Ce mémoire traite de la construction d’un nouvel invariant des cobordismes lagrangiens. Cette construction est inspirée des travaux récents de Solomon dans lesquels une extension de l’homomorphisme de Calabi aux chemins lagrangiens exacts est donnée. Cette extension fut entre autres motivée par le fait que le graphe d’une isotopie hamiltonienne est un chemin lagrangien exact. Nous utilisons la suspension lagrangienne, qui associe à chaque chemin lagrangien exact un cobordisme lagrangien, pour étendre la construction de Solomon aux cobordismes lagrangiens. Au premier chapitre nous donnons une brève exposition des propriétés élémentaires des variétés symplectiques et des sous-variétés lagrangiennes. Le second chapitre traite du groupe des difféomorphismes hamiltoniens et des propriétés fondamentales de l’homomorphisme de Calabi. Le chapitre 3 est dédié aux chemins lagrangiens, l’invariant de Solomon et ses points critiques. Au dernier chapitre nous introduisons la notion de cobordisme lagrangien et construisons le nouvel invariant pour finalement analyser ses points critiques et l’évaluer sur la trace de la chirurgie de deux courbes sur le tore. Dans le cadre de ce calcul, nous serons en mesure de borner la valeur du nouvel invariant en fonction de l’ombre du cobordisme, une notion récemment introduite par Cornea et Shelukhin. / In this master's thesis, we construct a new invariant of Lagrangian cobordisms. This construction is inspired by the recent works of Solomon in which an extension of the Calabi homomorphism to exact Lagrangian paths is given. Solomon's extension was motivated by the fact that the graph of any Hamiltonian isotopy is an exact Lagrangian path. We use the Lagrangian suspension construction, which associates to every exact Lagrangian path a Lagrangian cobordism, to extend Solomon's invariant to Lagrangian cobordisms. In the first chapter, we give a brief introduction to the elementary properties of symplectic manifolds and their Lagrangian submanifolds. In the second chapter, we present an introduction to the group of Hamiltonian diffeomorphisms and discuss the fundamental properties of the Calabi homomorphism. Chapter 3 is dedicated to Lagrangian paths, Solomon's invariant and its critical points. In the last chapter, we introduce the notion of Lagrangian cobordism and we construct the new invariant. We analyze its critical points and evaluate it on the trace of the Lagrangian surgery of two curves on the torus. In this setting we further bound the new invariant in terms of the shadow of the cobordism, a notion recently introduced by Cornea and Shelukhin.

Cette thèse présente quelques propriétés des sous-variétés lagrangiennes monotones. On résoud d'abord une conjecture de Barraud et Cornea dans le cadre monotone en montrant que le rayon de Gromov relatif à deux lagrangiennes dans la même classe d'isotopie hamiltonienne donne une borne inférieure à la distance de Hofer entre ces deux mêmes lagrangiennes. Le cas non-monotone de cette conjecture reste ouvert encore. On définit toutes les structures nécessaires à l'énoncé et à la preuve de cette conjecture. Deuxièmement, on définit une nouvelle version d'un morphisme de Seidel relatif à l'aide des cobordismes lagrangiens de Biran et Cornea. On montre que cette version est chaîne-homotope aux différentes autres versions apparaissant dans la littérature. Que toutes ces définitions sont équivalentes fait partie du folklore mais n'apparaît pas dans la littérature. On conclut par une conjecture qui identifie un triangle exact obtenu par chirurgie lagrangienne et un autre dû à Seidel et faisant intervenir le twist de Dehn symplectique. / We present in this thesis a few properties of monotone Lagrangian submanifolds. We first solve a conjecture of Barraud and Cornea in the monotone setting by showing that the relative Gromov radius of two Hamiltonian-isotopic Lagrangians gives a lower bound on the Hofer distance between them. The general non-monotone case remains open to this day. We define all the structures relevant to state and prove the conjecture. We then define a new version of a Lagrangian Seidel morphism through the recently introduced Lagrangian cobordisms of Biran and Cornea. We show that this new version is chain-homotopic to various other versions appearing in the litterature. That all these previous versions are the same is folklore but did not appear in the litterature. We conclude with a conjecture claiming that an exact triangle obtained by Lagrangian surgery is isomorphic to an exact triangle of Seidel involving the symplectic Dehn twist.

Cette thèse présente quelques propriétés des sous-variétés lagrangiennes monotones. On résoud d'abord une conjecture de Barraud et Cornea dans le cadre monotone en montrant que le rayon de Gromov relatif à deux lagrangiennes dans la même classe d'isotopie hamiltonienne donne une borne inférieure à la distance de Hofer entre ces deux mêmes lagrangiennes. Le cas non-monotone de cette conjecture reste ouvert encore. On définit toutes les structures nécessaires à l'énoncé et à la preuve de cette conjecture. Deuxièmement, on définit une nouvelle version d'un morphisme de Seidel relatif à l'aide des cobordismes lagrangiens de Biran et Cornea. On montre que cette version est chaîne-homotope aux différentes autres versions apparaissant dans la littérature. Que toutes ces définitions sont équivalentes fait partie du folklore mais n'apparaît pas dans la littérature. On conclut par une conjecture qui identifie un triangle exact obtenu par chirurgie lagrangienne et un autre dû à Seidel et faisant intervenir le twist de Dehn symplectique. / We present in this thesis a few properties of monotone Lagrangian submanifolds. We first solve a conjecture of Barraud and Cornea in the monotone setting by showing that the relative Gromov radius of two Hamiltonian-isotopic Lagrangians gives a lower bound on the Hofer distance between them. The general non-monotone case remains open to this day. We define all the structures relevant to state and prove the conjecture. We then define a new version of a Lagrangian Seidel morphism through the recently introduced Lagrangian cobordisms of Biran and Cornea. We show that this new version is chain-homotopic to various other versions appearing in the litterature. That all these previous versions are the same is folklore but did not appear in the litterature. We conclude with a conjecture claiming that an exact triangle obtained by Lagrangian surgery is isomorphic to an exact triangle of Seidel involving the symplectic Dehn twist.

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