En 1978, McEliece introduit un schéma de chiffrement à clé publique issu de la théorie des codes correcteurs d’erreurs. L’idée du schéma de McEliece est d’utiliser un code correcteur dont lastructure est masquée, rendant le décodage de ce code difficile pour toute personne ne connaissant pas cette structure. Le principal défaut de ce schéma est la taille de la clé publique. Dans ce contexte, on se propose d'étudier l'utilisation de codes dont on connaît une représentation compacte, en particulier le cas de codes quais-cyclique ou quasi-dyadique. Les deux familles de codes qui nous intéressent dans cette thèse sont: la famille des codes alternants et celle des sous--codes sur un sous--corps de codes géométriques. En faisant agir un automorphisme $sigma$ sur le support et le multiplier des codes alternants, on saitqu'il est possible de construire des codes alternants quasi-cycliques. On se propose alors d'estimer la sécurité de tels codes à l'aide du textit{code invariant}. Ce sous--code du code public est constitué des mots du code strictement invariant par l'automorphisme $sigma$. On montre ici que la sécurité des codes alternants quasi-cyclique se réduit à la sécurité du code invariant. Cela est aussi valable pour les sous—codes sur un sous--corps de codes géométriques quasi-cycliques. Ce résultat nous permet de proposer une analyse de la sécurité de codes quasi-cycliques construit sur la courbe Hermitienne. En utilisant cette analyse nous proposons des clés compactes pour la schéma de McEliece utilisant des sous-codes sur un sous-corps de codes géométriques construits sur la courbe Hermitienne. Le cas des codes alternants quasi-dyadiques est aussi en partie étudié. En utilisant le code invariant, ainsi que le textit{produit de Schur}et le textit{conducteur} de deux codes, nous avons pu mettre en évidence une attaque sur le schéma de McEliece utilisant des codes alternants quasi-dyadique de degré $2$. Cette attaque s'applique notamment au schéma proposé dans la soumission DAGS, proposé dans le contexte de l'appel du NIST pour la cryptographie post-quantique. / In 1978, McEliece introduce a new public key encryption scheme coming from errors correcting codes theory. The idea is to use an error correcting code whose structure would be hidden, making it impossible to decode a message for anyone who do not know a specific decoding algorithm for the chosen code. The McEliece scheme has some advantages, encryption and decryption are very fast and it is a good candidate for public-key cryptography in the context of quantum computer. The main constraint is that the public key is too large compared to other actual public-key cryptosystems. In this context, we propose to study the using of some quasi-cyclic or quasi-dyadic codes. In this thesis, the two families of interest are: the family of alternant codes and the family of subfield subcode of algebraic geometry codes. We can construct quasi-cyclic alternant codes using an automorphism which acts on the support and the multiplier of the code. In order to estimate the securtiy of these QC codes we study the em{invariant code}. This invariant code is a smaller code derived from the public key. Actually the invariant code is exactly the subcode of code words fixed by the automorphism $sigma$. We show that it is possible to reduce the key-recovery problem on the original quasi-cyclic code to the same problem on the invariant code. This is also true in the case of QC algebraic geometry codes. This result permits us to propose a security analysis of QC codes coming from the Hermitian curve. Moreover, we propose compact key for the McEliece scheme using subfield subcode of AG codes on the Hermitian curve. The case of quasi-dyadic alternant code is also studied. Using the invariant code, with the em{Schur product} and the em{conductor} of two codes, we show weaknesses on the scheme using QD alternant codes with extension degree 2. In the case of the submission DAGS, proposed in the context of NIST competition, an attack exploiting these weakness permits to recover the secret key in few minutes for some proposed parameters.

