Title: Construction of pseudoscalar meson amplitudes in chiral perturbation theory using a dispersive approach Author: Martin Zdráhal Department: Institute of Particle and Nuclear Physics, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University in Prague Supervisor: RNDr. Jiří Novotný, CSc. Abstract: We have developed a method enabling a construction of two-loop 2 → 2 scatter- ing amplitudes of pseudoscalar mesons based on the dispersion and the unitarity relations. This method is illustrated on the construction of the amplitudes of all such processes in chiral perturbation theory in isospin limit taking into account strong interactions only. Then it was used for the construction of ππ scattering amplitudes and of K → 3π and η → 3π decay amplitudes including isospin breaking effects induced by different masses of the particles belonging to the same isomultiplet. These parametrizations are prepared for various phenomenological analyses of the ππ scattering lengths and of the isospin breaking effects, both of which could pro- vide us important information for the understanding of quantum chromody- namics at low energies. Finally, we have performed the phenomenological study of η → 3π decay and obtained a value of the quark mass ratio 1/R = (md − mu)/(ms − ˆm). Our conservative estimate is R = 39.6+2.5 −5.1....

The F and G formfactors of Kl4 decays are calculated to O(p4 ) in isospin limit in Resummed Chiral Perturbation Theory. Formulae for reparametrization of low-energy constants L1 - L3 in terms of physical observables are derived. They are used to obtain values of these low-energy constants from recent experimental data, theoretical error of the result is estimated and dependence on parameters X, Z of spontaneous symmetry breaking of SU(3) × SU(3) chiral symmetry and quark mass ratio r is investigated. Convergence of the formfactors in Resummed Chiral Perturbation Theory is discussed and it is suggested that inclusion of σ as an explicit degree of freedom into Chiral Perturbation Theory could significantly improve overall covergence of chiral series. 1

Title: Some aspects of low-energy QCD at the precision frontier Author: Tomáš Husek Department/Institute: Institute of Particle and Nuclear Physics Supervisor of the doctoral thesis: doc. RNDr. Karol Kampf, Ph.D. Abstract: This thesis concentrates on some low-energy aspects of QCD, namely on those which are connected to the electromagnetic decays of lightest neutral pseudoscalar mesons. Calculations of radiative corrections to neutral pion decays (the Dalitz decay and the rare decay) and a novel model for the pion electro- magnetic transition form factor are subjects discussed in the attached papers, which this work is based on. The associated theoretical aspects including Chiral Perturbation Theory or the large-Nc limit are introduced. We also discuss the complications which arise when the calculations of radiative corrections for η(′) Dalitz decays are performed. Some details about the collaboration with experi- ments which incorporate the calculation of the published corrections are provided. Last but not least, some techniques related to loop integrals are shown. Keywords: Chiral Perturbation Theory, large-Nc limit, radiative corrections, pion electromagnetic transition form factor 1

This work is included in a broader research of the hadron theory group of Uppsala University and its collaborators tackling the quest for an understanding of the quark distribution inside hadrons by joining threedifferent approaches of QCD namely chiral perturbation theory, dispersion theory and lattice QCD. This thesis contributes by computing in chiral perturbation theory, the quark-masses dependence of form factors. The next-to-next-to-Leading order (NNLO) contribution to the form factors is calculated from one-loop diagrams which brings hadron-masses dependences. The hadron masses are themselves dependent on quark masses. Consequently, the quark-mass dependence of the hadron masses is also addressed in this thesis.The studied process Ω− → W−Ξ0 possesses too many one-loop diagrams to be treated entirely here. This work focuses on the axial-vector sector and more specifically the part coming from the diagrams linear in the low-energy constant hA (see figure 2).To do so, Mathematica and specifically the packages FeynCalc, FeynHelpers and Package X are used. Vector transition form factors at NNLO are presented in the thesis of my colleague Magnus Bertilsson.The present thesis demonstrates that the calculational framework is feasible and paves the way for a complete NNLO calculation.

