La rationalité des séries de Poincaré associées avec famille définissable des relations équivalences dans quelques théories sur corps valués a été recherchée par Denef. Ce problème a une relation avec l'existence d'élimination des imaginaires des théories sur corps valués (voir le résultat de Hrushovski, Martin and Rideau). La théorie d'intégration motivique est née nous aide pour montrer la dépendance uniforme dans corps locaux p-adiques de la rationalité des séries de Poincaré. Dans le chapitre 1 de cette thèse, je donne une extension du résultat sur la rationalité uniforme dans p des séries de Poincaré associées avec famille définissable des relations équivalences dans quelques théories sur corps valués dans lesquels élimination des imaginaires n'est pas prouvée comme théories sur structures analytiques. Ma méthode est que j'étends la théorie d'intégration motivique pour fonctions constructibles dans deux papiers de Cluckers et Loeser aux fonctions constructibles rationnelles. Autre problème important dans la théorie des nombres est estimation des sommes exponentielles. Sommes exponentielles modulo pm pour un nombre premier p et un nombre naturel m a été étudié par Igusa. Igusa a découvert une relation profonde entre estimation des sommes exponentielles avec pôles de la fonction zêta local d'Igusa et montré que si on a une estimation uniforme dans p et m de sommes exponentielles, on peut obtenir une formule sommatoire de Poisson pour Adèle de type de Siegel-Weil. Dans les chapitres 2, 3, 4, on va prouver quelques versions uniformes dans p et m de borne supérieure de sommes exponentielles donnés par le seuil log canonique ou par polyèdre de Newton. / The results in the rationality of Poincaré series associated with definable family of equivalence relations over valued fields was researched by Denef. This problem has relation with the existence of elimination of imaginaries theorem for theories of valued fields (see the result of Hrushovski, Martin and Rideau). Motivic integration theory was born helps us to show the uniform dependence of the rationality of Poincaré series on p-adic local fields. In the chapter 1 of this thesis, I extend the result on p-uniform rationality of Poincaré series associated with definable family of equivalence relations in some theories of valued field in which elimination of imaginaries has not been proved yet, for example theories on analytic structures. My method is that I extend the motivic integration theory for constructible motivic functions in two papers of Cluckers and Loeser to rational constructible motivic functions. Another classical problem of number theory is estimation of exponential sums. Exponential sums modulo pm was studied by Igusa, and for a fixed prime p, he gave a deep relation between estimation of exponential sums modulo pm and poles of Igusa local zeta function. Igusa also showed that a uniform estimation in p and m of exponential sums modulo pm could give an Poisson summation formula of Siegel-Weil type. By this motivation, many researches tried to give the best uniform upper bound of exponential sums modulo pm. In the chapters 2, 3, 4, we will try to obtain some uniform versions for upper bound of exponential sums modulo pm given by log-canonical threshold or Newton polyhedron due to Igusa's, Denef-Sperber's and Cluckers-Veys's conjectures.

Nous étudions la clôture algébrique et définissable dans les groupes libres. Les résultats principaux peuvent être résumés comme suit. Nous montrons un résultat de constructibilité des groupes hyperboliques sans torsion au-dessus de la clôture algébrique d'un sous-ensemble engendrant un groupe non abélien. Nous avons cherché à comprendre la place qu'occupe la clôture algébrique acl_G(A) dans certaines décompositions de G. Nous avons étudié la possibilité de la généralisation de la méthode de Bestvina-Paulin dans d'autres directions, en considérant les groupes de type fini qui agissent d'une manière acylindrique (au sens de Bowditch) sur les graphes hyperboliques. Enfin, nous avons étudié les relations qui existent entre les différentes notions de clôture algébrique et entre la clôture algébrique et la clôture définissable.