De nombreux systèmes de communication sans fil ont adopté les codes turbo et les codes convolutifs comme schéma de codes correcteurs d'erreurs vers l'avant (FEC) pour les données et les canaux généraux. Toutefois, certaines versions proposent les codes LDPC pour la correction d'erreurs en raison de la complexité de l'implémentation des décodeurs turbo et le succès de certains codes LDPC irréguliers dans la réalisation des mêmes performances que les codes turbo les dépassent dans certains cas avec une complexité de décodage plus faible. En fait, les nouvelles versions des standards de ces systèmes travaillent côte à côte dans des dispositifs réels avec les plus anciennes qui sont basées sur les codes turbo et les codes convolutifs. En effet, ces deux familles de codes offrent toutes deux d'excellentes performances en termes de taux d'erreur binaire (TEB). Par conséquent, il semble être une bonne idée d'essayer de les relier de manière à améliorer le transfert de technologie et l'hybridation entre les deux méthodes. Ainsi, la conception efficace de décodeurs universels des codes convolutifs, turbo, et LDPC est critique pour l'avenir de l'implémentation des systèmes sans fil. En outre, un décodeur efficace pour les codes turbo et codes convolutifs est obligatoire pour la mise en oeuvre de ces systèmes sans fil. Cela pourrait se faire par l'élaboration d'un algorithme de décodage unifié des codes convolutifs, turbo et LDPC par des simulations et des études analytiques suivies d'une phase de mise en oeuvre. Pour introduire ce décodeur universel, il existe deux approches, soit sur la base de l'algorithme du maximum a posteriori (MAP) ou l'algorithme de propagation de croyance (BP). D'une part, nous étudions une nouvelle approche pour décoder les codes convolutifs et les turbo codes au moyen du décodeur par propagation de croyances (BP) décodeur utilisé pour les codes de parité à faible densité (codes LDPC). En outre, nous introduisons un système de représentation général pour les codes convolutifs par des matrices de contrôle de parité. De plus, les matrices de contrôle de parité des codes turbo sont obtenus en traitant les codes turbo parallèles comme des codes convolutifs concaténés. En effet, l'algorithme BP fournit une méthodologie très efficace pour la conception générale des algorithmes de décodage itératif de faible complexité pour toutes les classes des codes convolutifs ainsi que les turbo-codes. Alors qu'une petite perte de performance est observée lors du décodage de codes turbo avec BP au lieu du MAP, cela est compensé par la complexité moindre de l'algorithme BP et les avantages inhérents à une architecture unifiée de décodage. En outre, ce travail exploite la représentation tail-biting de la matrice de contrôle de parité des codes convolutifs et des codes turbo, ce qui permet le décodage par un algorithme de propagation de croyance unifiée (BP) pour les nouveaux systèmes de communication sans fils tels que le WiMAX (Worldwide Interoperability for Microwave Access) et le LTE (Long Term Evolution). D'autre part, comme solution alternative, une recherche est effectuée sur la façon de produire un décodeur combiné de ces deux familles de codes basé sur l'algorithme MAP. Malheureusement, cette seconde solution nécessite beaucoup de calculs et de capacité de stockage pour sa mise en oeuvre. En outre, ses récurrences en avant et en arrière résultent en de longs délais de décodage. Entre temps, l'algorithme MAP est basé sur le treillis et la structure en treillis du code LDPC est suffisamment compliquée en raison de la matrice de contrôle de parité de grande taille. En conséquence, cette approche peut être difficile à mettre en oeuvre efficacement car elle nécessite beaucoup de calculs et une grande capacité de stockage. Enfin, pour prédire le seuil de convergence des codes turbo, nous avons appliqué la méthode de transfert d'information extrinsèque (EXIT) pour le décodeur correspondant en le traitant comme une concaténation de noeuds de variable et de contrôle.

Nous étudions les mots de poids minimal des codes correcteurs d'erreurs cycliques. Les fonctions symétriques élémentaires et les fonctions puissances des localisateurs de ces mots vérifient les identités de Newton. Dans le premier chapitre celles-ci sont étudiées comme un système d'équations algébriques, dont les solutions sont étudiées par transformation de Fourier. Dans le chapitre II, le lien est fait avec les codes correcteurs d'erreurs cycliques. Sur quelques exemples, il est montré comment étudier les mots de poids minimal sur la donnée d'une base standard de l'idéal engendré par les équations de Newton. Dans le chapitre III, les relations de Newton sont utilisées d'un point de vue théorique, et des résultats sur les mots de poids minimal de certains codes BCH sont obtenus. Ces calculs se placent dans le contexte de la théorie des corps finis. Dans le chapitre IV, un algorithme est développé pour calculer une base normale sur un corps fini. Un point de vue d'algèbre linéaire est choisi, et d'autres problèmes sont abordés (calcul du polynôme minimal, de la forme de Frobenius d'une matrice, lorsque la factorisation du polynôme caractéristique est connue).

Les bases de Gröbner constituent un outil important pour la résolution de systèmes d'équations algébriques, et leur calcul est souvent la partie difficile de la résolution. Cette thèse est consacrée à des analyses de complexité de calculs de bases de Gröbner pour des systèmes surdéterminés (le nombre m d'équations est supérieur au nombre n d'inconnues). Dans le cas générique (”aléatoire”), des outils existent pour analyser la complexité du calcul de base de Gröbner pour un système non surdéterminé (suites régulières, borne de Macaulay). Nous étendons ces résultats au cas surdéterminé, en définissant les suites semi-régulières et le degré de régularité dont nous donnons une analyse asymptotique précise. Par exemple dès que m > n nous gagnons un facteur 2 sur la borne de Macaulay, et un facteur 11,65 quand m = 2n (ces facteurs se répercutent sur l'exposant de la complexité globale). Nous déterminons la complexité de l'algorithme F5 (J-C. Faugère) de calcul de base de Gröbner. Ces résultats sont appliqués en protection de l'information, où les systèmes sont alors considérés modulo 2 : analyse de la complexité des attaques algébriques sur des cryptosystèmes, algorithmes de décodage des codes cycliques. Dans ce dernier cas, une remise en équation complète du problème conduit à utiliser des systèmes de dimension positive dont la résolution est de manière surprenante plus rapide. Nous obtenons ainsi un algorithme de décodage efficace de codes précédemment indécodables, permettant un décodage en liste et applicable à tout code cyclique.

