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Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / FundaÃÃo Cearense de Apoio ao Desenvolvimento Cientifico e TecnolÃgico / Neste texto, à mostrado que conjuntos definÃveis bi-Lipschitz homeomorfos tem cones tangentes bi-Lipschitz homeomorfos. AlÃm disso, no caso de conjuntos analÃticos complexos, regularidade Lipschitz ou regularidade topolÃgica forte implica em regularidade analÃtica. TambÃm à feito um estudo regularidade de conjuntos analÃticos reais. Ademais, à dada uma classificaÃÃo completa para curvas analÃticas complexas no espaÃo e sÃo apresentados alguns resultados sobre invariÃncia da multiplicidade. Em especial, à mostrado que a multiplicidade mod 2 de conjuntos analÃticos reais à invariante por difeomorfismos. / In this paper, it is shown that definable sets bi-Lipschitz homeomorphic have tangent cones bi-Lipschitz homeomorphic. Furthermore, in the case of complex analytical sets, Lipschitz regularity or strong topological regularity implies analytical regularity. It is also done a complete study on regularity of real analytic sets. Furthermore, it is given a complete classification for complex analytical curves in space and are shown some results about invariance of the multiplicity. In particular, it is shown that the multiplicity of real analytical sets is invariant mod 2 under diffeomorphisms.

The goal of this work was to prove the fact, that definable closure of any subclass of cotorsion modules closed under direct sums consists of $\Sigma$-cotorsion modules. The only known proof uses substantially the calculus of derived category, in this work we tried to prove the same, but only by means of a given category of all right $R$-modules and set-theoretic properties of partial orders indexing direct systems of $R$-modules. The main results of this work are proved under additional assumptions on the ring $R$, in particular $\vert R\vert\leq\aleph_{\omega}$ or $\text{dim}(R)<\aleph_{\omega}$. Attempts to give s proof in the same general situation, where the fact is known to hold, was not successful. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

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In this thesis we study the types of algebraically closed valued fields (ACVF). We prove the definable types of ACVF are residual and valuational and provide a defining schema for the definable types. We then conclude that all the types are invariant. / Thesis / Master of Science (MSc)

Cette thèse est consacrée à l'étude des groupes et des corps dont les ensembles définissables n'admettent pas certaines configurations combinatoires. Étant donné un groupe G , un problème particulier qui nous intéresse est de trouver des enveloppes définissables de sous-groupes abéliens, nilpotents ou résolubles de G ayant les mêmes propriétés algébriques. De tels enveloppes existent si G est stable, et même si G est seulement dépendant mais saturé, avec l'hypothèse supplémentaire de normalité pour le cas des sous-groupes résolubles. Dans les groupes ayant une théorie simple, on obtient des enveloppes définissables à indice fini près. Nous introduisons la notion de presque centralisateur et nous établissons certaines de ses propriétés de base.Cela nous permet d'étendre les résultats mentionnés ci-dessus à des Mc~ groupes, i. e. des groupes dans lesquels toutes sections définissables satisfont une condition de chaîne sur les centralisateurs à indice fini près. Ceux-ci incluent les groupes définissables dans une théorie rose et en particulier dans une théorie simple.En s'inspirant de la preuve pour les groupes dépendants et en utilisant les techniques développées sur les presque centralisateurs dans cette thèse, nous démontrons l'existence des enveloppes définissables à indice fini près pour des sous groupes abélien, nilpotents ou normaux et résolubles de tout groupe NTP2 assez saturé. En utilisant les enveloppes des sous-groupes nilpotents de Mc~ groupes et la condition de chaîne sur les centralisateurs à indice fini près, nous montrons en outre que le sous-groupe de Fitting de tout Mc~ groupe est nilpotent et que son sous-groupe presque Fitting est résoluble-par-fini. La deuxième partie de cette thèse porte sur l'étude des corps n-dépendants. Nous démontrons que tout corps n-dépendant est Artin-Schreier clos et que les corps PAC non séparablement clos ne sont pas n-dépendants pour tout nombre naturel n / This thesis is dedicated to the study of groups and fields whose definable sets do not admit certain combinatorial patterns. Given a group G, one particular problem we are interested in is to find definable envelopes for arbitrary abelian, nilpotent or solvable subgroups of G which admit the same algebraic properties. Such evelopes exists if G is stable and even if G is merely dependent but sufficiently saturated, with the additional hypothesis of normality in the solvable case. In groups with a simple theory, one obtains definable envelopes up to finite index.We introduce the notion of an almost centralizer and establish some of its basic properties. This enables us to extend the aforementioned results to Mc~ groups, i. e. groups in which any definable section satisfies a chain condition on centralizers up to finite index. These include any definable group in a rosy and in particular in a simple theory. Furthermore, inspired from the proof in dependent theories as well as using techniques developed for almost centralizers in this thesis, we are able to find definable envelopes up to finite index for abelian, nilpotent and normal solvable subgroups of any enough saturated NTP2 group. Moreover, using envelopes for nilpotent subgroups of Mc~ groups and the chain condition on centralizer up to finite index, we show additionally that the Fitting subgroup of any Mc~ group is nilpotent and that its almost Fitting subgroup is virtually solvable.The second part of this thesis focuses on the study of n-dependent fields. We prove that any n-dependent field is Artin-Schreier closed and that non separably closed PAC fields are not n-dependent for any natural number n

