Dans la présente thèse, on établit des bornes supérieures sur les nombres de Betti des ensembles définis à l'aide de fonctions pfaffiennes, en fonction de la complexité pfaffienne (ou format) de ces ensembles. Les fonctions pfaffiennes ont été définies par Khovanskii, comme solutions au comportement quasi-polynomial de certains systèmes polynomiaux d'équations différentielles. Les ensembles semi-pfaffiens satisfont une condition de signe booléene sur des fonctions pfaffiennes, et les ensembles sous-pfaffiens sont projections de semi-pfaffiens. Wilkie a démontré que les fonctions pfaffiennes engendrent une structure o-minimale, et Gabrielov a montré que cette structure pouvait etre efficacement décrite par des ensembles pfaffiens limites. A l'aide de la théorie de Morse, de déformations, de recurrences sur le niveau combinatoire et de suites spectrales, on donne dans cette thèse des bornes effectives pourtoutes les catégories d'ensembles pré-citées.

Cette thèse est divisée en deux parties. Dans la première partie nous étudions les variétés 2-Fano. Les variétés 2-Fano, définies par De Jong et Starr, satisfont des generalisations de certaines propriétés des varietes Fano. Nous proposons une définition de variété k-Fano (faible) et conjecturons la polyhédralité du cône de k-cycles pseudo-effectives pour ces variétés en analogie avec le cas k=1. Ensuite, nous calculons quelques nombres de Betti d'une grande classe de variétés k-Fano pour prouver un cas particulier de la conjecture. En particulier, la conjecture est vraie pour toutes les variétés 2-Fano d'indice >n-3, et nous complétons également la classification des variétés faibles 2-Fano répondant aux questions 39 et 41 dans l'article d'Araujo et Castravet.Dans la deuxième partie, nous étudions une application rationnelle particulière. Beauville et Donagi ont prouvé que la variété des droites F(Y) d'une hypersurface lisse, cubique Y de dimension quatre est une variété hyperKähler. Récemment, C. Lehn, M. Lehn, Sorger et van Straten ont prouvé qu'on peut naturellement associer une variété hyperKähler Z(Y) à la variété compacte des cubiques rationnelles dans Y. Puis, Voisin a défini une application rationnelle de degré 6 entre le produit direct F(Y)xF(Y) et Z(Y). Nous montrerons que le lieu d'indétermination de cette application est le lieu des droites concourantes dans Y. / This thesis is divided in two parts. In the first part we study the 2-Fano varieties. The 2-Fano varieties, defined by De Jong and Starr, satisfy some higher dimensional analogous properties of Fano varieties. We propose a definition of (weak) k-Fano variety and conjecture the polyhedrality of the cone of pseudoeffective k-cycles for those varieties in analogy with the case k=1. Then, we calculate some Betti numbers of a large class of k-Fano varieties to prove some special case of the conjecture. In particular, the conjecture is true for all 2-Fano varieties of index > n-3, and also we complete the classification of weak 2-Fano varieties answering Questions 39 and 41 in Araujo and Castravet’s article.In the second part, we study a particular rational map. Beauville and Donagi proved that the variety of lines F(Y) of a smooth cubic fourfold Y is a hyperKähler variety. Recently, C. Lehn, M.Lehn, Sorger and van Straten proved that one can naturally associate a hyperKähler variety Z(Y) to the variety of twisted cubics on Y. Then, Voisin defined a degree 6 rational map between the direct product F(Y)xF(Y) and Z(Y). We will show that the indeterminacy locus of this map is the locus of intersecting lines. / Questa tesi è divisa in due parti. Nella prima parte studiamo le varietà 2-Fano. Le varietà 2-Fano, definite da De Jong e Starr, soddisfano alcune proprietà analoghe (in dimensionie superiore) alle varietà Fano. Diamo una definizione di varietà k-Fano (debole) e congetturiamo la poliedricità del cono di k-cicli pseudoeffettivi per tali varietà, in analogia al caso k=1. Quindi calcoliamo alcuni numeri Betti di molte varietà k-Fano, per dimostrare alcuni casi particolari della congettura. In particolare, la congettura è vera per tutte le varietà 2-Fano d'indice >n-3, e inoltre completiamo la classificazione delle varietà 2-Fano deboli rispondendo alle domande 39 e 41 nell'articolo di Araujo e Castravet. Nella seconda parte studiamo una particolare mappa razionale. Beauville e Donagi hanno dimostrato che la varietà delle rette F(Y) di una ipersuperfice cubica liscia Y di dimensione 4 è una varietà hyperKähler. Recentemente, C. Lehn, M.Lehn, Sorger e van Straten hanno dimostrato che è possibile associare in modo naturale una varietà hyperKähler Z(Y) alla varietà delle cubiche razionali in Y. Successivamente, Voisin ha definito una mappa razionale di grado 6 tra il prodotto diretto F(Y)xF(Y) e Z(Y). Mostreremo che il luogo di indeterminazione di questa mappa è il luogo delle rette secanti.

