Orientador: Ermínia de Lourdes Campello Fanti / Banca: Francielle Rodrigues de Castro Coelho / Banca: Maria Gorete Carreira Andrade / Resumo: Em [6], Andrade e Fanti definiram o invariante E(G, W, M), sendo G um grupo, W um G-conjunto e M um Z2G-módulo, e apresentaram alguns resultados usando E(G, W, Z2) (Z2 visto como Z2G-módulo trivial) relacionados com decomposição de grupos e dualidade. E(G, W, M) é definido usando (co)homologia de grupos para o par ((G, W), M) seguindo [14]. O objetivo deste trabalho é apresentar os resultados dados em [6], porém acrescentando as provas de alguns resultados que são mencionados em [6], mas que não foram provados, como por exemplo, a invariância de E(G, W, M) por pares isomorfos e a independência do conjunto de representantes das G-órbitas. Procurou-se também generalizar alguns resultados para um Z2G-módulo M qualquer (não necessariamente Z2), e apresentar algumas outras propriedades de E(G, W, M), em especial para o Z2G-módulo FTG, sendo T um subgrupo de G, explorando, sempre que possível, sua relação com decomposição de grupos. Muitos desses resultados estão fortemente relacionados com alguns apresentados em [7], para o invariante de pares de grupos E(G, S, M), sendo S uma família de subgrupos de G / Abstract: In [6], Andrade and Fanti defined the invariant E(G,W,M), where G is a group, W is a G-set and M is a Z2G-module, and presented some results using E(G,W, Z2) (Z2 seen as a trivial Z2G-module) related to splitting of groups and duality. E(G,W,M) is defined using (co)homology of groups for the pair ((G,W),M) following [14]. The purpose of this work is to present the results given in [6] but adding proofs of some results that were referred but not proved there, such as the invariance ofE(G,W,M) for isomorphic pairs and the independence of the set of orbit representatives in W. We also attempt to generalize some results for any Z2G-m'odulo M (not necessarily Z2) and present some other properties of E(G,W,M), specially for the Z2G-module FTG where T is a subgroup of G, exploring, whenever possible, its relationship with splitting of groups. Many of those results are strongly related with some given in [7] for the invariant of pairs of groups E(G, S,M) where S is a family of subgroups of G / Mestre

Orientador: Ermínia de Lourdes Campello Fanti / Coorientador: Flávia Souza Machado da Silva / Banca: Pedro Luiz Queiroz Pergher / Banca: Maria Gorete Carreira Andrade / Resumo: O objetivo principal deste trabalho e estudar a relação entre cohomologia de grupos e o problema de classificar grupos wallpaper, que são grupos de simetrias de certas figuras do plano chamadas padrões wallpaper. Há, a menos de equivalência, exatamente 17 grupos wallpaper, que classificamos usando teoria dos grupos e algebra linear. Dado um grupo wallpaper G, temos associado inicialmente a G um subgrupo abeliano normal T (subgrupo das translações) chamado reticulado, um grupo G0 = G=T chamado grupo ponto, uma ação de G0 sobre T (de modo que T e um ZG0-m odulo) e uma extensão do grupo G0 por T , 0 ! T ! G ! G0 ! 0. Usando o fato de que existe uma correspondência biunívoca entre o segundo grupo de cohomologia, H2(G0; T ), e o conjunto das classes de equivalência de G0 por T que dão origem a ação induzida de G0 sobre T e computando H2(G0; T ), para as várias possibilidades para G0, apresentamos um limitante superior para o número de grupos wallpaper. Para o cálculo de H2(G0; T ), para certos grupos pontos G0, utiliza-se a sequência espectral cohomológica e a sequência exata de cinco termos / Abstract: The main goal of this work is to study the relation between the cohomology of groups and the problem of classifying wallpaper groups, which are symmetry groups of certain gures on the plane called wallpaper patterns. There are, up to isomorphism/equivalence, exactly 17 wallpaper groups, classi ed by using group theory and linear algebra. Given a wallpaper group G, we initially associate to G an abelian normal subgroup T (subgroup of the translations) called lattice, a group G0 = G T called point group, an action of G0 on T (in such a way that T is a ZG0-module) and an extension of the group G0 by T , 0 ����! T ����! G ����! G0 ����! 0. Using the fact that there is an one-to-one correspondence between the second cohomology of group, H2(G0; T ), and the set of equivalence classes of the extensions of G0 by T , that gives rise to the induced action of G0 on T , and computing H2(G0; T ), for the sereval possibilities for G0, we present an upper bound for the number of wallpaper groups. For the calculation of H2(G0; T ), of certain point groups G0, it is used the cohomological spectral sequence and the ve terms exact sequence / Mestre

Tese (Doutoramento)--Universite Louis Pasteur, 16/10/2007.