To learn more about the structure of hadrons we study form factors. In the semi-leptonic decay Ω- → Ξ0W- two types of form factors arise namely the vector and axial-vector transition form factors. We focus on the vector transition form factors at next-to-next-to-leading order in the power counting of chiral perturbation theory and study their quark mass dependence. They are related to the scattering amplitude for the transition and therefore we have to calculate Feynman diagrams. Next-to-next-to-leading order Feynman diagrams translate to 1-loop diagrams and at this order there is a substantial amount of them. This study is a feasibility study and therefore we limit this study to diagrams containing the low-energy constants HA and hA from the leading order chiral Lagrangian. There are 5 such diagrams, three with two propagators in the loop (bubble diagrams) and two with three propagators in the loop (triangle diagrams). We derive explicit expressions for all 5 diagrams. To calculate these diagrams numerically we use Mathematica and FeynCalc. We provide numerical results for the three bubble diagrams but not the triangle diagrams due to the long computing time for these diagrams. Therefore, we show that performing form factor calculations at NNLO seems feasible but there needs to be more investment into figuring out the coding aspects regarding the triangle diagrams.

Das Ziel dieser Dissertation besteht darin, die Realisierbarkeit der Berechnungen der Niederenergie-Konstanten der chiralen Lagrangedichte zur Gewinnung physikalischer Informationen im epsilon--Regime der quenched QCD zu erforschen. Wir haben der Neuberger Operator und Overlap Hyperkubus Operator eingesetzt. Ein Hauptergebniss dieser Arbeit ist der Vergleich der Wahrscheinlichkeitsverteilungen einzelner Eigenwerte des Neuberger Operators in der QCD mit den analytischen Vorhersagen der Theorie der Zufallsmatritzen. Wir beobachten eine gute Übereinstimmung solange jede Seite des physikalischen Volumens größ er als etwa 1.12 fm ist. Dabei kann auch das chirale Kondensat Sigma abgeschätzt werden. Es ergab sich, daß diese untere Schranke von L allgemein gilt und die Größ e des physikalischen Volumens, auf dem der Axialkorrelator den Vorhersagen des chiralen Störungstheorie folgt, festlegt. Damit koennen wir die Pionzerfallskonstante bestimmen. Unsere Simulationen zeigen, daß wegen der groß en Wahrscheinlichkeit niedriger Eigenwerte die Messung des Axialkorrelators im topologischen neutralen Sektor extrem aufwändig ist. Doch reicht die Empfindlichkeit der Vorhersagen der chiralen Störungstheorie in höheren topologischen Sektoren bei der gegebenen Statistik nicht zur Bestimmung von Sigma aus. Als alternative Methode, gehen wir dazu über, allein den Beitrag der Nullmoden zu betrachten. Hier koennen wir Abschätzungen für die Pionzerfallskonstante und alpha gewinnen. Wir berechnen die topologische Suszeptibilität für den Neuberger und Overlap Hyperkubus Operator. Im letzten Fall ist der berechnete Wert näher beim Kontinuumslimes. Die Lokalisierung für den Overlap Hyperkubus Operator ist auch besser als für den Neuberger Operator. Unser anderes Ziel ist die Erforschung einer topologieerhaltenden Eichwirkung. / This thesis is dedicated to explore the feasibility of extraction of the low energy constants of the chiral Lagrangian in the epsilon--regime of quenched QCD. We apply two formulations of the Ginsparg-Wilson fermions, namely, the Neuberger operator and the hypercube overlap operator to compute the observables of interest. As a main result we present the comparison of the distributions of the leading individual eigenvalues of the Neuberger operator in QCD and the analytical predictions of chiral random matrix theory. We observe a good agreement as long as each side of the physical volume exceeds about 1.12 fm. At the same time the chiral condensate Sigma can also be estimated. It turns out that this bound for L is generic and sets the size of the physical volume where the axial correlator behaves according to chiral perturbation theory. This allows us to compute a value for the pion decay constant. The simulations also show that due to the high probability of the near-zero modes it is prohibitively difficult to sample the axial correlator in the neutral topological sector. In the higher sectors, however, we observe that the sensitivity of the analytical predictions for the axial correlator to extract Sigma is lost to a large extent. As an alternative procedure we only consider the contribution from the zero modes. Here we are able to obtain an estimate for the pion decay constant and alpha, where alpha is a low energy constant peculiar to quenching. We calculate the topological susceptibility, both for the Neuberger operator and for the overlap hypercube operator. It turns out that the result with the overlap hypercube operator is closer to the continuum limit. Also the locality properties are superior to those of the Neuberger fermions. As a theoretical development the Lüscher topology conserving gauge action is investigated. This enables us to sample the observables of interest in the epsilon--regime without recomputing the index.