Cette thèse est consacrée à l’étude des groupes linéaires définissables dans les corpsp-adiques. Les tores anisotropes jouent un rôle central tout au long de ce travail. Nousdonnons une description modèle-théorique et algébrique des Qp-tores anisotropes dedimension 1.L’étude des sous-groupes de Cartan de SL2(Qp) (où Qp est un corps élémentairementéquivalent à Qp) nous permet de donner une description complète de tous les sous-groupes définissables de SL2(Qp).Nous nous intéressons également aux groupes linéaires définissables dans des enri-chissements p-minimaux d’un corps p-adiquement clos. Nous introduisons une notionde p-connexité pour les groupes. Et nous établissons que tout groupe linéaire com-mutatif p-connexe définissable dans une telle structure est isomorphe à un groupesemi-algébrique.Enfin des résultats sur la généricité et la générosité dans SL2(Qp) sont donnés. / This thesis is dedicated to the study of linear definable groups in p-adic fields. Ani-sotropic tori play an important role in this work. We give a model-theoretic andalgebraic description of anisotropic Qp-tori of dimension 1.The study of Cartan subgroups in SL2(Qp) (where Qp is a field elementarily equi-valent to Qp) permit us to give a complete description of all definable subgroups ofSL2(Qp).We are seeing also linear groups definable in p-minimal expansions of p-adically closedfields. We introduce a notion of p-connexity for groups. We etablish that every linearcommutative p-connected group definable in such structure is isomorphic to a semi-algebraic group.Finally some results on genericity and generosity in SL2(Qp) are given.

Cette thèse traite essentiellement des liens qui peuvent exister entreles groupes de rang de Morley fini et les groupes algébriques linéaires. Eneffet, nous y établissons quelques propriétés algébriques aux K-groupes ;d'ailleurs une étude de linéarité sur ces groupes est dressée et permeten particulier d'obtenir une généralisation du théorème de Levi sur ladécomposition des groupes algébriques. Ensuite, nous étudions dans ununivers de rang de Morley fini, une action définissable de SL2(K) surun groupe abélien SL2(K)-minimal V où K est un corps définissable decaractéristique positive p > 0. À cet effet, nous montrons que le rang deMorley rk(V ) de V est pair et multiple de rk(K). Enfin, nous analysonssous quelles conditions, étant donné G un groupe algébrique sur un corpsalgébriquement clos de caractéristique non nulle, le quotient G=Z(G) estdéfinissablement linéaire.Par ailleurs, nous montrons sous certaines hypothèses le groupe desautomorphismes définissables d'un K*-groupe simple est interprétable. / This thesis essentially focuses on relationships that may exist betweengroups of finite Morley rank and linear algebraic groups. Indeed, weestablish some algebraic properties to K-groups; while a linearity studyon these groups is drawn and allows in particular to obtain an analogueto Levi decomposition theorem of algebraic groups. Next, in a univers offinite Morley rank, we study a definable action of SL2(K) on an abeliangroup V such as V is SL2(K)-minimal, where K is an definable field ofnonzero characteristic. For that purpose, we show that Morley rank ofV denoted rk(V ) is even and multiple of rk(K). Finally, we analyze theconditions under which, given an algebraic group G over an algebraicallyfield of nonzero characteristic, the quotient G=Z(G) is definably linear.Besides, we show under certain assymptions that the group of definable automorphism of a simple K*-group is interpretable.