Cette thèse est consacrée à l'étude des groupes et des corps dont les ensembles définissables n'admettent pas certaines configurations combinatoires. Étant donné un groupe G , un problème particulier qui nous intéresse est de trouver des enveloppes définissables de sous-groupes abéliens, nilpotents ou résolubles de G ayant les mêmes propriétés algébriques. De tels enveloppes existent si G est stable, et même si G est seulement dépendant mais saturé, avec l'hypothèse supplémentaire de normalité pour le cas des sous-groupes résolubles. Dans les groupes ayant une théorie simple, on obtient des enveloppes définissables à indice fini près. Nous introduisons la notion de presque centralisateur et nous établissons certaines de ses propriétés de base.Cela nous permet d'étendre les résultats mentionnés ci-dessus à des Mc~ groupes, i. e. des groupes dans lesquels toutes sections définissables satisfont une condition de chaîne sur les centralisateurs à indice fini près. Ceux-ci incluent les groupes définissables dans une théorie rose et en particulier dans une théorie simple.En s'inspirant de la preuve pour les groupes dépendants et en utilisant les techniques développées sur les presque centralisateurs dans cette thèse, nous démontrons l'existence des enveloppes définissables à indice fini près pour des sous groupes abélien, nilpotents ou normaux et résolubles de tout groupe NTP2 assez saturé. En utilisant les enveloppes des sous-groupes nilpotents de Mc~ groupes et la condition de chaîne sur les centralisateurs à indice fini près, nous montrons en outre que le sous-groupe de Fitting de tout Mc~ groupe est nilpotent et que son sous-groupe presque Fitting est résoluble-par-fini. La deuxième partie de cette thèse porte sur l'étude des corps n-dépendants. Nous démontrons que tout corps n-dépendant est Artin-Schreier clos et que les corps PAC non séparablement clos ne sont pas n-dépendants pour tout nombre naturel n / This thesis is dedicated to the study of groups and fields whose definable sets do not admit certain combinatorial patterns. Given a group G, one particular problem we are interested in is to find definable envelopes for arbitrary abelian, nilpotent or solvable subgroups of G which admit the same algebraic properties. Such evelopes exists if G is stable and even if G is merely dependent but sufficiently saturated, with the additional hypothesis of normality in the solvable case. In groups with a simple theory, one obtains definable envelopes up to finite index.We introduce the notion of an almost centralizer and establish some of its basic properties. This enables us to extend the aforementioned results to Mc~ groups, i. e. groups in which any definable section satisfies a chain condition on centralizers up to finite index. These include any definable group in a rosy and in particular in a simple theory. Furthermore, inspired from the proof in dependent theories as well as using techniques developed for almost centralizers in this thesis, we are able to find definable envelopes up to finite index for abelian, nilpotent and normal solvable subgroups of any enough saturated NTP2 group. Moreover, using envelopes for nilpotent subgroups of Mc~ groups and the chain condition on centralizer up to finite index, we show additionally that the Fitting subgroup of any Mc~ group is nilpotent and that its almost Fitting subgroup is virtually solvable.The second part of this thesis focuses on the study of n-dependent fields. We prove that any n-dependent field is Artin-Schreier closed and that non separably closed PAC fields are not n-dependent for any natural number n

Les structures menues apparaissent dans les années 1960 de paire avec la conjecture de Vaught, dont elles sont les seuls contre-exemples possibles. Les structures minces sont introduites par Belegradek, et englobent à la fois les structures minimales et menues. Il est bien connu que les ensembles définissables d'une structure mince sont rangés par le rang de Cantor-Bendixson, lorsque l'on fixe un ensemble fini de paramètres. L'étude de ces structures est rendue difficile par le fait que si l'on augmente cet ensemble de paramètres, le rang croît, et on ne sait maîtriser sa croissance. Nous présentons des propriétés de calcul de ce rang, une condition de chaîne descendante locale sur les groupes définissables (par des formules faisant intervenir des paramètres de la clôture algébrique d'un ensemble fini), ainsi qu'une notion de presque stabilisateur local. Nous en déduisons des propriétés algébriques des structures minces : un corps mince de caractéristique positive est localement de dimension finie sur son centre (une réponse au problème 6.1.5 de Wagner, Simple Theories), et un groupe mince infini a un sous groupe abélien infini (cela répond en particulier à la question 2.8 de Wagner, "Groups in simple theories"). Nous nous intéressons ensuite aux structures menues infiniment définissables, et montrons que les groupes d'arité finie infiniment définissables (par des formules n'utilisant que les paramètres d'un ensemble fini) sont l'intersection de groupes définissables (réponse au problème 6.1.14 du livre de Wagner). Nous étendons le résultat aux demi-groupes, anneaux, corps, catégories et groupoïdes infiniment définissables (toujours avec un nombre fini de paramètres), et donnons des résultats de définissabilité locale pour les groupes et corps simples et menus, infiniment définissables sur un ensemble quelconque de paramètres. Enfin, nous réintroduisons le rang de Cantor dans son contexte topologique et montrons que la dérivée de Cantor peut être vue comme un opérateur de dérivation dans un semi-anneau d'espaces topologiques. Dans l'idée de trouver un rang de Cantor global pour les théories stables, nous essayons de nous débarrasser du mot dénombrable omniprésent lorsque l'on fait de la topologie, en le remplaçant par un cardinal régulier k. Nous développons une notion d'espace k-métrique, de k-topologie, de k-compacité etc. et montrons un k-analogue du lemme de métrisabilité d'Urysohn, et du théorème de Cantor-Bendixson.