Eine zusammenfassende Übersicht über die Formulierung der chiralen Störungstheorie (ChPT) für die Gitter Quantenchromodynamik (QCD) ist gegeben. Wir beginnen mit kurzen Zusammenfassungen der chiralen Störungstheorie für die Kontinuum-QCD sowie Symanziks effektiver Theorie für die Gitter-QCD. Anschließend wird die Formulierung der ChPT für die Gitter-QCD behandelt. Nach einem weiteren Kapitel über partial quenching und Theorien mit gemischten Wirkungen werden konkrete Anwendungen diskutiert: Wilson ChPT, staggered ChPT sowie Wilson ChPT mit einem chiral verdrehten Massenterm. Die folgenden Kapitel behandeln das Epsilonregime mit Wilsonfermionen sowie ausgewählte Resultate für ChPT mit gemischten Wirkungen. Den Abschluß bildet die Formulierung der chiralen Störungstheorie für schwere Vektormesonen mit Wilsonfermionen. / The formulation of chiral perturbation theory (ChPT) for lattice Quantum Chromodynamics (QCD) is reviewed. We start with brief summaries of ChPT for continuum QCD as well as the Symanzik effective theory for lattice QCD. We then review the formulation of ChPT for lattice QCD. After an additional chapter on partial quenching and mixed action theories various concrete applications are discussed: Wilson ChPT, staggered ChPT and Wilson ChPT with a twisted mass term. The remaining chapters deal with the epsilon regime with Wilson fermions and selected results in mixed action ChPT. Finally, the formulation of heavy vector meson ChPT with Wilson fermions is discussed.

