metric properties of level sets of differentiable maps on Carnot groupsAbstract.We investigate the local metric properties of level sets of mappings defined between Carnot groups that are horizontally differentiable, i.e.with respect to the intrinsic sub-Riemannian structure. We focus on level sets of mapping having a surjective differential,thus, our study can be seen as an extension of implicit function theorem for Carnot groups.First, we present two notions of tangency in Carnot groups: one based on Reifenberg's flatness condition and another coming from classical convex analysis.We show that for both notions, the tangents to level sets coincide with the kernels of horizontal differentials.Furthermore, we show that this kind of tangency characterizes the level sets called ``co-abelian'', i.e.for which the target space is abelian andthat such a characterization may fail in general.This tangency result has several remarkable consequences.The most important one is that the Hausdorff dimension of the level sets is the expected one. We also show the local connectivity of level sets and, the fact that level sets of dimension one are topologically simple arcs.Again for dimension one level set, we find an area formula that enables us to compute the Hausdorff measurein terms of generalized Stieltjes integrals.Next, we study deeply a particular case of level sets in Heisenberg groups. We show that the level sets in this case are topologically equivalent to their tangents.It turns out that the Hausdorff measure of high-codimensional level sets behaves wildly, for instance, it may be zero or infinite.We provide a simple sufficient extra regularity condition on mappings that insures Ahlfors regularity of level sets.Among other results, we obtain a new general characterization of Lipschitz graphs associated witha semi-direct splitting of a Carnot group of arbitrary step.We use this characterization to derive a new characterization of co-ablian level sets that can be represented as graphs.