Cette thèse a pour objet la classification -- à isotopie près -- des fonctions rationnelles réel-étales de $\P^1_(\R)=\P^1$. Une fonction rationnelle réelle est une fraction de deux polynômes à coefficients réels, ou, de manière équivalente, un morphisme de $\P^1$ dans lui-même. Une telle fonction est dite réel-étale si elle n'a pas de ramification au-dessus des points réels. Comme nous le verrons plus bas, ces fonctions sont intéressantes à cause de leur lien avec les $M$-surfaces. Notre étude fait aussi le pendant de l'article [EG02] de A. Eremenko et A. Gabrielov dans lequel ils résolvent une conjecture de B. et M. Shapiro en dimension $1$. Pour cela, ils Ètudient les fonctions rationnelles sur $\P^1$ dont tous les points de ramification sont réels. Si on regardait les fonctions rationnelles réel-étales à homotopie près, on pourrait passer par des fonctions rationnelles ramifiées au-dessus des points réels. Cette classification est trop grossière. C'est pourquoi nous étudions plutôt les fonctions rationnelles réel-étales à isotopie près. Deux fonctions rationnelles réel-étales sont (\em isotopes) si l'on peut passer de l'une à l'autre par déformation continue dans l'ensemble des fonctions rationnelles réel-étales de mÍme degré. Pour définir de façon précise cette notion d'isotopie, une première partie de ma thèse développe la théorie des familles continues de surfaces de Klein. Pour cela, j'utilise le point de vue des espaces localement annelés. Ils permettent entre autre une définition plus naturelle des morphismes de surfaces de Klein que celle de la théorie classique. D'autre part, ils facilitent le travail en famille. Lors de cette étude, je démontre aussi un Théorème d'Existence de Riemann pour ces familles. Les principaux objets qui interviennent dans la classification sont les (\em arbres signés) associés à une fonction rationnelle réel-étale. Topologiquement, un endomorphisme de $\P^1$ est un revêtement ramifié du disque fermé par lui-même. Une fonction rationnelle $f$ sur $\P^1$ est réel-étale si et seulement si l'image réciproque $f^(-1)\bigl(\P^1(\R)\bigr)$ des points réels est la réunion disjointe de cercles topologiques dans $\C$. Ces cercles sont les arêtes de l'arbre. Les sommets de l'arbre sont les composantes connexes de $f^(-1)\bigl(\P^1\setminus\P^1(\R)\bigr)$. Un sommet $s$ est l'extrémité d'une arÍte $e$ si le cercle topologique $e$ est inclus dans l'adhérence de $s$ dans $\P^1$. De plus, l'arbre est pondéré : à chaque arête $e$ est associé le degré topologique de $f$ restreint à $e$. Une orientation sur $\P^1$ induit une orientation sur ses points réels. On ajoute alors au pied de l'arbre de $f$ un signe $"+"$ ou $"-"$ selon que $f$ préserve ou inverse respectivement l'orientation sur $\P^1(\R)$. Ceci donne l'(\em arbre signé) de $f$. Réciproquement, on montre que tout arbre signé peut être associé à une fonction rationnelle réel-étale.

Cette thèse est divisée en deux parties principales. D’abord on étudie des relations entre les théories d’intersection en géométrie tropicale et géométrie algébrique. Puis on étudie la question des possibilités pour la distribution de points d’inflexion réels associés à un système linéaire réel défini sur une courbe algébrique réelle lisse. Dans la première partie, nous présentons des nouveaux résultats reliant les théories d’intersection algébrique et tropicale dans une variété algébrique très affine définie sur un corps non-archimédien particulier (dit corps de Mal’cev-Neumann). Le résultat principale concerne l’intersection d’un cycle algébrique de dimension 1 dans une variété à tropicalisation simple avec un diviseur de Cartier. Dans la deuxième partie, nous obtenons d’abord une caractérisation de la répartition des points d’inflexion réels d’un système linéaire complet de degré d>1 sur une courbe elliptique réelle lisse. Puis nous étudions quelques courbes réelles non-hyperelliptiques canoniques de genre 4 dans l’espace projectif de dimension 3. Nous obtenons une formule qui relie le nombre de points de Weierstrass réels d’une telle courbe avec la caractéristique d’Euler-Poincaré d’un certain espace topologique. Finalement, en utilisant la technique du Patchworking (dû à O. Viro), on construit un exemple de courbe réelle, lisse, non-hyperelliptique de genre 4 ayant 30 points de Weierstrass réels. / This thesis is divided in two main parts. First, we study the relationships between intersection theories in tropical and algebraic geometry. Then, we study the question of the possibilities for the distribution of the real inflection points associated to a real linear system defined on a smooth real algebraic curve. In the first part, we present new results linking algebraic and tropical intersection theories over a very-affine algebraic variety defined over a particular non-Archimedean field (known as Mal’cev-Newmann field). The main result concerns the intersection of a one-dimensional algebraic cycle with a Cartier divisor in a variety with simple tropicalization. In the second part, we obtain first a characterization of the distribution of real inflection points associated to a real complete linear system of degree d>1 defined over a smooth real elliptic curve. Then we study some canonical, non-hyperelliptic real algebraic curves of genus 4 in a 3-dimensional projective space. We obtain a formule that relies the amount of real Weierstrass points of such a curve with the Euler-Poincaré characteristic of certain topological space. Finally, using O. Viro’s Patch-working technique, we construct an example of a smooth, non-hyperelliptic real algebraic curve of genus 4 having 30 real Weierstrass points.