Das Ziel dieser Doktorarbeit ist die Berechnung, aus ersten Prinzipien, von Niedrigenenergiekonstanten (NEK), welche die chirale Störungsheorie (ChST) parametrisieren, durch Simulationen auf dem Gitter. Diese Arbeit ist eine Pilotstudie und will deshalb nicht zu definitiven und präzisen quantitativen Vorhersagen führen, sondern wir möchten qualitative Leitlinien für zukünftige genauere Erforschungen der epsilon-Entwicklung der ChST geben. Letztere ist ein Gebiet in dem die chirale Symmetrie wiederhergestellt ist und wo die Compton-Wellenlänge der leichtesten Mesonen grösser als die lineare Dimension des endlichen Volumens ist. Die epsilon-Region ist weiterhin durch die wichtige Rolle der topologischen Ladung, nu, charakterisiert, so dass die Untersuchung der mesonischen Zweipunkt-Korrelationsfunktionen in definierten topologischen Sektoren vorzunehmen ist. Aus diesem Grunde haben wir chirale Fermionen auf dem Gitter simuliert, wobei der overlap Formalismus für den Dirac Operator, mit dem gewöhnliches Wilson Dirac Operator als Kern, in der quenched Approximation genommen wurde. Wir demonstrieren dass der Sektor mit neutraler topologischer Ladung, nu = 0, numerisch sehr schwierig zu untersuchen ist, weil die Daten von erheblichen Spitzen beeinflusst werden, die aufgrund sehr kleiner, nicht verschwindender Eigenwerte herrühren. Diese Beobachtung findet eine Übereinstimmung in einer Studie der Random Matrix Theory (RMT), die besagt, dass man eine Statistik von mehr als 10000 Konfigurationen benötigt, falls man auf kleine Eigenwerte empfindlich reagierende physikalische Grössen, im triviale topologische Sektoren simulieren möchte. Weniger Probleme ergeben sich in dem nicht-trivialen Sektoren |nu| > 0: wir präsentieren deshalb unsere Ergebnisse aus dem topologisches Sektor nu = 1 und den Daten aus das Sektor mit nu = 2 nur als Gegenprobe. Wir zeigen die Existenz einer unteren Schranke für das physikalisches Volumen bei V > 1 fm zur vierten Potenz für die Gültigkeit der ChST, übereinstimmend mit einer vorherigen Beobachtung aus der RMT. Wir beschränken deshalb unsere Untersuchung auf ein grösseres Gitter, wo wir die Daten des axialen Korrelators mit den Vorhersagen der ChST in der Valenzquark-Approximation fitten und eine stabile Bestimmung der gequenchten Pionen-Zerfallskonstante, F, erhalten. Die skalaren und pseudoskalaren Korrelationsfunktionen sind durch mehrere NEK parametrisiert. Dadurch ist der Vergleich mit den Vorhersagen der ChST schwieriger, und deshalb präsentieren wir nur einige Abschätzungen, die mit der entsprechenden Literatur verglichen werden. Zum Schluss präsentieren wir mögliche Implementierungen von verbesserten Algorithmen für die Inversion des overlap Operators, die die Simulationkosten reduzieren. / The aim of this thesis is the computation of Low Energy Constants (LEC) which parameterise Chiral Perturbation Theory (ChPT) from a first principles analysis via lattice simulations. The thesis provides a pilot study and will not give definitive and precise quantitative predictions, but rather our aim is to provide qualitative hints for future accurate investigations of the epsilon-expansion of ChPT, where chiral symmetry is restored and the Compton wavelength of the lightest meson is larger than the linear size of the finite volume. One of the property characterising the epsilon-regime is the important role played by the topological charge, nu, leading to the investigation of the two-point meson correlation functions in distinct topological sectors. To this end, we simulate chiral fermions on the lattice adopting the overlap formalism for the Dirac operator in the quenched approximation, with the kernel provided by the usual Wilson Dirac operator. We demonstrate that the neutral topological sector, nu = 0, is very difficult to explore numerically, as the data are affected by large spikes due to the presence of very small, non-zero eigenvalues. This observation is in agreement with a study of Random Matrix Theory (RMT), which indicates that a statistic of more than 10000 configurations is required when physical quantities sensitive to small eigenvalues are investigated in the neutral topological sector. Therefore, we present our results corresponding to the topological sector nu = 1. Due to the modest statistic, we only use the nu = 2 data as a crosscheck. We find a lower bound on the physical volume V > 1 fm to the four for ChPT to be used, in agreement with a previous observation using RMT. Restricting our attention to a larger lattice, we fit the data of the axial correlation function with the predictions of quenched ChPT, obtaining a stable determination of the quenched pion decay constant, F. The scalar and pseudoscalar correlation functions are parameterised by a larger number of LEC, rendering the comparison with ChPT predictions much more difficult and hence we present only some estimates that are compared with other determinations in the literature. Finally, we present possible implementations of improved algorithms used in the ``inversion'''' of the overlap operator, whose aim is to reduce the computational cost of the simulations.