Made available in DSpace on 2015-09-17T15:24:05Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2013-02-27. Added 1 bitstream(s) on 2015-09-17T15:48:26Z : No. of bitstreams: 1 000846965.pdf: 797428 bytes, checksum: daaf15e4de7fbef0eebfbdbc0bb8123d (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Em [6], Andrade e Fanti definiram o invariante E(G, W, M), sendo G um grupo, W um G-conjunto e M um Z2G-m'odulo, e apresentaram alguns resultados usando E(G, W, Z2) ( Z2 visto como Z2G-m'odulo trivial) relacionados com decomposi¸c˜ao de grupos e dualidade. E(G, W, M) 'e definido usando (co)homologia de grupos para o par ((G, W), M) seguindo [14]. O objetivo deste trabalho 'e apresentar os resultados dados em [6], por'em acrescentando as provas de alguns resultados que s˜ao mencionados em [6], mas que n˜ao foram provados, como por exemplo, a invariˆancia de E(G, W, M) por pares isomorfos e a independˆencia do conjunto de representantes das G-'orbitas. Procurou-se tamb'em generalizar alguns resultados para um Z2G-m'odulo M qualquer (n˜ao necessariamente Z2), e apresentar algumas outras propriedades de E(G, W, M), em especial para o Z2G-m'odulo FTG, sendo T um subgrupo de G, explorando, sempre que poss'ıvel, sua rela¸c˜ao com decomposi¸c˜ao de grupos. Muitos desses resultados est˜ao fortemente relacionados com alguns apresentados em [7], para o invariante de pares de grupos E(G, S, M), sendo S uma fam'ılia de subgrupos de G. / In [6], Andrade and Fanti defined the invariant E(G,W,M), where G is a group, W is a G-set and M is a Z2G-module, and presented some results using E(G,W, Z2) ( Z2 seen as a trivial Z2G-module) related to splitting of groups and duality. E(G,W,M) is defined using (co)homology of groups for the pair ((G,W),M) following [14]. The purpose of this work is to present the results given in [6] but adding proofs of some results that were referred but not proved there, such as the invariance ofE(G,W,M) for isomorphic pairs and the independence of the set of orbit representatives in W. We also attempt to generalize some results for any Z2G-m'odulo M (not necessarily Z2) and present some other properties of E(G,W,M), specially for the Z2G-module FTG where T is a subgroup of G, exploring, whenever possible, its relationship with splitting of groups. Many of those results are strongly related with some given in [7] for the invariant of pairs of groups E(G, S,M) where S is a family of subgroups of G.

Made available in DSpace on 2015-03-03T11:52:27Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2014-03-25Bitstream added on 2015-03-03T12:07:37Z : No. of bitstreams: 1 000803609.pdf: 784644 bytes, checksum: 21cd3aa175119679ab082ffb06ba43c1 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / O objetivo principal deste trabalho e estudar a relação entre cohomologia de grupos e o problema de classificar grupos wallpaper, que são grupos de simetrias de certas figuras do plano chamadas padrões wallpaper. Há, a menos de equivalência, exatamente 17 grupos wallpaper, que classificamos usando teoria dos grupos e algebra linear. Dado um grupo wallpaper G, temos associado inicialmente a G um subgrupo abeliano normal T (subgrupo das translações) chamado reticulado, um grupo G0 = G=T chamado grupo ponto, uma ação de G0 sobre T (de modo que T e um ZG0-m odulo) e uma extensão do grupo G0 por T , 0 ! T ! G ! G0 ! 