Cette thèse aborde le problème de la reconstruction des composants d'un système de transmission à partir de l'interception d'une communication bruitée. Les deux grandes parties de ce travail s'intéressent successivement aux deux maillons principaux de la chaîne~: le brasseur et le code correcteur d'erreur, dans l'ordre où ils doivent être traités par l'attaquant, c'est-à-dire dans l'ordre inverse de leur apparition dans la chaîne de transmission.<br /><br />La première partie traite donc du problème de la reconstruction d'un code linéaire binaire à partir de la connaissance de mots de code bruités. Dans un premier temps, nous présentons et analysons une méthode suggérée par A. Valembois dans sa thèse. Cette analyse nous amène à présenter un nouveau test statistique permettant de trouver des mots susceptibles d'appartenir au dual du code utilisé lors de la transmission. Puis nous présentons un nouvel algorithme de décodage fondé sur les techniques classiques de décodage<br />itératif. Cet algorithme nous permet de corriger des erreurs même si certaines des équations de parité trouvées par le test statistique ne sont pas valides. Nous décrivons alors un nouvel algorithme de reconstruction utilisant cet algorithme de décodage.<br /><br />La seconde partie traite du problème de la reconstruction d'un brasseur linéaire. Dans un premier temps, nous supposons que l'attaquant dispose de la sortie exacte du brasseur. Nous présentons alors différentes techniques permettant de reconstruire un brasseur synchrone ou auto-synchronisant en fonction des hypothèses envisagées sur l'entrée du brasseur. Ensuite, nous nous intéressons au cas général et nous présentons alors une technique algébrique permettant de reconstruire un brasseur synchrone quand<br />l'attaquant connaît simplement l'image de sa sortie par une transformation linéaire par bloc et une partie de la suite en entrée.

Dans ce document sont présentées mes thématiques de recherche concernant l'étude des codes correcteurs d'erreurs à des fins cryptographiques. L'essentiel de sa composition est dédié au sujet principal de mes recherches commené un an avant la fin de la thèse à savoir l'étude <br />des cryptosystémes fondés sur des familles de codes décodables en métrique rang.

Dans cette thèse, nous étudions deux problèmes de théorie des graphes largement étudiés ces trois dernières décennies: les codes correcteurs d'erreur et la domination.<br />Nous étudions d'abord deux généralisations des codes correcteurs d'erreurs : les codes parfaits sur des alphabets mixtes et les codes pondérés de rayon un. Ces problèmes ont beaucoup été étudiés sur la métrique de Hamming.<br />Nous les étudions dans la métrique de Lee, et nous montrons des résultats aussi bien d'existence que d'inexistence.<br />Nous montrons aussi que le rapport de dualité entre la domination et les codes est fort pour la grille carrée lorsque l'on considère des boules sans le centre.<br />Puis, nous étudions la domination dans les produits de graphes. Depuis que Vizing a conjecturé en 1968 que la domination est surmultiplicative pour le produit cartésien de graphes, les relations entre des variantes du nombre de domination d'un produit de graphes et ses facteurs ont attiré beaucoup d'attention. Après avoir donné quelques bornes sur le nombre de domination totale du produit direct de graphes, nous déterminons le nombre de domination de puissance des produits de chemins.<br />Puis, nous montrons une conjecture ``à la Vizing'' pour le nombre de domination totale supérieure du produit cartésien.<br />Ensuite, nous étudions la domination avec une approche structurelle. En continuation de l'étude de Favaron et Henning, nous fournissons plusieurs bornes supérieures sur le nombre de paire-domination des graphes sans étoiles, pour chaque nombre de branches, et des graphes sans P_5. Nous proposons aussi des familles infinies de graphes pour lesquels ces bornes sont atteintes.<br />Enfin, nous comparons la domination totale supérieure et la paire-domination supérieure, deux variantes de la domination qui ont attiré l'attention récemment, et nous donnons des bornes précises pour les arbres.