Le sujet de cette thèse est l'étude d'idéaux monomiaux de l'anneau de polynômes S qui ont une résolution linéaire. D'après un résultat remarquable de Bayer et Stilman et en utilisant la polarisation, la classification des idéaux monomiaux ayant une résolution linéaire est équivalente à la classification des idéaux monomiaux libres de carrés ayant une résolution linéaire. Pour cette raison dans cette thèse nous considérons seulement le cas d'idéaux monomiaux libres de carrés. De plus, le théorème de Eagon-Reiner établit une dualité entre les idéaux monomiaux libres de carrés ayant une résolution linéaire et les idéaux monomiaux libres de carrés Cohen-Macaulay, ce qui montre que le problème de classification des idéaux monomiaux libres de carrés ayant une résolution linéaire est très difficile. Nous rappelons que les idéaux monomiaux libres de carrés sont en correspondance biunivoque avec les complexes simpliciaux d'une part, et d'autre part avec les clutters. Ces correspondances nous motivent pour utiliser les propriétés combinatoires des complexes simpliciaux et des clutters pour obtenir des résultats algébriques. La classification des idéaux monomiaux libres de carrés ayant une résolution linéaire engendrés en degré 2 a été faite par Froberg en 1990. Froberg a observé que l'idéal des circuits d'un graphe G a une résolution 2-linéaire si et seulement si G est un graphe de cordes, i.e. il n'a pas de cycles minimaux de longueur plus grande que 4. Dans [Em, ThVt, VtV, W] les auteurs ont partiellement généralisé les résultats de Froberg à des idéaux engendrés en degré >2. Ils ont introduit plusieurs définitions de clutters de cordes et démontré que les idéaux de circuits correspondant ont une résolution linéaire. Nous pouvons voir les cycles du point de vue topologique, comme la triangulation d'une courbe fermée, dans cette thèse nous utiliserons cette idée pour étudier des clutters associés à des triangulation de pseudo-manifolds en vue d'obtenir une généralisation partielle des résultats de Froberg à des idéaux engendrés en degré >2. Nous comparons notre travail à ceux de [Em, ThVt, VtV, W]. Nous présentons nos résultats dans le chapitres 4 et 5. / In this thesis, we study square-free monomial ideals of the polynomial ring S which have a linear resolution. By remarkable result of Bayer and Stilman [BS] and the technique of polarization, classification of ideals with linear resolution is equivalent to classification of square-free monomial ideals with linear resolution. For this reason, we consider only square-free monomial ideals in S. However, classification of square-free monomial ideals with linear resolution seems to be so difficult because by Eagon-Reiner Theorem [ER], this is equivalent to classification of Cohen-Macaulay ideals. It is worth to note that, square-free monomial ideals in S are in one-to-one correspondence to Stanley-Reisener ideals of simplicial complexes on one hand and the circuit ideal of clutters from another hand. This correspondence motivated mathematicians to use the combinatorial and geometrical properties of these objects in order to get the desired algebraic results. Classification of square-free monomial ideals with 2-linear resolution, was successfully done by Froberg [Fr] in 1990. Froberg observed that the circuit ideal of a graph G has a 2-linear resolution if and only if G is chordal, that is, G does not have an induced cycle of length > 3. In [Em, ThVt, VtV, W] the authors have partially generalized the Fr¨oberg's theorem for degree greater than 2. They have introduced several definitions of chordal clutters and proved that, their corresponding circuit ideals have linear resolutions. Viewing cycles as geometrical objects (triangulation of closed curves), in this thesis we try to generalize the concept of cycles to triangulation of pseudo-manifolds and get a partial generalization of Froberg's theorem for higher dimensional hypergraphs. All the results in Chapters 4 and 5 and some results in Chapter 3 are devoted to be the original results.