Cette thèse traite essentiellement des liens qui peuvent exister entreles groupes de rang de Morley fini et les groupes algébriques linéaires. Eneffet, nous y établissons quelques propriétés algébriques aux K-groupes ;d'ailleurs une étude de linéarité sur ces groupes est dressée et permeten particulier d'obtenir une généralisation du théorème de Levi sur ladécomposition des groupes algébriques. Ensuite, nous étudions dans ununivers de rang de Morley fini, une action définissable de SL2(K) surun groupe abélien SL2(K)-minimal V où K est un corps définissable decaractéristique positive p > 0. À cet effet, nous montrons que le rang deMorley rk(V ) de V est pair et multiple de rk(K). Enfin, nous analysonssous quelles conditions, étant donné G un groupe algébrique sur un corpsalgébriquement clos de caractéristique non nulle, le quotient G=Z(G) estdéfinissablement linéaire.Par ailleurs, nous montrons sous certaines hypothèses le groupe desautomorphismes définissables d'un K*-groupe simple est interprétable. / This thesis essentially focuses on relationships that may exist betweengroups of finite Morley rank and linear algebraic groups. Indeed, weestablish some algebraic properties to K-groups; while a linearity studyon these groups is drawn and allows in particular to obtain an analogueto Levi decomposition theorem of algebraic groups. Next, in a univers offinite Morley rank, we study a definable action of SL2(K) on an abeliangroup V such as V is SL2(K)-minimal, where K is an definable field ofnonzero characteristic. For that purpose, we show that Morley rank ofV denoted rk(V ) is even and multiple of rk(K). Finally, we analyze theconditions under which, given an algebraic group G over an algebraicallyfield of nonzero characteristic, the quotient G=Z(G) is definably linear.Besides, we show under certain assymptions that the group of definable automorphism of a simple K*-group is interpretable.

Nous étudions la clôture algébrique et définissable dans les groupes libres. Les résultats principaux peuvent être résumés comme suit. Nous montrons un résultat de constructibilité des groupes hyperboliques sans torsion au-dessus de la clôture algébrique d'un sous-ensemble engendrant un groupe non abélien. Nous avons cherché à comprendre la place qu'occupe la clôture algébrique acl_G(A) dans certaines décompositions de G. Nous avons étudié la possibilité de la généralisation de la méthode de Bestvina-Paulin dans d'autres directions, en considérant les groupes de type fini qui agissent d'une manière acylindrique (au sens de Bowditch) sur les graphes hyperboliques. Enfin, nous avons étudié les relations qui existent entre les différentes notions de clôture algébrique et entre la clôture algébrique et la clôture définissable / In Chapter 1 we give basics on combinatorial group theory, starting from free groups and proceeding with the fundamental constructions: free products, amalgamated free products and HNN extensions. We outline a synthesis of Bass-Serre theory, preceded by a survey on Cayley graphs and graphs of groups. After proving the main theorem of Bass-Serre theory, we present its application to the proof of Kurosh subgroup theorem. Subsequently we recall main definitions and properties of hyperbolic spaces. In Section 1.4 we define algebraic and definable closures and recall a few other notions of model theory related to saturation and homogeneity. The last section of Chapter 1 is devoted to asymptotic cones. In Chapter 2 we prove a theorem similar to Bestvina-Paulin theorem on the limit of a sequence of actions on hyperbolic graphs. Our setting is more general: we consider Bowditch-acylindrical actions on arbitrary hyperbolic graphs. We prove that edge stabilizers are (finite bounded)-by-abelian, that tripod stabilizers are finite bounded and that unstable edge stabilizers are finite bounded. In Chapter 3 we introduce the essential notions on limit groups, shortening argument and JSJ decompositions. In Chapter 4 we present the results on constructibility of a torsion-free hyperbolic group from the algebraic closure