This thesis deals with the design and implementation of a dynamic user-definable dashboard. The user will be able to define conditions dynamically, which will filter out and save only the data he needs. The application will support the changing of the condition definitions and the display of the graphs after they were created. The current implementations available on the internet are usually solutions designed to fit only one type of project and are not designed to meet general guidelines for a dashboard. The dashboard is designed for a smooth cooperation with high load databases and therefore not to slow down the whole solution.

Nous étudions la clôture algébrique et définissable dans les groupes libres. Les résultats principaux peuvent être résumés comme suit. Nous montrons un résultat de constructibilité des groupes hyperboliques sans torsion au-dessus de la clôture algébrique d'un sous-ensemble engendrant un groupe non abélien. Nous avons cherché à comprendre la place qu'occupe la clôture algébrique acl_G(A) dans certaines décompositions de G. Nous avons étudié la possibilité de la généralisation de la méthode de Bestvina-Paulin dans d'autres directions, en considérant les groupes de type fini qui agissent d'une manière acylindrique (au sens de Bowditch) sur les graphes hyperboliques. Enfin, nous avons étudié les relations qui existent entre les différentes notions de clôture algébrique et entre la clôture algébrique et la clôture définissable / In Chapter 1 we give basics on combinatorial group theory, starting from free groups and proceeding with the fundamental constructions: free products, amalgamated free products and HNN extensions. We outline a synthesis of Bass-Serre theory, preceded by a survey on Cayley graphs and graphs of groups. After proving the main theorem of Bass-Serre theory, we present its application to the proof of Kurosh subgroup theorem. Subsequently we recall main definitions and properties of hyperbolic spaces. In Section 1.4 we define algebraic and definable closures and recall a few other notions of model theory related to saturation and homogeneity. The last section of Chapter 1 is devoted to asymptotic cones. In Chapter 2 we prove a theorem similar to Bestvina-Paulin theorem on the limit of a sequence of actions on hyperbolic graphs. Our setting is more general: we consider Bowditch-acylindrical actions on arbitrary hyperbolic graphs. We prove that edge stabilizers are (finite bounded)-by-abelian, that tripod stabilizers are finite bounded and that unstable edge stabilizers are finite bounded. In Chapter 3 we introduce the essential notions on limit groups, shortening argument and JSJ decompositions. In Chapter 4 we present the results on constructibility of a torsion-free hyperbolic group from the algebraic closure of a subgroup. Also we discuss constructibility of a free group from the existential algebraic closure of a subgroup. We obtain a bound to the rank of the algebraic and definable closures of subgroups in torsion-free hyperbolic groups. In Section 4.2 we prove some results about the position of algebraic closures in JSJ decompositions of torsion-free hyperbolic groups and other results for free groups. Finally, in Chapter 5 we answer the question about equality between algebraic and definable closure in a free group. A positive answer has been given for a free group F of rank smaller than 3. Instead, for free groups of rank strictly greater than 3 we found some counterexample. For the free group of rank 3 we found a necessary condition on the form of a possible counterexample.