Les fonctions génératrices des coefficients de Clebsch Gordan pour la superalgèbre de Lie osp(1|2) sont dérivées en utilisant deux approches. Une première approche généralise une méthode proposée par Granovskii et Zhedanov pour l'appliquer dans le cas de osp(1|2), une algèbre dont le coproduit est torsadé. Une seconde approche repose sur la réalisation de osp(1|2) en tant qu'algèbre dynamique d'un oscillateur parabosonique et utilise une équivalence dans cette réalisation entre le changements de coordonnées polaires à cartésiennes et le problème de Clebsch-Gordan. Un chapitre moins formel précède ces dérivations et présente comment le problème de Clebsch-Gordan s'interprète en tant que réalisation d'une algèbre de fusion. La notion abstraite de fusion est introduite, soulignant son importance en physique, pour en venir au cas particulier du problème de Clebsch-Gordan. Un survol du cas de l'algèbre osp(1|2) et de ses utilisations en physique mathématique conclut ce chapitre. / The generating functions for the osp(1|2) Lie superalgebra Clebsch-Gordan coefficients are derived using two approaches. The first one consists of generalizing a method first proposed by Granovskii and Zhedanov to apply it to the case of osp(1|2), an algebra with a twisted coproduct. The second one is based on the realization of the osp(1|2) as the dynamical algebra for a parabosonic oscillator and used an equivalence in this realization between a change of basis from polar to cartesian coordinates and the Clebsch-Gordan problem. A less formal chapter precedes those derivations and present how the Clebsch-Gordan problem can be interpreted as a realization of a fusion algebra. The abstract notion of fusion is introduced, mentionning its importance in physics, and leads to the particular case of the Clebsch-Gordan problem. A brief review of the problem for the osp(1|2) algebra and its uses in mathematical physics concludes this chapter.

On the category of representations of a given quiver we define a tensor product point-wise and arrow-wise. The corresponding Clebsch-Gordan problem of how the tensor product of indecomposable representations decomposes into a direct sum of indecomposable representations is the topic of this thesis. The choice of tensor product is motivated by an investigation of possible ways to modify the classical tensor product from group representation theory to the case of quiver representations. It turns out that all of them yield tensor products which essentially are the same as the point-wise tensor product. We solve the Clebsch-Gordan problem for all Dynkin quivers of type A, D and E6, and provide explicit descriptions of their respective representation rings. Furthermore, we investigate how the tensor product interacts with Galois coverings. The results obtained are used to solve the Clebsch-Gordan problem for all extended Dynkin quivers of type Ãn and the double loop quiver with relations βα=αβ=αn=βn=0.

<p>On the category of representations of a given quiver we define a tensor product point-wise and arrow-wise. The corresponding Clebsch-Gordan problem of how the tensor product of indecomposable representations decomposes into a direct sum of indecomposable representations is the topic of this thesis.</p><p>The choice of tensor product is motivated by an investigation of possible ways to modify the classical tensor product from group representation theory to the case of quiver representations. It turns out that all of them yield tensor products which essentially are the same as the point-wise tensor product.</p><p>We solve the Clebsch-Gordan problem for all Dynkin quivers of type A, D and E₆, and provide explicit descriptions of their respective representation rings. Furthermore, we investigate how the tensor product interacts with Galois coverings. The results obtained are used to solve the Clebsch-Gordan problem for all extended Dynkin quivers of type Ã_n and the double loop quiver with relations βα=αβ=αⁿ=βⁿ=0.</p>