Étude de divers problèmes lies aux graphes de Hamming

Cette thèse étudie deux approches différentes visant à réduire la taille de la clé publique des cryptosystèmes à base de codes correcteurs. Une première idée en ce sens est l'utilisation de familles de codes à haute capacité de correction, comme les codes géométriques. Depuis l'attaque de Sidelnikov et Shestakov, on sait qu'un attaquant peut retrouver la structure d'un code de Reed-Solomon utilisé dans la clé publique. Nous avons réussi à adapter aux courbes hyperelliptiques la méthode d'attaque développée par Minder contre les codes elliptiques. Nous sommes notamment en mesure d'attaquer en temps polynomial le système de Janwa et Moreno développé sur des codes géométriques de genre 2 ou plus. Une seconde idée est l'utilisation de codes correcteurs pour la métrique rang. Celle-ci complique énormément les attaques par décodage, qui ne peuvent plus utiliser une fenêtre d'information pour tenter de décoder. On peut ainsi se prémunir des attaques par décodage en utilisant une clé publique de faible taille. Dans cette optique, nous présentons un cryptosystème à clé publique basé sur le problème de reconstruction de polynômes linéaires. Nous montrons que notre système est rapide, utilise des clés de taille raisonnable, et résiste à toutes les attaques connues dans l'état de l'art.

Depuis 20 ans, l'information quantique a profondément changé notre façon d'appréhender la physique atomique, ainsi que la nature des ressources utiles au calcul. Cette thèse aborde trois aspects relatifs à l'information quantique: - Le phénomène de décohérence -- responsable de la transition quantique-classique -- est décrit quantitativement grâce à l'analyse de l'information mutuelle entre deux systèmes quantiques ; - Une nouvelle classe de codes correcteurs d'erreurs quantiques -- les codes convolutifs -- est introduite en detail et il est montré qu'elle partage les propriétés des codes convolutifs classiques (codage et décodage en ligne, algorithme efficace d'estimation d'erreurs au maximum de vraisemblance, existence de condition nécessaire et suffisante pour l'absence d'erreur catastrophique, etc.) ; - Quelques propositions expérimentales de manipulation d'information quantique sont décrites (porte de Toffoli et clonage universel pour l'électrodynamique quantique en cavité).

Nous proposons et développons un modèle original de mémoires associatives s'appuyant sur des réseaux de neurones codés. Les mémoires associatives sont des dispositifs capables d'apprendre des messages binaires puis de les reproduire à partir de fractions de leurs contenus. L'état de l'art est le réseau proposé par Hopfield, dont la diversité de mémorisation - le nombre de messages qu'il peut n mémoriser - est inférieure à 2 log(n) où n est le nombre de neurones dans le réseau. Notre travail a consisté à tirer parti des techniques de codage et de déco- dage correcteur d'erreur, plus précisément celle des codes distribués, afin d'ac- croître considérablement les performances des mémoires associatives. Pour ce faire, nous avons introduit des codes originaux dont les mots de code sont portés par des cliques neurales. Nous montrons que, combinées à des codes locaux par- cimonieux, ces cliques neurales offrent une diversité d'apprentissage qui évolue comme le carré du nombre de neurones. Les gains observés viennent de l'utilisation de la parcimonie à plusieurs é- chelles : d'une part les messages appris sont de longueur bien inférieure à n, d'autre part ils n'utilisent qu'une partie du matériel disponible, que ce soit au niveau des neurones ou de leurs connexions. L'apprentissage est donc localisé, au contraire des réseaux de Hopfield. De plus, ces mémoires bénéficient d'une efficacité - rapport du nombre de bits appris au nombre de bits utilisés - presque maximale. Elles se présentent donc comme une alternative intéressante aux mé- moires indexées classiques. Au delà de l'aspect quantitatif, le modèle que nous proposons offre une plau- sibilité biologique fortement accrue par rapport au modèle de Hopfield. Les con- cepts de cliques neurales, de winner take all, ou encore de synchronisation tem- porelle que ce modèle exploite rejoignent les observations récentes rapportées par la littérature neurobiologique. Par ailleurs, elles pourraient ouvrir la voie à la conception de machines cognitives capables de croiser des informations pour en produire de nouvelles car les cliques neurales sont recouvrantes, par leurs som- mets ou par leurs arêtes.

Mass., Massachusetts Inst. of Technology, Diss.--Cambridge, 2001. / Literaturverz. S. [337] - 347.

Thèse (Ph. D.)--Université Laval, 2008. / Bibliogr.: f. [130]-144. Publié aussi en version électronique dans la Collection Mémoires et thèses électroniques.