Gittersimulationen der Quantenchromodynamik ermöglichen eine vollständig nichtperturbative Berechnung hadronischer Korrelationsfunktionen, allerdings müssen die Beiträge angeregter Zustände unter Kontrolle sein um verlässlich physikalische Größen wie Teilchenenergien und Matrixelemente extrahieren zu können. In dieser Arbeit wird eine effektive Feldtheorie, die Chirale Störungstheorie Schwerer Mesonen (ChSTSM), verwendet um die dominanten Beiträge der angeregten Zustände in B Meson Korrelationsfunktionen, die zur Extraktion von CKM Matrixelementen verwendet werden, analytisch zu bestimmen. Zuerst werden die Analoga der Quarkbilineare, die als interpolierende Felder in Gittersimulationen verwendet werden, in der ChSTSM hergeleitet. Diese hängen von Niedrig-Energie-Konstanten (NEKs) ab, deren Werte für lokale Felder bekannt sind. Geschmierte interpolierende Felder kann man andererseits durch verändern dieser numerischen Werte beschreiben. Dies wird im Laufe der Arbeit mehrfach genutzt um den Einfluss des Schmierens zu untersuchen. Mit den Feldern kann die Zweipunkt-Funktion des B Meson berechnet werden, aus der seine Masse und Zerfallskonstante sowie die jeweiligen Beiträge der angeregten Zustände bestimmt werden können. Aus Quotienten von passend gewählten Drei- und Zweipunkt-Funktionen werden weiterhin die ChSTSM NEK g, die Formfaktoren des semileptonischen B Zerfalls und die Matrixelemente, die neutrale B Oszillationen beschreiben, sowie die dominanten Beiträge der angeregten Zustände bestimmt. Letztere führen, abhängig von den Werten der NEKs, meist zu einem um ein paar Prozent höheren Wert für die Quotienten. Einige Ergebnisse hängen zusätzlich von weiteren unbekannten NEKs ab. Für diese werden Korrelationsfunktionen angegeben aus denen sie mittels Gitterrechnungen bestimmt werden können. Im Gegensatz zu den vorherigen Ergebnissen sind die Beiträge der angeregten Zustände für einen der semileptonischen Formfaktoren eine Größenordnung größer und negativ. / Lattice simulations of Quantum Chromodynamics allow for a fully non-perturbative computation of hadronic correlation functions, but for a reliable extraction of physical quantities such as particle energies and matrix elements the contribution of excited states needs to be under control. In this thesis, an effective field theory known as Heavy Meson Chiral Perturbation Theory (HM ChPT) is used to analytically compute the dominant excited states contamination of B meson correlators which are relevant for the extraction of CKM matrix elements. First, the analogues of the quark bilinears which are used as interpolating fields in lattice simulations are derived in HM ChPT. These depend on a set of low energy constants (LECs) which are known for local fields. On the other hand, smeared interpolating fields can be incorporated in the effective theory by changing the values of these LECs, a fact that will be used throughout this thesis for investigating the effect of smearing. The interpolating fields are used to compute the B meson two-point function from which the B meson mass and decay constant as well as the respective excited states contamination can be extracted. From suitably chosen ratios of three-point functions and two-point functions, the HM ChPT LEC g, the form factors of semileptonic B meson decay, and the matrix elements of neutral B meson oscillations were determined. The computed excited states contamination of these ratios usually leads to an overestimation of the order of a few percent, depending on the values chosen for the LECs. Some results depend on so far unknown LECs, for which suitable correlation functions for a lattice determination are presented. In contrast, the excited states contamination of one of the semileptonic form factors is an order of magnitude larger and negative.

This thesis is devoted to the rare decay π0 → e+ e− . We firstly introduce all theoretical knowledge necessary for the description of the vertices used in this work. Subsequently, we introduce three two-loop chiral Feynman diagrams, which are of order O(α2 p4 ). These diagrams are firstly decomposed to Master integrals by Laporta algorithm. After that, we calculate each Master integral individually by the differential equation technique. We also focus on the renormalization of the process. Since we are working with the effective field theory, finite corrections χ from counterterm diagrams naturally appear. With use of the calculations listed in this thesis, the determination of the parameter χR could be further improved taking into account the whole two-loop correction. 1