0. Usando o fato de que existe uma correspondência biunívoca entre o segundo grupo de cohomologia, H2(G0; T ), e o conjunto das classes de equivalência de G0 por T que dão origem a ação induzida de G0 sobre T e computando H2(G0; T ), para as várias possibilidades para G0, apresentamos um limitante superior para o número de grupos wallpaper. Para o cálculo de H2(G0; T ), para certos grupos pontos G0, utiliza-se a sequência espectral cohomológica e a sequência exata de cinco termos / The main goal of this work is to study the relation between the cohomology of groups and the problem of classifying wallpaper groups, which are symmetry groups of certain gures on the plane called wallpaper patterns. There are, up to isomorphism/equivalence, exactly 17 wallpaper groups, classi ed by using group theory and linear algebra. Given a wallpaper group G, we initially associate to G an abelian normal subgroup T (subgroup of the translations) called lattice, a group G0 = G T called point group, an action of G0 on T (in such a way that T is a ZG0-module) and an extension of the group G0 by T , 0 ?! T ?! G ?! G0 ?! 0. Using the fact that there is an one-to-one correspondence between the second cohomology of group, H2(G0; T ), and the set of equivalence classes of the extensions of G0 by T , that gives rise to the induced action of G0 on T , and computing H2(G0; T ), for the sereval possibilities for G0, we present an upper bound for the number of wallpaper groups. For the calculation of H2(G0; T ), of certain point groups G0, it is used the cohomological spectral sequence and the ve terms exact sequence

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:55Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2006-03-15Bitstream added on 2014-06-13T19:47:19Z : No. of bitstreams: 1 castro_fr_me_sjrp.pdf: 783980 bytes, checksum: fd80e9aa8c69641da08ee43dfa94509d (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / O objetivo principal deste trabalho é estudar a Teoria de Cohomologia de Grupos visando apresentar de forma detalhada algumas aplicações dessa teoria na Topologia e na Algebra, mais especificamente na Teoria de Grupos, com destaque para o Teorema de Schur-Zassenhaus e o Teorema de Classificação de p-grupos que possuem um subgrupo ciclico de índice p (p primo). / The aim of this work is to study the Cohomology Theory of Groups in order to present in detailed form some applications of this theory in Topology and in Algebra, more specifically, in the Theory of Groups, with prominence for the Schur-Zassenhaus Theorem and the Theorem of Classification of p-groups which contain a cyclic subgroup of index p, where p is a prime.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:56Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2009-01-27Bitstream added on 2014-06-13T18:06:57Z : No. of bitstreams: 1 souza_ba_me_sjrp.pdf: 780089 bytes, checksum: 497c7f887fe3a317fcd7ce438ebf546b (MD5) / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) / Este trabalho tem como objetivo principal o cálculo dos grupos de Cohomologia de alguns Grupos Clássicos como o Grupo das Rotações do Espaço Euclidiano Rn (SO(n)), o Grupo Unitário (U(n)), o Grupo Especial Unitário (SU(n)) e o Grupo Simplético (Sp(n)). Além disso calcularemos também o grupo de Cohomologia do Espaço Projetivo Complexo (CP(n)). Para esses cálculos usaremos sequências espectrais e o Teorema de Serre para Cohomologia. / The main purpose of this work is to calculate the cohomology groups of some classical groups as the rotation groups of the euclidean space Rn, SO(n), the unitary group U(n), your special unitary subgroup SU(n) and the symplectic group Sp(n). Moreover we also calculate the cohomology groups of complex projective space CP(n). For these calculus we will use spectral sequences and the Serre's Theorem for Cohomology.