En 1849, Arthur Cayley et George Salmon démontrent que toute surface cubique contient exactement vingt-sept droites. Résultat célèbre de la deuxième moitié du 19ème siècle, ce théorème a notamment donné lieu à des recherches sur une équation algébrique particulière appelée "équation aux vingt-sept droites". Dans notre thèse, nous étudions les rapprochements entre groupes, équations et géométrie opérés dans ces recherches. Après un travail préparatoire mettant en place certains points mathématiques et chronologiques associés aux vingt-sept droites, nous nous intéressons au Traité des substitutions et des équations algébriques de Camille Jordan, publié en 1870. Cet ouvrage contient une section consacrée à l'équation aux vingt-sept droites dont nous analysons en détail les mathématiques. Pour mettre en contexte certains points, un corpus plus large est ensuite construit autour des "équations de la géométrie", famille d'équations associées à des configurations géométriques dont les vingt-sept droites ne sont qu'un exemple. Ce corpus s'étend de 1847 à 1896, et ses principaux auteurs sont Jordan, Alfred Clebsch et Felix Klein. Dans le but de rendre compte de l'organisation particulière du savoir partagé dans le corpus, nous discutons et utilisons alors la notion de "culture". Enfin, nous étudions précisément deux textes du corpus proposant de géométriser certaines parties de l'algèbre et nous montrons en quoi les équations de la géométrie ont participé à une compréhension géométrique de la théorie des substitutions ainsi qu'à l'élaboration des idées du Programme d'Erlangen de Klein (1872). / In 1849, Arthur Cayley and George Salmon proved that every cubic surface contains exactly twenty-seven lines. A famous result in the second half of the 19th century, this theorem gave rise to research about a particular algebraic equation called the "twenty-seven lines equation." In our thesis, we study how groups, equations, and geometry interact throughout this research. After a preparatory work presenting some mathematical and chronological points about the twenty-seven lines, we look into Camille Jordan's Traité des substitutions et des équations algébriques, published in 1870. This book contained a section devoted to the twenty-seven lines equation, the mathematics of which we thoroughly study. In order to contextualize some elements, a larger corpus is then built around "geometrical equations," a family of equations linked to geometrical configurations among which the twenty-seven lines are just one example. The corpus extends from 1847 to 1896 and its main authors are Jordan, Alfred Clebsch, and Felix Klein. Aiming at describing the particular organization of the knowledge shared in the corpus, we then discuss and use the notion of "culture." Finally, we closely study two texts of the corpus, each of them presenting a geometrization of a part of algebra, and we ascertain that geometrical equations participated to a geometrical understanding of substitution theory as well as the elaboration of the ideas of Klein's Erlanger Programm (1872).

Ce mémoire révèle la structure des représentations des algèbres de Temperley-Lieb affines aTLN(β) sur les espaces propres CN(q,v,d) (du spin total Sz) des chaînes de spins XXZ périodiques. En particulier, on y démontre que ces représentations, introduites dans Martin/Saleur et Morin-Duchesne/Saint-Aubin, admettent toujours une structure similaire à celle des représentations de Feigin-Fuchs de l’algèbre de Virasoro Vir et que les différentes possibilités, pour la structure d’un Vir-module de Feigin-Fuchs, sont toutes réalisées par un espace propre donné. On introduit aussi une pléthore d’applications aTLN(β)-linéaires entre différents espaces propres en considérant une action naturelle de l’extension de Lusztig LUqsl2 sur les chaînes XXZ périodiques et on caractérise entièrement le noyau ainsi que l’image de ces applications à l’aide de longues suites exactes et d’une décomposition de Clebsch-Gordan généralisée. Finalement, on identifie l’image du morphisme iNd(q,v) défini par Morin-Duchesne/Saint-Aubin et on donne également une nouvelle réalisation explicite pour les couvertures projectives de la catégorie modLUqsl2. / This master’s thesis reveals the structure of the representations of the affine Temperley-Lieb algebras aTLN(β) on the eigenspaces CN(q,v,d) (of the total spin Sz) of the periodic XXZ spin chains. In particular, we show that these representations, introduced by Martin/Saleur and Morin-Duchesne/Saint-Aubin, always admit a structure akin that of the Feigin-Fuchs representations of the Virasoro Vir algebra and that the different possibilities, for the structure of a Feigin-Fuchs Vir-module, are all realized by a given eigenspace. We also give a plethora of aTLN(β)-linear maps between different eigenspaces by considering a natural action of the Lusztig extension LUqsl2 on the periodic XXZ chains and we then fully characterize the kernel and image of these morphisms by means of long exact sequences and a generalized Clebsch-Gordan decomposition. Finally, we explicitly give the image of the intertwiner iNd(q,v) defined by Morin-Duchesne/Saint-Aubin and we also introduce a new explicit realization for the projective covers in the category modLUqsl2.