of a subgroup. Also we discuss constructibility of a free group from the existential algebraic closure of a subgroup. We obtain a bound to the rank of the algebraic and definable closures of subgroups in torsion-free hyperbolic groups. In Section 4.2 we prove some results about the position of algebraic closures in JSJ decompositions of torsion-free hyperbolic groups and other results for free groups. Finally, in Chapter 5 we answer the question about equality between algebraic and definable closure in a free group. A positive answer has been given for a free group F of rank smaller than 3. Instead, for free groups of rank strictly greater than 3 we found some counterexample. For the free group of rank 3 we found a necessary condition on the form of a possible counterexample.

Les structures menues apparaissent dans les années 60 en lien avec la conjecture de Vaught. Les structures minces englobent à la fois les structures minimales et menues. Les ensembles définissables d'une structure mince sont rangés par le rang de Cantor-Bendixson. Nous présentons des propriétés de calcul de ce rang, une condition de chaîne descendante locale sur les groupes acl(0)-définissables ainsi qu'une notion de presque stabilisateur local, et en déduisons des propriétés algébriques des structures minces : un corps mince de caractéristique positive est localement de dimension finie sur son centre, et un groupe mince infini a un sous groupe abélien infini. Nous nous intéressons ensuite aux structures menues infiniment définissables, et montrons que les groupes d'arité finie infiniment 0-définissable sont l'intersection de groupes définissables. Nous étendons le résultat aux demi-groupes, anneaux, corps, catégories et groupoïdes infiniment 0-définissables, et donnons des résultats de définissabilité locale pour les groupes et corps simples et menus, infiniment définissables sur des paramètres quelconques. Enfin, nous réintroduisons le rang de Cantor dans son contexte topologique et montrons que la dérivée de Cantor peut être vue comme un opérateur de dérivation dans un semi-anneau d'espaces topologiques. Dans l'idée de trouver un rang de Cantor global pour les théories stables, nous essayons de nous débarrasser du mot dénombrable omniprésent lorsque l'on fait de la topologie, en le remplaçant par un cardinal régulier k. Nous développons une notion d'espace k-métrique, de k-topologie, de k-compacité etc. et montrons un k-analogue du lemme de métrisabilité d'Urysohn, et du théorème de Cantor-Bendixson. / Abstract. Small structures appear in the '60s together with Vaught's conjecture. Weakly small structures include both minimal and small structures. Definable sets in a weakly small structure are ranked by Cantor-Bendixson rank. We show computational properties of this rank, which imply a local descending chain condition on acl(0)-definable subgroups, and introduce a notion of local almost stabiliser. We deduce algebraic properties of weakly small structures. Among them, a weakly small field of positive characteristic is locally finite dimensional over its centre, and an infinite weakly small group has an infinite abelian subgroup. We then turn to small type-definable structures, showing that finitary small type 0-de_nable groups are the intersection of definable groups. We extend the result to finitary small type 0- definable monoids, rings, fields, categories and groupoids. We give local definability results concerning groups and fields type definable over an arbitrary set of parameters in small and simple theories. Finally, we reintroduce the Cantor Bendixson rank in its topological context, and show that the Cantor derivative can be seen as a derivation in a semi-ring of topological spaces. In an attempt to find a global Cantor rank for stable structures, we try to eliminate the word denumerable, omnipresent when one does topology, by replacing it by a regular cardinal k. We develop the notions of k-metrisable space, k-topology, k-compactness etc. and show an analogue of Urysohn's metrisability lemma and Cantor-Bendixson theorem.