Submitted by Bruno Caldeira Carlotti de Souza null (brunoccarlotti@gmail.com) on 2017-03-02T01:45:21Z No. of bitstreams: 1 Dissertação - Bruno C. C. de Souza.pdf: 1030573 bytes, checksum: e3dd1e43953565236359b6d10831067c (MD5) / Approved for entry into archive by LUIZA DE MENEZES ROMANETTO (luizamenezes@reitoria.unesp.br) on 2017-03-07T18:32:31Z (GMT) No. of bitstreams: 1 souza_bcc_me_sjrp.pdf: 1030573 bytes, checksum: e3dd1e43953565236359b6d10831067c (MD5) / Made available in DSpace on 2017-03-07T18:32:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 souza_bcc_me_sjrp.pdf: 1030573 bytes, checksum: e3dd1e43953565236359b6d10831067c (MD5) Previous issue date: 2017-02-23 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / O objetivo principal deste trabalho é apresentar detalhadamente um estudo sobre um critério, que aparece na referência Coincidence for maps of spaces with finite group action de D. L. Gonçalves, J. Jaworowski, P. L. Q. Pergher e A. Volovikov, para a existência de (H,G)-coincidências de aplicações cujo contradomínio é um CW-complexo finito Y de dimensão k e cujo domínio é um espaço X paracompacto, Hausdorff, conexo e localmente conexo por caminhos e munido de uma G-ação livre, de modo que exista um inteiro m tal que os grupos i-dimensionais de homologia de X sejam triviais nas dimensões 0<i<m e a cohomologia (m+1)-dimensional de G não seja trivial. Para a realização deste estudo foram necessários alguns resultados da teoria de cohomologia de grupos finitos, com ênfase em grupos de cohomologia periódica segundo a teoria de cohomologia de Tate, alguns resultados da teoria de fibrados e algumas noções da teoria de sequências espectrais cohomológicas. / The mais objective of this work is to present in detail a study about a criterion, which appears in the reference Coincidence for maps of spaces with finite group actions by D. L. Gonçalves, J. Jaworowski, P. L. Q. Pergher and A. Volovikov, for existence of (H,G)-coincidences of maps into a finite CW-complex Y with dimension k and whose domain is a paracompact, Hausdorff, connected and locally pathconnected space X with a free action of G, in a way that there exists an integer m such that the ith-homology group of X is trivial for 0<i<m and the (m+1)th-cohomology group of G is nontrivial. For the study of this criterion were needed some results of the theory of cohomology of finite groups, with emphasis on groups with periodic cohomology according to Tate cohomology theory, some results of the theory of fiber bundles and some notions of the theory of cohomological spectral sequences.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:55Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2010-02-26Bitstream added on 2014-06-13T20:16:04Z : No. of bitstreams: 1 cavalcanti_mps_me_sjrp.pdf: 612728 bytes, checksum: 47d18c69b5ae7b113879890007734ec5 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / O obejtivo principal deste trabalho é estudar as obstruções sing que desempenham papel importante nas demonstrações de certos resultados sobre decomposição de grupos que satisfazem certas hipóteses de dualidade apresentados em [16] e [17], em particular, sobre decomposição de um grupo G adapatada a uma família S de subgrupos de G com (G,S) um par de dualidade de Poincaré. Alguns invariantes cohomológicos e certos resultados envolvendo tais invariantes, decomposição de grupos e/ou grupos e pares de dualidade são também apresentados. / The main objective of this work to study the obstructions sing which play an important role in demonstrating certain results on the splittings of groups that satisfy certain hypotheses of duality presented in [16] and [17], in particular, the decomposition of a group G adapted to a family S of subgroups of G with (G,S) a Poincaré duality pair. Some cohomological invariants and certain results involving such invariants, a splittings of groups and/or groups and pairs of duality are also presented.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:56Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2006-04-12Bitstream added on 2014-06-13T19:55:23Z : No. of bitstreams: 1 santos_ap_me_sjrp.pdf: 749833 bytes, checksum: 8be58c6f81e3ac600ff8f26430348533 (MD5) / Para todo grupo G infinito, finitamente gerado, pode-se obter para o invariante algébrico end, mais precisamente o número de ends e(G), uma fórmula cohomológica 1-dimensional. O principal objetivo deste trabalho é apresentar, sob certas hipóteses, uma fórmula cohomológica 1-dimensional para o invariante algébrico e(G,H), definido por Scott e Houghton, onde H é um subgrupo de G (Teorema de Swarup). Para tanto, o conceito de subconjunto H-quase invariante de G e resultados como a interpretação do grupo de cohomologia H1(G,M) em termos de derivações (à direita), onde M é um ZG-módulo, e o Lema de Shapiro, são resultados imprescindíveis. Algumas relações desses invariantes com ends de espaços são também apresentadas. / For all infinite group G, finitely generated, one can obtain for the algebric invariant end, more precisely the number of ends e(G), a cohomological 1-dimensional formula. The main objective of this work is to present, under certain hypotheses, a cohomological 1-dimensional formula for the algebric invariant e(G,H), defined by Scott and Houghton, where H is a subgroup of G (Swarup's Theorem). In order to do so, the concept of subset H-almost invariant of G and results like the interpretation of the cohomological group H1(G,M) in terms of derivations (to the right), where M is a ZG-module, and the Shapiro's Lemma, are fundamental results. Some relations of these invariants with space ends are also presented.