Le théorème de Petri affirme que l'image canonique d'une courbe lisse non hyperelliptique de genre g>=4 définie sur un corps algébriquement clos est une intersection d'hypersurfaces quadriques et cubiques. De plus, on peut exhiber un système d'équations pour cette image; il s'agit ici de résultats de Petri (1923) transcrits dans le langage moderne par Saint-Donat (1973). On sait par ailleurs que l'espace des modules des courbes lisses n'est pas propre, son bord étant constitué des courbes stables. C'est pourquoi il est naturel de chercher des énoncés similaires valables pour les courbes stables et d'examiner la dégénérescence du système d'équations d'une courbe lisse vers une courbe stable. <br />Dans cette thèse, on envisage d'une part le cas d'une courbe stable ayant un seul point double ordinaire et dont la normalisée est hyperelliptique, et d'autre part le cas d'une courbe stable dont le graphe est planaire. De plus, on entreprend l'étude du plongement canonique d'une courbe stable définie sur un anneau de valuation discrète. Quel que soit le contexte, la méthode employée pour aboutir à des théorèmes de Petri est la suivante:<br />-- description du faisceau canonique et construction d'une base bien adaptée de l'espace de ses sections globales; <br />-- construction de quadriques et cubiques dans l'idéal canonique;<br />-- démonstration que ces éléments engendrent l'idéal canonique.<br /><br />Ce mémoire contient également de nouveaux éléments biographiques concernant le mathématicien allemand Karl Petri.

Cette thèse traite de plusieurs aspects algorithmiques des courbes algébriques. La première partie décrit et implémente en Magma un algorithme de calcul des tordues pour les courbes sur les corps finis et en étudie la complexité. Dans le cas hyperellitptique, il s’agit du premier algorithme complet pour faire cela en tout genre. La deuxième partie construit des familles représentatives pour les courbes non hyperelliptiques de genre 3 afin de permettre leur énumération efficace en lien avec le problème de l’obstruction de Serre. Cette partie a fait l’objet d’une publication dans ANTS et une annexe de la thèse est constituée d’un préprint étudiant un modèle statistique pour l’interprétation des données obtenues. La dernière partie de la thèse étudie les invariants et covariants des formes binaires en lien avec la description de l’espace de modules des courbes de genre 2. On y décrit en particulier une nouvelle opération pour engendrer des covariants en petite caractéristique. On étudie aussi l’application d’une nouvelle stratégie (dite de Geyer-Sturmfels) pour obtenir les algèbres de séparants et on l’applique au cas du degré 4 et du degré 6. Enfin, un dernier chapitre montre la validité d’un algorithme de reconstruction pour les courbes de genre 2 à partir de leurs invariants en toute caractéristique différente de 2 et l’implémente en SAGE. / This thesis addresses several algorithmic aspects of algebraic curves.The first part describe and plug in Magma a computational algorithm of twists for the curves over finite fields and study it's complexity. In the hyperelliptic case, it is the first complete algorithm to do this in all genus. The second part builts representatives family for the non hyperelliptic curves of genus 3 to enable them effective enumeration in connection with the Serre obstruction problem. This part has been published in ANTS and an annex of this thesis is made up of a preprint studing a statistic model for interpreting the data obtained.The last part of the thesis studies the invariants and covariants of binary forms in connexion with the description of the moduli space of curves of genus 2. A new operation in particular is described to generate covariants in small characteristic. We study to the implementation of a new strategy (called Geyer-Sturmfels) to get the algebras of separants and we apply it of the case of degree 4 ans 6. Finally, the last chapter shows the validity of a reconstruction algorithm for genus 2 curves from their invariants in all characteristic diferent from 2 and implements it in SAGE .

De nombreux systèmes numériques nécessitent des primitives de cryptographie asymétrique de plus en plus performantes mais aussi robustes aux attaques et peu coûteuses pour les applications embarquées. Dans cette optique, la cryptographie sur courbe hyperelliptique (HECC) a été proposée comme une alternative intéressante aux techniques actuelles du fait de corps finis plus petits. Nous avons étudié des cryptoprocesseurs HECC matériels performants, flexibles et robustes contre certaines attaques physiques. Tout d’abord, nous avons proposé une nouvelle architecture d’opérateurs exécutant, en parallèle, plusieurs multiplications modulaires (A × B) mod P, où P est un premier générique de quelques centaines de bits et configurable dynamiquement. Elle permet le calcul de la grande majorité des opérations nécessaires pour HECC. Nous avons développé un générateur d’opérateurs, distribué en logiciel libre, pour l'exploration de nombreuses variantes de notre architecture. Nos meilleurs opérateurs sont jusqu'à 2 fois plus petits et 2 fois plus rapids que les meilleures solutions de l'état de l'art. Ils sont aussi flexibles quant au choix de P et atteignent les fréquences maximales du FPGA. Dans un second temps, nous avons développé des outils de modélisation et de simulation pour explorer, évaluer et valider différentes architectures matérielles pour la multiplication scalaire dans HECC sur les surfaces de Kummer. Nous avons implanté, validé et évalué les meilleures architectures sur différents FPGA. Elles atteignent des vitesses similaires aux meilleures solutions comparables de l’état de l’art, mais pour des surfaces réduites de moitié. La flexibilité obtenue permet de modifier lors de l'exécution les paramètres des courbes utilisées. / Many digital systems require primitives for asymmetric cryptography that are more and more efficient but also robust to attacks and inexpensive for embedded applications. In this perspective, and thanks to smaller finite fields, hyperelliptic curve cryptography (HECC) has been proposed as an interesting alternative to current techniques. We have studied efficient and flexible hardware HECC cryptoprocessors that are also robust against certain physical attacks. First, we proposed a new operator architecture able to compute, in parallel, several modular multiplications (A × B) mod P, where P is a generic prime of a few hundred bits and configurable at run time. It allows the computation of the vast majority of operations required for HECC. We have developed an operator generator, distributed in free software, for the exploration of many variants of our architecture. Our best operators are up to 2 times smaller and twice as fast as the best state-of-the-art solutions. They are also flexible in the choice of P and reach the maximum frequencies of the FPGA. In a second step, we developed modeling and simulation tools to explore, evaluate and validate different hardware architectures for scalar multiplication in HECC on Kummer surfaces. We have implemented, validated and evaluated the best architectures on various FPGA. They reach speeds similar to the best comparable solutions of the state of the art, but for halved surfaces. The flexibility obtained makes it possible to modify the parameters of the curves used during execution.