Les bases de Gröbner constituent un outil important pour la résolution de systèmes d'équations algébriques, et leur calcul est souvent la partie difficile de la résolution. Cette thèse est consacrée à des analyses de complexité de calculs de bases de Gröbner pour des systèmes surdéterminés (le nombre m d'équations est supérieur au nombre n d'inconnues). Dans le cas générique (”aléatoire”), des outils existent pour analyser la complexité du calcul de base de Gröbner pour un système non surdéterminé (suites régulières, borne de Macaulay). Nous étendons ces résultats au cas surdéterminé, en définissant les suites semi-régulières et le degré de régularité dont nous donnons une analyse asymptotique précise. Par exemple dès que m > n nous gagnons un facteur 2 sur la borne de Macaulay, et un facteur 11,65 quand m = 2n (ces facteurs se répercutent sur l'exposant de la complexité globale). Nous déterminons la complexité de l'algorithme F5 (J-C. Faugère) de calcul de base de Gröbner. Ces résultats sont appliqués en protection de l'information, où les systèmes sont alors considérés modulo 2 : analyse de la complexité des attaques algébriques sur des cryptosystèmes, algorithmes de décodage des codes cycliques. Dans ce dernier cas, une remise en équation complète du problème conduit à utiliser des systèmes de dimension positive dont la résolution est de manière surprenante plus rapide. Nous obtenons ainsi un algorithme de décodage efficace de codes précédemment indécodables, permettant un décodage en liste et applicable à tout code cyclique.

Nous proposons et développons un modèle original de mémoires associatives s'appuyant sur des réseaux de neurones codés. Les mémoires associatives sont des dispositifs capables d'apprendre des messages binaires puis de les reproduire à partir de fractions de leurs contenus. L'état de l'art est le réseau proposé par Hopfield, dont la diversité de mémorisation - le nombre de messages qu'il peut n mémoriser - est inférieure à 2 log(n) où n est le nombre de neurones dans le réseau. Notre travail a consisté à tirer parti des techniques de codage et de déco- dage correcteur d'erreur, plus précisément celle des codes distribués, afin d'ac- croître considérablement les performances des mémoires associatives. Pour ce faire, nous avons introduit des codes originaux dont les mots de code sont portés par des cliques neurales. Nous montrons que, combinées à des codes locaux par- cimonieux, ces cliques neurales offrent une diversité d'apprentissage qui évolue comme le carré du nombre de neurones. Les gains observés viennent de l'utilisation de la parcimonie à plusieurs é- chelles : d'une part les messages appris sont de longueur bien inférieure à n, d'autre part ils n'utilisent qu'une partie du matériel disponible, que ce soit au niveau des neurones ou de leurs connexions. L'apprentissage est donc localisé, au contraire des réseaux de Hopfield. De plus, ces mémoires bénéficient d'une efficacité - rapport du nombre de bits appris au nombre de bits utilisés - presque maximale. Elles se présentent donc comme une alternative intéressante aux mé- moires indexées classiques. Au delà de l'aspect quantitatif, le modèle que nous proposons offre une plau- sibilité biologique fortement accrue par rapport au modèle de Hopfield. Les con- cepts de cliques neurales, de winner take all, ou encore de synchronisation tem- porelle que ce modèle exploite rejoignent les observations récentes rapportées par la littérature neurobiologique. Par ailleurs, elles pourraient ouvrir la voie à la conception de machines cognitives capables de croiser des informations pour en produire de nouvelles car les cliques neurales sont recouvrantes, par leurs som- mets ou par leurs arêtes.

