Reproduction de : Thèse de doctorat : Sciences Mathématiques : Faculté des sciences de Paris : 1871. / Titre provenant de la page de titre du document numérisé.

Reproduction de : Thèse de doctorat : Didactique des mathématiques : Lyon 1 : 2007. / Titre provenant de l'écran titre. Bibliogr. p. 81-88.

On décrit dans cette thèse les dimensions des groupes quotients gradués associés à la cohomologie du complémentaire d'une courbe plane par rapport à la filtration de Hodge en fonction de certains invariants géométriques. Le cas des courbes à singularités ordinaires est détaillé. En particulier, on trouve le polynôme de Hodge-Deligne d'une courbe C quelconque à singularités isolées et celui de son complémentaire duquel on déduit les nombres de Hodge mixtes ainsi que les nombres de Betti correspondants. Dans le cas des courbes dont les singularités sont des nœuds et des points triples ordinaires, on donne des relations importantes avec l'algèbre de Milnor du polynôme homogène f qui définit C, les syzygies de l'idéal Jacobien de f et la filtration par l'ordre de pôle du groupe cohomologique d'ordre 2 du complémentaire de la courbe. / We describe in this thesis the dimensions of the graded quotients of the cohomology of a plane complement curve with respect to the Hodge filtration in terms of simple geometric invariants. The case of curves with ordinary singularities is discussed in details. In particular, we find the Hodge-Deligne polynomial of any curve C with isolated singularities and that of its complement, from which we can compute the mixed Hodge numbers of the second cohomology group of the complement of the curve, and consequently the correspondant Betti numbers. Furthermore, in the case of curves with ordinary double and triple points, we give relations to the Milnor algebra of the homogeneous polynomial f defining C, to the syzygies of the Jacobian ideal of f and pole order filtration on the second cohomology group of the curve complement.

On décrit dans cette thèse les dimensions des groupes quotients gradués associés à la cohomologie du complémentaire d'une courbe plane par rapport à la filtration de Hodge en fonction de certains invariants géométriques. Le cas des courbes à singularités ordinaires est détaillé. En particulier, on trouve le polynôme de Hodge-Deligne d'une courbe C quelconque à singularités isolées et celui de son complémentaire duquel on déduit les nombres de Hodge mixtes ainsi que les nombres de Betti correspondants. Dans le cas des courbes dont les singularités sont des nœuds et des points triples ordinaires, on donne des relations importantes avec l'algèbre de Milnor du polynôme homogène f qui définit C, les syzygies de l'idéal Jacobien de f et la filtration par l'ordre de pôle du groupe cohomologique d'ordre 2 du complémentaire de la courbe.

La géométrie algébrique réelle est dans sa définition la plus simple, l'étude des ensembles de solutions d'un système d'équations polynomiales à coefficients réelles. Dans cette vaste thématique, on se concentre sur les intersections de quadriques où déjà le cas de trois quadriques reste largement ouvert. Notre sujet peut être résumé comme l'étude topologique des variétés algébriques réelles et l'interaction entre leur topologie d'une part et leur déformations et dégénérations d'autre part, un problème issu du 16ième problème de Hilbert et enrichi par des développements récents. Au cours de cette thèse, nous allons nous focaliser sur les intersections maximales de quadriques réelles et en particulier démonter l'existence de telles intersections en utilisant des développements issus des recherches effectuées depuis la fin des années 80. Dans le cas d'intersections de trois quadriques, nous allons mettre en évidence le lien très étroits entre ces intersections d'une part et les courbes planes d'autre part, et démontrer que l'étude des M-courbes (une des problématiques du 16ième problème de Hilbert) peut se faire à travers l'étude des intersections maximales. Nous utiliserons ensuite les résultats sur les courbes planes nodales afin de déterminer dans certains cas les classes de déformations d'intersections de trois quadriques réelles. / Real algebraic geometry is in its simplest definition, the study of sets of solutions of a system of polynomial equations with real coefficients. In this theme, we focus on the intersections of quadrics where already the case of three quadrics remains wide open. Our subject can be summarized as the topological study of real algebraic varieties and interaction between their topology on the one hand and their deformations and degenerations on the other hand, a problem coming from the 16th Hilbert problem and enriched by recent developments. In this thesis, we will focus on maximum intersections of real quadrics and particularly prove the existence of such intersections using research developments made since the late 80. In the case of intersections of three quadrics, we will point the very close link between the intersections on the one hand and on the other plane curves, and show that the study of M-curves (one of the problems of the 16th Hilbert problem) may be done through the study of maximum intersections. Next, we will use the study on nodal plane curves to determine in some cases deformation classes of intersections of three real quadrics.