Afin d’étudier les classes d'isotopie rigide des courbes rationnelles nodales de degré 5 dans RPP, nous associons à chaque quintique avec un point double réel marque une courbe trigonale dans la surface de Hirzebruch Sigma3 et le dessin reel nodal correspondant dans CP/(z mapsto bar{z}). Les dessins sont des versions réelles, proposées par S. Orevkov dans cite{Orevkov}, des dessins d'enfants de Grothendieck. Un dessin est un graphe contenu dans une surface topologique, muni d'une certaine structure supplémentaire. Dans cette thèse, nous étudions les propriétés combinatoires et les recompositions des dessins correspondants aux courbes trigonales nodales C subset Sigma dans les surfaces réglées réelles Sigma . Les dessins uninodaux sur une surface a bord quelconque et les dessins nodaux sur le disque peuvent être décomposés en blocs correspondant aux dessins cubiques sur le disque D2 , ce qui conduit a une classification des ces dessins. La classification des dessins considérés mène à une classification à isotopie rigide des courbes rationnelles nodales de degré 5 dans RPP. / In order to study the rigid isotopy classes of nodal rational curves of degree $5$ in $\RPP$, we associate to every real rational quintic curve with a marked real nodal point a trigonal curve in the Hirzebruch surface $\Sigma_3$ and the corresponding nodal real dessin on~$\CP/(z\mapsto\bar{z})$. The dessins are real versions, proposed by S. Orevkov~\cite{Orevkov}, of Grothendieck's {\it dessins d'enfants}. The {\it dessins} are graphs embedded in a topological surface and endowed with a certain additional structure. We study the combinatorial properties and decompositions of dessins corresponding to real nodal trigonal curves~$C\subset \Sigma$ in real ruled surfaces~$\Sigma$. Uninodal dessins in any surface with non-empty boundary and nodal dessins in the disk can be decomposed in blocks corresponding to cubic dessins in the disk~$\mathbf{D}^2$, which produces a classification of these dessins. The classification of dessins under consideration leads to a rigid isotopy classification of real rational quintics in~$\RPP$.

L’étude topologique des variétés algébriques réelles remonte au moins aux travaux de Harnack, Klein, et Hilbert au 19éme siecle; en particulier, la classification des types d’isotopie réalisés par les courbes algébriques réelles d’un degré fixé dans RP2 est un sujet qui a connu un essor considérable jusqu'à aujourd'hui. En revanche, en dehors des études concernants les surfaces de Hirzebruch et les surfaces de degré au plus 3 dans RP3, à peu près rien n’est connu dans le cas de surfaces ambiantes plus générales. Cela est du en particulier au fait que les variétés construites en utilisant le "patchwork" sont des hypersurfaces de variétés toriques. Or, il existe de nombreuses autre surfaces algébriques réelles. Parmi celles-ci se trouvent les surfaces rationnelles réelles, et plus particulièrement les surfaces rèelles minimales. Dans cette thèse, on élargit l’étude des types d’isotopie réalisés par les courbes algébriques réelles aux surfaces réelles minimales de del Pezzo de degré 1 et 2. En outre, on termine la classification des types topologiques réalisés par les courbes algébriques réelles séparantes et non-séparantes de bidegré (5,5) sur la quadrique ellipsoide. / The study of the topology of real algebraic varieties dates back to the work of Harnack, Klein and Hilbert in the 19th century; in particular, the isotopy type classification of real algebraic curves with a fixed degree in RP2 is a classical subject that has undergone considerable evolution. On the other hand, apart from studies concerning Hirzebruch surfaces and at most degree 3 surfaces in RP3, not much is known for more general ambient surfaces. In particular, this is because varieties constructed using the patchworking method are hypersurfaces of toric varieties. However, there are many other real algebraic surfaces. Among these are the real rational surfaces, and more particularly the $mathbb{R}$-minimal surfaces. In this thesis, we extend the study of the topological types realized by real algebraic curves to the real minimal del Pezzo surfaces of degree 1 and 2. Furthermore, we end the classification of separating and non-separating real algebraic curves of bidegree $(5,5)$ in the quadric ellipsoid.