Les mémoires non-volatiles de type Flash sont présentes dans un grand nombre de circuits visant des applications électroniques portatives. Leur non-volatilité et flexibilité en font des mémoires extrêmement populaires. Néanmoins, la fiabilité devient une caractéristique à améliorer en raison des besoins en surface grandissants et de leur intégration dans des applications sensibles. Des solutions de tolérance aux fautes peu coûteuses et faciles à intégrer doivent être mises en place. Tout d'abord, cette étude s'est portée sur l'analyse et l'étude de la fiabilité des Flash. Il fut l'occasion d'établir un modèle de fiabilité d'une cellule à grille flottante. Ce modèle a été ajusté suivant les paramètres issus d'une technologie Flash 180nm. Dans un second temps, deux techniques de tolérance aux fautes mêlant codes correcteurs d'erreurs et redondance ont été mises au point. La première technique, nommée correction d'erreurs par analyse de VT, fournit des capacités de correction accrues par l'analyse du niveau de programmation des cellules mémoire. Une étude mathématique puis une architecture de fiabilisation ont été proposées. Dans cette étude, on suppose que des ressources de redondance sont disponibles afin de réparer la mémoire lorsqu'une erreur est détectée. La seconde technique, appelée correction d'erreur hiérarchique, utilise des capacités de correction distribuées dans la mémoire Flash afin de réduire significativement le coût associé à une correction d'erreur avancée. Cette technique a été intégrée dans une architecture de fiabilisation disposant de ressources de redondance. Une étude basée sur les Chaines de Markov à Temps Continu a démontré l'efficacité de cette structure. Ces techniques constituent des solutions alternatives aux schémas standards utilisés dans l'industrie. Elles augmentent significativement le temps moyen à la défaillance du système sans faire exploser la surface requise à l'intégration une structure de tolérance<br />aux fautes.

Depuis plus de vingt ans, l'accès à la technologie est devenu très facile étant donné son omniprésence dans le quotidien de chacun et son faible coût. Cet accès aux technologies du numérique permet à toute personne équipée d'un ordinateur ou d'un smartphone de visualiser et de modifier des contenus digitaux. Avec les progrès en matière de stockage en ligne, la quantité de contenus digitaux tels que le son, l'image ou la vidéo sur internet a explosé et continue d'augmenter.Savoir identifier la source d'une image et certifier si celle-ci a été modifiée ou non sont des informations nécessaires pour authentifier une image et ainsi protéger la propriété intellectuelle et les droits d’auteur par exemple. Une des approches pour résoudre ces problèmes est le tatouage numérique. Il consiste à insérer une marque dans une image qui permettra de l'authentifier.Dans cette thèse, nous étudions premièrement le tatouage numérique dans le but de proposer des méthodes plus robustes aux modifications d'image grâce aux codes correcteurs. En étudiant la structure des erreurs produites par la modification d’une image marquée, un code correcteur sera plus efficace qu’un autre. Nous proposons aussi d’intégrer de nouveaux codes correcteurs appelés codes en métrique rang pour le tatouage.Ensuite, nous proposons d’améliorer l'invisibilité des méthodes de tatouage pour les images couleur. A l’insertion d’une marque, les dégradations de l’image sont perçues différemment par le système visuel humain en fonction de la couleur. Nous proposons un modèle biologique de la perception des couleurs qui nous permet de minimiser les distorsions psychovisuelles de l’image à l’insertion.Toutes ces techniques sont testées sur des images naturelles dans un contexte d’insertion d’information. / For more than twenty years, technology has become more and more easy to access. It is omnipresent in everyday life and is low cost. It allows anyone using a computer or a smartphone to visualize and modify digital contents. Also, with the impressive progress of online massive data storage (cloud), the quantity of digital contents has soared and continues to increase. To ensure the protection of intellectual property and copyright, knowing if an image has been modified or not is an important information in order to authenticate it. One approach to protect digital contents is digital watermarking. It consists in modifying an image to embed an invisible mark which can authenticate the image. In this doctorate thesis, we first study how to improve the robustness of digital image watermarking against image processings thanks to error correcting codes. By studying the error structure produced by the image processing applied on a watermarked image, we can find an optimal choice of error correcting code for the best correction performances. Also, we propose to integrate a new type of error correcting codes called rank metric codes for watermarking applications. Then, we propose to improve the invisibility of color image watermarking methods. At the embedding step, a host image suffers some distortions which are perceived differently in function of the color by the human visual system. We propose a biological model of color perception which allows one to minimize psychovisual distortions applied on the image to protect.

