Orientador: Ketty Abaroa de Rezende / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-16T15:34:50Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Lima_DahisyValadaodeSouza_M.pdf: 1595993 bytes, checksum: 49a95ad790c477c7d049695a123d9acd (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: Dada uma variedade suave e fechada M, o complexo de Morse-Witten associado a uma função de Morse f : M ? R e a uma métrica Riemanniana g em M consiste de grupos de cadeia gerados pelos pontos críticos de f e um operador bordo que conta linhas de fluxos isoladas do fluxo gradiente negativo. A homologia do complexo de Morse-Witten é isomorfa à homologia singular de M. Dado um conjunto invariante isolado S, uma matriz de conexão para uma decomposição de Morse de S é uma matriz de homomorfismos entre os índices homológicos de Conley dos conjuntos de Morse. A matriz de conexão é capaz de prover informações dinâmicas sobre um fluxo. De fato, esta matriz pode detectar a existência de órbitas conectantes entre os conjuntos de Morse de S. O complexo de Morse-Witten está relacionado à teoria de matrizes de conexão. Mais precisamente, o operador bordo do complexo de Morse-Witten é um caso especial de matriz de conexão / Abstract: Given a smooth closed manifold M, the Morse-Witten complex associated to a Morse function f : M ? R and a Riemannian metric g on M consists of chain groups generated by the critical points of f and a boundary operator counting isolated flow lines of the negative gradient flow. The homology of the Morse-Witten complex is isomorphic to the singular homology of M. Give a isolated invariant set S, a connection matrix for a Morse decomposition of S is a matrix of homomorphism between the Conley homology indices of Morse sets. The connection matrix is capable of providing dynamical information of a flow. In fact, this matrix can detect the existence of connecting orbits among Morse sets of S: The Morse-Witten complex is related to connection matrices theory. More precisely, the boundary operator of the Morse-Witten complex is a special case of connection matrix / Mestrado / Matematica / Mestre em Matemática

Orientador: Ketty Abaroa de Rezende / Dissertação (mestrado) - Universidade Esstadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-15T16:45:11Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Paulo_NaiaraVergiande_M.pdf: 3206526 bytes, checksum: 8b9412f659496d0b15142c86dfe55a5d (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: O objetivo deste trabalho é apresentar a matriz de conexão, estabelecendo um paralelo entre as abordagens contínua e discreta. O índice homológico de Conley, principal elemento para a definição da matriz de conexão, assume formas distintas quando lidamos com fuxos ou com aplicações contínuas. Tal índice trata-se apenas de um espaço vetorial graduado no caso contínuo, enquanto no caso discreto toma a forma de um par que consiste de um espaço vetorial graduado junto com um isomorfismo. Como consequência, a matriz de conexão para uma decomposição de Morse é definida diferentemente quando consideramos sistemas dinâmicos contínuos ou discretos. No primeiro caso, a matriz de conexão é uma matriz de aplicações lineares entre os índices contínuos homológicos de Conley dos conjuntos de Morse que codifica uma trança de espaços vetoriais graduados, conhecida como trança do índice contínuo homológico. Já no segundo caso, a matriz de conexão é um par de matrizes que têm como entradas aplicações lineares definidas entre os índices discretos homológicos de Conley dos conjuntos de Morse e, agora, este par de matrizes codifica uma trançaa de espaços vetoriais graduados com isomorfismos, chamada trança do índice discreto homológico. Apesar do índice homológico de Conley e da matriz de conexão serem elementos puramente algébricos, ambos são capazes de fornecer informações dinâmicas sobre um fuxo e mais ainda sobre uma aplicação contínua. Especificamente, estes elementos podem detectar a existência de órbitas de conexão entre conjuntos de Morse de um conjunto invariante isolado e exemplos desta situação são apresentados neste trabalho / Abstract: The goal of this work is to present the connection matrix by establishing a parallel between the continuous and discrete settings. The homological Conley index, the main element in the definition of the connection matrix, has a diferent form for flows or continuous maps. This index is a graded vector space in the continuous case whereas in the discrete case it takes the form of a pair consisting of a graded vector space together with an isomorphism. Consequently, the connection matrix for a Morse decomposition is defined diferently when we consider continuous or discrete dynamical systems. In the prior case, the connection matrix is a matrix of linear maps between the continuous Conley homology indices of Morse sets which codes the information of a graded vector space braid known as the continuous homology index braid. In the latter case, the connection matrix is a pair of matrices where the entries in both case are linear maps de?ned between the discrete Conley homology indices of Morse sets and, in this setting, this pair of matrices codes the information of a graded vector space braid with isomorphism known as discrete homology index braid. Although the Conley homology index and the connection matrix constitute purely algebraic elements, they are capable of providing dynamical information of a fow and of a continuous map. More precisely, these elements can detect the existence of connecting orbits among Morse sets of an isolated invariant set and examples of this situation are presented in this work. / Mestrado / Sistemas Dinamicos Topologicos / Mestre em Matemática

