3x+1-problemet, även känt som Collatz förmodan, är ett av matematikens många olösta problem. Problemet uppkommer från en funktion som kan formuleras genom en räknelek: Välj ett positivt heltal 𝑥. Om talet är udda, multiplicera det med 3 och addera med 1. Om talet är jämnt, dividera det med 2. Repetera processen med det nya talet som erhålls tills talet 1 nås. 3x+1-problemet behandlar huruvida man genom att repetera processen kan nå talet 1 från alla 𝑥. Syftet med rapporten är att ge en introduktion till 3x+1-problemet och hur det kan undersökas med olika matematiska verktyg. Rapporten avser också återge problemets historia för att ge en kontext till hur arbetet om problemet har utvecklats genom åren. Rapporten kan således antingen användas som en introduktion till problemet eller som en inblick i hur matematiker arbetar med ett större olöst problem såsom 3x+1-problemet. Förhoppningsvis lämpar sig även rapporten väl som en introduktion för den som senare vill studera 3x+1-problemet på en mer avancerad nivå.

Counting problems lead naturally to integer sequences. For example if one asks for the number of subsets of an $n$-set, the answer is $2^n$, or the integer sequence $1,~2,~4,~8,~ldots$. Conversely, given an integer sequence, or part of it, one may ask if there is an associated counting problem. There might be several different counting problems that produce the same integer sequence. To illustrate the nature of mathematical research involving integer sequences, we will consider Escher's counting problem and a generalization, as well as counting problems associated with the Catalan numbers, and the Collatz conjecture. We will also discuss the purpose of the On-Line-Encyclopedia of Integer Sequences.

Stuttgart, Univ., Diss., 2005.

Cette thèse est centrée autour de la monogénéité de corps de nombres en situation relative puis à la conjecture de Collatz.\newline Premièrement on détermine l'ensemble de classes des générateurs de l'anneau des entiers des certaines extensions relatives de corps de nombres, en utilisant l'algorithme de Gaál & Phost et le logiciel PARI/GP. La deuxième partie propose différents formulations d'une généralisation de la conjecture de Collatz, aux entiers p-adiques. On étudie ensuite le comportement de suites analogues dans le cadre d'anneaux d'entiers de corps de nombres. / This thesis are centered around the monogeneity of number fields in a relative situation and the Collatz conjecture. Firstly, we determine the set of generator classes of the ring of integers of some relative extensions of number fields, using the Gaál& Phost algorithm and the PARI/GP software. The second part proposes different formulations of a generalization of the Collatz conjecture to p-adic integers. We then study the behavior of similar sequences in the framework of rings of integers of number fields.

No description available.