Je traite du décodage de deux grandes familles de codes algébriques :<br />les codes cycliques binaires et les codes de Reed-Solomon sur un<br />alphabet $q$-aire (ainsi que les codes géométriques). En ce qui<br />concerne les codes cycliques, ceux-ci n'ont pas d'algorithme générique<br />de décodage, mis à part les codes BCH ou assimilés (bornes de<br />Hartman-Tzeng, de Roos). Au premier rang des codes intéressants pour<br />lesquels on ne connaît pas d'algorithme de décodage {\em générique}<br />figurent les {\em codes à résidus quadratiques}, qui ont de bons<br />paramètres. J'étudie une mise en équation du problème du décodage par<br />syndrôme de ces codes, que l'on peut résoudre avec des outils de base<br />de Gröbner. On obtient ainsi des algorithmes de décodage de complexité<br />raisonnable pour ces codes. Ces travaux ont fait l'objet d'une partie<br />de la thèse de Magali Bardet.<br /><br /><br />En ce qui concerne les codes de Reed-Solomon, ceux-ci peuvent être vus<br />comme des {\em codes d'évaluation}, et le problème de décodage associé<br />revient à approcher une fonction par des polynômes de base degré. De<br />grands progrès ont été réalisés par Guruswami et Sudan, qui ont trouvé<br />un algorithme qui décode bien au delà des rayons classiques de<br />décodage, en relaxant l'hypothèse que la solution doit être unique. Je<br />propose d'améliorer certaines étapes de cet algorithme, en le rendant<br />plus rapide et déterministe (notamment en évitant une factorisation de<br />polynôme sur un corps fini), dans le cas des codes Reed-Solomon, et<br />dans le cas des codes géométriques. Ces travaux ont été effectués en<br />encadrant Lancelot Pecquet.<br /><br />Du point de vue théorique, j'ai étudié des généralisations<br />multivariées, qui correspondent à certains codes: les codes produits<br />de Reed-Solomon, et les codes de Reed-Muller. On obtient ainsi un bon<br />rayon de décodage, dans le cas des codes de petit taux. Dans le cas de<br />codes de Reed-Muller sur l'alphabet binaire, Cédric Tavernier, dans sa<br />thèse sous ma direction, a produit et implanté un algorithme efficace,<br />plus que ceux basés sur l'algorithme de Guruswami-Sudan.<br /><br /><br /><br />J'ai étudié les aspects négatifs du problème de décodage par syndrôme<br />des codes linéaires, et du décodage des codes de Reed-Solomon, quand<br />le nombre d'erreurs est élevé, en but d'application en cryptographie.<br />Dans le premier cas, j'ai construit une fonction de hachage<br />cryptographique à réduction de sécurité, c'est-à-dire que trouver une<br />faiblesse dans le fonction de hachage revient à résoudre un problème<br />réputé difficile de codage. J'ai aussi construit une nouvelle<br />primitive de chiffrement à clé publique, reposant sur la difficulté de<br />décoder les codes de Reed-Solomon.<br /><br />Dans un domaine plus appliqué, j'ai proposé avec Raghav Bhaskar un<br />nouvel algorithme d'échange de clé multi-utilisateurs, fondé sur le<br />problème du logarithme discret. Raghav Bhaskar a fourni une preuve de<br />sécurité de ce protocole, pendant sa thèse sous ma direction. Nous<br />avons aussi étudié comment adapter ce protocole aux pertes de<br />messages, car notre protocole est un des seuls qui est robuste à ces<br />pertes.