Orientador: Ketty Abaroa de Rezende / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-23T01:07:46Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Villapouca_MarianaGesualdi_D.pdf: 1687322 bytes, checksum: 9557d400e3eadbf12a6a305e0219b2cb (MD5) Previous issue date: 2013 / Resumo: Este trabalho tem como foco o estudo do índice de Conley discreto e do par de matrizes de conexão para difeomorfismos fitted Smale em variedades compactas. Foi estabelecido um teorema que apresenta o cálculo do índice de Conley de conjuntos básicos zero - dimensionais usando a informação dinâmica contida nas matrizes de estrutura associadas. A classificação do índice de Conley homológico reduzido de conjuntos básicos zero - dimensionais, utilizando a sua forma de Jordan real foi apresentada. Estabelecemos uma caracterização de pares de matrizes de conexão para decomposições de Morse em conjuntos básicos zero - dimensionais para uma classe de difeomorfismos fitted Smale / Abstract: Our focus in this thesis was on the further development of the discrete Conley index theory with the aim of addressing questions on the pair of connection matrices for fitted Smale diffeomorphisms on compact manifolds. A theorem was established where the computation of the discrete Conley index for zero dimensional basic sets was given with respect to the dynamical information contained in the associated structure matrices. A classification of the reduced homology Conley index of a zero dimensional basic set in terms of its Jordan real form is presented. A characterization of a pair of connection matrices for a Morse decomposition of zero dimensional basic sets of a class of fitted Smale diffeomorphisms is established / Doutorado / Matematica / Doutora em Matemática

Orientador: Ketty Abaroa de Rezende / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campiknas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-17T15:05:58Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Vieira_EwertonRocha_M.pdf: 3301438 bytes, checksum: 3fe2a609518ad6e7e190afc243b53ea4 (MD5) Previous issue date: 2011 / Resumo: Nesse trabalho, estudaremos o complexo de Morse-Witten via sequências espectrais, utilizando a matriz de conexão sobre z que codifica as orbitas de conexão do uso de Morse associado ao complexo. O algoritmo do Método da Varredura aplicado à matriz de conexão sobre z produz uma sequência espectral (Er; dr), que por sua vez nos fornece informações importantes sobre a dinâmica. Dada a necessidade de computarmos os geradores dos -modulos Erp,q e as diferencias drp,q da seqüência espectral, utilizamos o software Sweeping Algorithm,que calcula os Erp,q e drp,q de forma rápida e eficiente. Apresentamos uma forma de estender o complexo de Morse-Witten, conforme [BaC1] e [BaC]. Tal complexo apresenta informações entre pontos críticos não consecutivos, ate então não obtidas pelo complexo de Morse-Witten. Para esse complexo estendido temos também uma seqüência espectral associada, através da qual obtemos informações dinâmicas, conforme os trabalhos [BaC1] e [BaC] / Abstract: In this work, we study the Morse-Witten Complex via spectral sequences, using the connection matrix over z, which codi_es the connecting orbits of the Morse ow associated to the complex. The Sweeping Method algorithm applied to the connection matrix over z produces a spectral sequence (Er; rd), which in turn gives us important information on the dynamics. Given the need to compute the generators of Z-modules Erp,q and the diferentials drp,q of the spectral sequence, we use the software Sweeping Algorithm, calculates Erp,q and drp,q quickly and efficiently. We present a way to extend the Morse-Witten as [BaC1] and [BaC]. This complex exhibits information between non-consecutive critical points, not obtainable using the Morse-Witten complex. For this extended Morse Complex we also have an associated spectral sequence, whereby dynamical information is also obtained as in [BaC1] and [BaC] / Mestrado / Mestre em Matemática