La géométrie algébrique réelle est dans sa définition la plus simple, l'étude des ensembles de solutions d'un système d'équations polynomiales à coefficients réelles. Dans cette vaste thématique, on se concentre sur les intersections de quadriques où déjà le cas de trois quadriques reste largement ouvert. Notre sujet peut être résumé comme l'étude topologique des variétés algébriques réelles et l'interaction entre leur topologie d'une part et leur déformations et dégénérations d'autre part, un problème issu du 16ième problème de Hilbert et enrichi par des développements récents. Au cours de cette thèse, nous allons nous focaliser sur les intersections maximales de quadriques réelles et en particulier démonter l'existence de telles intersections en utilisant des développements issus des recherches effectuées depuis la fin des années 80. Dans le cas d'intersections de trois quadriques, nous allons mettre en évidence le lien très étroits entre ces intersections d'une part et les courbes planes d'autre part, et démontrer que l'étude des M-courbes (une des problématiques du 16ième problème de Hilbert) peut se faire à travers l'étude des intersections maximales. Nous utiliserons ensuite les résultats sur les courbes planes nodales afin de déterminer dans certains cas les classes de déformations d'intersections de trois quadriques réelles. / Real algebraic geometry is in its simplest definition, the study of sets of solutions of a system of polynomial equations with real coefficients. In this theme, we focus on the intersections of quadrics where already the case of three quadrics remains wide open. Our subject can be summarized as the topological study of real algebraic varieties and interaction between their topology on the one hand and their deformations and degenerations on the other hand, a problem coming from the 16th Hilbert problem and enriched by recent developments. In this thesis, we will focus on maximum intersections of real quadrics and particularly prove the existence of such intersections using research developments made since the late 80. In the case of intersections of three quadrics, we will point the very close link between the intersections on the one hand and on the other plane curves, and show that the study of M-curves (one of the problems of the 16th Hilbert problem) may be done through the study of maximum intersections. Next, we will use the study on nodal plane curves to determine in some cases deformation classes of intersections of three real quadrics.

En utilisant le concept des fonctions de partition , nous étudions le comportement asymptotique des nombres de Betti gradués des puissances d’idéaux homogènes dans un polynôme sur un corp.Pour un Z-graduer positif, notre résultat principal affirme que les nombres de Betti des puissances est codé par un nombre fini des polynômes. Plus précisément, Z^2 peut être divisé en un nombre fini des régions telles que, dans chacun d’eux, dimk Tor^{S}_{i} (I^t,k)μ est un quasi-polynôme en (μ,t). Ce affine, dans une situation graduée, le résultat de Kodiyalam sur nombres de Betti des puissances dans [33].La déclaration principale traite le cas des produits des puissances d’idéaux homogènes dans un algèbre Z^d -graduée , pour un graduer positif, dans le sens de [37] et il est généralise également pour les filtrations I -good.Dans la deuxième partie, en utilisant la version paramétrique de l’algorithme de Barvinok, nous donnons une formule fermée pour les fonctions de Hilbert non-standard d’anneaux de polynômes, en petites dimensions. / Using the concept of vector partition functions, we investigate the asymptotic behavior of graded Betti numbers of powers of homogeneous ideals in a polynomial ring over a field. For a positive Z-grading, our main result states that the Betti numbers of powers is encoded by finitely many polynomials. More precisely, Z^2 can be splitted into a finite number of regions such that, in each of them, dim_k Tor^{S}_{i} (I^t,k)μ is a quasi-polynomial in (μ,t). This refines, in a graded situation, the result of Kodiyalam on Betti numbers of powers in [33]. The main statement treats the case of a power products of homogeneous ideals in a Z^d -graded algebra, for a positive grading, in the sense of [37] and it is also generalizes to I -good filtrations . In the second part , using the parametric version of Barvinok’s algorithm, we give a closed formula for non-standard Hilbert functions of polynomial rings, in low dimensions.

In this thesis, we will work with the nodal sets of Laplace eigenfunctions on a few simple manifolds, like the sphere and the flat torus. We will obtain bounds on the total Betti number of the nodal set that depend on the corresponding eigenvalue. Our work generalize Courant's theorem. / Dans ce mémoire, nous travaillons sur les ensembles nodaux de combinaisons de fonctions propres du laplacien, particulièrement sur la sphère et le tore plat. On bornera les nombres de Betti de ces ensembles en fonction de la valeur propre maximale. D'une certaine façon, cela généralise le fameux théorème de Courant.

Une carte topologique 3D est un modèle servant à représenter la partition en régions d'une image 3D pour le traitement d'images. Dans ce travail, nous développons des outils permettant de modifier la partition représentée par une carte topologique, puis nous utilisons ces outils afin de proposer des algorithmes de segmentation intégrant des critères topologiques. Dans une première partie, nous proposons trois opérations. La fusion de régions est définie avec une approche locale adaptée à une utilisation interactive et une approche globale pour une utilisation automatisée comme lors d'une segmentation. La division de régions est proposée avec une méthode d'éclatement en voxels et la division à l'aide d'un guide. Enfin, la déformation de la partition est basée sur la définition de points ML-Simples : des voxels pouvant changer de région sans modifier la topologie de la partition. À l'aide de ces opérations, nous mettons en œuvre dans une seconde partie des algorithmes de segmentation d'images utilisant les cartes topologiques. Notre première approche adapte au modèle des cartes topologiques un algorithme existant qui utilise un critère basé sur la notion de contraste. Nous proposons ensuite des méthodes de calcul d'invariants topologiques sur les régions : les nombres de Betti. Grâce à eux, nous développons un critère topologique de segmentation permettant de contrôler le nombre de tunnels et de cavités des régions. Enfin, nous illustrons les possibilités de tous nos outils en mettant en place une chaîne de traitement pour la segmentation de tumeurs cérébrales dans des images médicales.