La géométrie algébrique réelle est dans sa définition la plus simple, l'étude des ensembles de solutions d'un système d'équations polynomiales à coefficients réelles. Dans cette vaste thématique, on se concentre sur les intersections de quadriques où déjà le cas de trois quadriques reste largement ouvert. Notre sujet peut être résumé comme l'étude topologique des variétés algébriques réelles et l'interaction entre leur topologie d'une part et leur déformations et dégénérations d'autre part, un problème issu du 16ième problème de Hilbert et enrichi par des développements récents. Au cours de cette thèse, nous allons nous focaliser sur les intersections maximales de quadriques réelles et en particulier démonter l'existence de telles intersections en utilisant des développements issus des recherches effectuées depuis la fin des années 80. Dans le cas d'intersections de trois quadriques, nous allons mettre en évidence le lien très étroits entre ces intersections d'une part et les courbes planes d'autre part, et démontrer que l'étude des M-courbes (une des problématiques du 16ième problème de Hilbert) peut se faire à travers l'étude des intersections maximales. Nous utiliserons ensuite les résultats sur les courbes planes nodales afin de déterminer dans certains cas les classes de déformations d'intersections de trois quadriques réelles. / Real algebraic geometry is in its simplest definition, the study of sets of solutions of a system of polynomial equations with real coefficients. In this theme, we focus on the intersections of quadrics where already the case of three quadrics remains wide open. Our subject can be summarized as the topological study of real algebraic varieties and interaction between their topology on the one hand and their deformations and degenerations on the other hand, a problem coming from the 16th Hilbert problem and enriched by recent developments. In this thesis, we will focus on maximum intersections of real quadrics and particularly prove the existence of such intersections using research developments made since the late 80. In the case of intersections of three quadrics, we will point the very close link between the intersections on the one hand and on the other plane curves, and show that the study of M-curves (one of the problems of the 16th Hilbert problem) may be done through the study of maximum intersections. Next, we will use the study on nodal plane curves to determine in some cases deformation classes of intersections of three real quadrics.

Afin d’étudier les classes d'isotopie rigide des courbes rationnelles nodales de degré 5 dans RPP, nous associons à chaque quintique avec un point double réel marque une courbe trigonale dans la surface de Hirzebruch Sigma3 et le dessin reel nodal correspondant dans CP/(z mapsto bar{z}). Les dessins sont des versions réelles, proposées par S. Orevkov dans cite{Orevkov}, des dessins d'enfants de Grothendieck. Un dessin est un graphe contenu dans une surface topologique, muni d'une certaine structure supplémentaire. Dans cette thèse, nous étudions les propriétés combinatoires et les recompositions des dessins correspondants aux courbes trigonales nodales C subset Sigma dans les surfaces réglées réelles Sigma . Les dessins uninodaux sur une surface a bord quelconque et les dessins nodaux sur le disque peuvent être décomposés en blocs correspondant aux dessins cubiques sur le disque D2 , ce qui conduit a une classification des ces dessins. La classification des dessins considérés mène à une classification à isotopie rigide des courbes rationnelles nodales de degré 5 dans RPP. / In order to study the rigid isotopy classes of nodal rational curves of degree $5$ in $\RPP$, we associate to every real rational quintic curve with a marked real nodal point a trigonal curve in the Hirzebruch surface $\Sigma_3$ and the corresponding nodal real dessin on~$\CP/(z\mapsto\bar{z})$. The dessins are real versions, proposed by S. Orevkov~\cite{Orevkov}, of Grothendieck's {\it dessins d'enfants}. The {\it dessins} are graphs embedded in a topological surface and endowed with a certain additional structure. We study the combinatorial properties and decompositions of dessins corresponding to real nodal trigonal curves~$C\subset \Sigma$ in real ruled surfaces~$\Sigma$. Uninodal dessins in any surface with non-empty boundary and nodal dessins in the disk can be decomposed in blocks corresponding to cubic dessins in the disk~$\mathbf{D}^2$, which produces a classification of these dessins. The classification of dessins under consideration leads to a rigid isotopy classification of real rational quintics in~$\RPP$.

L’étude topologique des variétés algébriques réelles remonte au moins aux travaux de Harnack, Klein, et Hilbert au 19éme siecle; en particulier, la classification des types d’isotopie réalisés par les courbes algébriques réelles d’un degré fixé dans RP2 est un sujet qui a connu un essor considérable jusqu'à aujourd'hui. En revanche, en dehors des études concernants les surfaces de Hirzebruch et les surfaces de degré au plus 3 dans RP3, à peu près rien n’est connu dans le cas de surfaces ambiantes plus générales. Cela est du en particulier au fait que les variétés construites en utilisant le "patchwork" sont des hypersurfaces de variétés toriques. Or, il existe de nombreuses autre surfaces algébriques réelles. Parmi celles-ci se trouvent les surfaces rationnelles réelles, et plus particulièrement les surfaces rèelles minimales. Dans cette thèse, on élargit l’étude des types d’isotopie réalisés par les courbes algébriques réelles aux surfaces réelles minimales de del Pezzo de degré 1 et 2. En outre, on termine la classification des types topologiques réalisés par les courbes algébriques réelles séparantes et non-séparantes de bidegré (5,5) sur la quadrique ellipsoide. / The study of the topology of real algebraic varieties dates back to the work of Harnack, Klein and Hilbert in the 19th century; in particular, the isotopy type classification of real algebraic curves with a fixed degree in RP2 is a classical subject that has undergone considerable evolution. On the other hand, apart from studies concerning Hirzebruch surfaces and at most degree 3 surfaces in RP3, not much is known for more general ambient surfaces. In particular, this is because varieties constructed using the patchworking method are hypersurfaces of toric varieties. However, there are many other real algebraic surfaces. Among these are the real rational surfaces, and more particularly the $mathbb{R}$-minimal surfaces. In this thesis, we extend the study of the topological types realized by real algebraic curves to the real minimal del Pezzo surfaces of degree 1 and 2. Furthermore, we end the classification of separating and non-separating real algebraic curves of bidegree $(5,5)$ in the quadric ellipsoid.