Orientador: Ketty Abaroa de Rezende / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-25T10:15:50Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Lima_DahisyValadaodeSouza_D.pdf: 22146296 bytes, checksum: c88725de657b032422b9e4614ccd91a9 (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: O tema principal desta tese é o estudo de fluxos gradientes associados a campos vetoriais $-\nabla f$ em variedades fechadas, onde $f$ é uma função do tipo Morse, Morse circular e Morse-Bott. Para obter informações dinâmicas em cada caso, utilizamos ferramentas algébricas e topológicas, tais como sequências espectrais e matrizes de conexão. No contexto de Morse, consideramos um complexo de cadeias $(C,\Delta)$ gerado pelos pontos críticos de $f$ onde $\Delta$ conta (com sinal) o número de linhas do fluxo entre dois pontos críticos consecutivos. Uma análise via sequências espectrais $(E^{r},d^{r})$ é feita para se obter resultados de continuação global em superfícies. Nós relacionamos as diferenciais da $r$-ésima página de $(E^{r},d^{r})$ com cancelamentos dinâmicos entre pontos críticos. No caso de função de Morse circular $f:M \rightarrow S^{1}$, o método da varredura para um complexo de Novikov $(\mathcal{N},\Delta)$ associado $f$ e gerado pelos pontos críticos de $f$ é definido sobre o anel $\mathbb{Z}((t))$. Este método produz a cada etapa matrizes de Novikov. Provamos que a matriz final produzida pelo método da varredura tem entradas polinomiais, o que é surpreendente, já que as matrizes intermediárias podem ter séries infinitas como entradas. Apresentamos resultados que mostram que os módulos e diferenciais de uma sequência espectral associada a $(\mathcal{N},\Delta)$ podem ser recuperados através do método da varredura. Para fluxos gradientes associados a funções de Morse-Bott, as singularidades formam variedades críticas. Usamos a teoria do índice de Conley para obter uma caracterização do conjunto de matrizes de conexão para fluxos Morse-Bott. Obtemos resultados sobre o efeito no conjunto de matrizes de conexão causado por mudanças na ordem parcial e na decomposição de Morse de um conjunto invariante isolado / Abstract: The main theme in this thesis is the study of gradient flows associated to a vector field $-\nabla f$ on closed manifolds, where $f$ is either a Morse function, a circle-valued Morse function or a Morse-Bott function. In order to obtain dynamical information, we make use of algebraic and topological tools such as spectral sequences and connection matrices. In the Morse context, consider a chain complex $(C,\Delta)$ generated by the critical points of $f$, where $\Delta$ counts the number of flow lines between consecutive critical points with signs. A spectral sequence $(E^{r},d^{r})$ analysis is used to obtain results on global continuation of flows on surfaces. A link is established between the differentials on the $r$-th page of $(E^{r},d^{r})$ and cancellation of critical points. In the circle-valued Morse case $f:M \rightarrow S^{1}$, a sweeping algorithm for the Novikov chain complex $(\mathcal{N},\Delta)$ associated to $f$ and generated by the critical points of $f$ is defined over the ring $\mathbb{Z}((t))$. This algorithm produces at each stage Novikov matrices. We prove that the last Novikov matrix has polynomial entries which is quite surprising since the matrices in the intermediary stages may have infinite series entries. We also present results showing that the modules and differentials of the spectral sequence associated to $(\mathcal{N},\Delta)$ can be retrieved through the sweeping algorithm. For gradient flows associated to Morse-Bott functions, the singularities form critical manifolds. We use the Conley index theory for the critical manifolds in order to characterize the set of connection matrices for Morse-Bott flows. Results are obtained on the effects on the set of connection matrices caused by a change in the partial ordering and Morse decomposition of isolated invariant sets / Doutorado / Matematica / Doutora em Matemática

Orientador: Ketty Abaroa de Rezende / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-26T22:09:01Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Vieira_EwertonRocha_D.pdf: 1632095 bytes, checksum: 5dc3208efc5649260ca62805c3e8e1b6 (MD5) Previous issue date: 2015 / Resumo: Nessa tese, apresentamos uma unificação da teoria das matrizes de transição algébrica, singular, topológica e direcional ao introduzir a matriz de transição (generalizada), a qual engloba todas as quatros citadas anteriormente. Alguns resultados de existência são apresentados bem como a verificação de que cada matriz de transição supracitada são casos particulares da matriz de transição (generalizada). Além disso, nós abordamos como as aplicações das quatros matrizes de transiçao, na teoria do índice de Conley, se traduzem para a matriz de transição (generalizada). Quando a matriz de transição (generalizada) satisfizer o requerimento adicional de cobrir o isomorfismo do índice de Conley F definido pelo fluxo, pode-se provar propriedades de existência e de conexão de órbitas. Essa matriz de transição com a propriedade de cobrir o isomorfismo F é definida como matriz de transição topológica generalizada e a utilizamos para obter conexões de órbitas num fluxo Morse-Smale sem órbitas periódicas bem como para obter conexões de órbitas numa continuação associada à sequência espectral dinâmica / Abstract: In this thesis, we present a unification of the theory of algebraic, singular, topological and directional transition matrices by introducing the (generalized) transition matrix which encompasses each of the previous four. Some transition matrix existence results are presented as well as the verification that each of the previous transition matrices are cases of the (generalized) transition matrix. Furthermore, we address how applications of the previous transition matrices to the Conley Index theory carry over to the (generalized) transition matrix. When this more general transition matrix satisfies the additional requirement that it covers flow-defined Conley-index isomorphisms, one proves algebraic and connection-existence properties. These general transition matrices with this covering property are referred to as generalized topological transition matrices and are used to consider connecting orbits of Morse-Smale flows without periodic orbits, as well as those in a continuation associated to a dynamical spectral sequence / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática